一、复习巩固
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反
B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a|
D．|－λa|＝|λ|·a
解析：λ可正可负，故A不正确；因λ≠0，故λ2＞0，所以a与λ2a的方向相同，B正确；又|λ|与1的大小不确定，故C不正确；D中左边为数量，右边为向量，不会相等．
答案：B
2．已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于( )
A.(a－b) B.(b－a)
C.(a＋b) D．－(a＋b)
解析：∵＝＋
又∵＝－＝b－a，
∴＝a＋(b－a)＝(a＋b)．
答案：C
3．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a、b表示，则等于( )
A．a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：＝＋＝＋＝a＋
＝a＋(b－a)＝a＋b，故选B.
答案：B
4．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
解析：＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，
又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．
答案：B
5．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
答案：4b－3a
6.如图，已知AD、BE分别是△ABC的边BC、AC边上中线，＝a，＝b，则用a，b表示为________．
解析：设AD、BE交于点G，则
＝＝a，＝＝b.
∵＝＋＝b＋a，∴＝2＝b＋a.
答案：b＋a
7．已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：＝(＋)．
证明：取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．
∵E为AD的中点，
∴＝.
∵F是BC的中点，
∴＝(＋)．
又∵＝＋，
∴＝(＋＋)＝(＋)＋.
∴＝－＝(＋)＋－＝(＋)．
8．已知两个非零向量a、b不共线，＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
解析：由于a、b为非零向量且不共线，所以a＋kb≠0，
若ka＋b与a＋kb共线，则必存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，整理得(k－λ)a＝(λk－1)b，
因此，解得或，
即存在实数λ＝1，使ka＋b与a＋kb共线，此时k＝1，或存在实数λ＝－1，使ka＋b与a＋kb共线，此时k＝－1，因此k＝±1都满足题意．
二、综合应用
9．已知a，b是两个不共线的向量，＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若A，B，C三点共线，则( )
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0
解析：若A，B，C三点共线，则，共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，即(1－λλ1)a＋(λ2－λ)b＝0，由于a，b不共线，所以1＝λλ1且λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.
答案：D
10．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则( )
A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上
C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上
解析：∵＋＋＝，
∴＋＋－＝0，
∴＋＋＋＝0，即＋＋＝0，
∴2＝，∴点P在线段AC上．
答案：D
11．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝________.
解析：∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，
∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.
∴，解得或
∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，
∴λ＝－，k＝－4.
答案：－4
12.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________.
解析：直接利用向量共线定理，得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
答案：－2
13.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，；
(2)若＝λ，求λ的值．
解析：(1)由A是BC的中点，则有＝(＋)，
从而＝2－＝2a－b；
由D是将OB分成2∶1的一个内分点，得＝，
从而＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由于C，E，D三点共线，则＝μ，
又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
＝2a－b，
从而(2－λ)a－b＝μ，又a，b不共线，则解得λ＝.
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