一、复习巩固
1．设点O是?ABCD两对角线交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与
可作为该平面其他向量基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：与，与分别为平面内不共线的向量，故可作为基底．
答案：B
2．已知a＝xe1＋2e2，b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy的值为( )
A．6 B.
C．－6 D．－
解析：∵a＝λb，∴xe1＋2e2＝3λe1＋λye2，
∴，
∴xy＝3λ·＝6.
答案：A
3．在?ABCD中，＝a，＝b，＝4，P为AD的中点，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C．－a－b D．－a－b
解析：如图，
＝－＝－
＝－(＋)＝b－(a＋b)
＝－a－b.
答案：C
4．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于( )
A.b＋c B.c＋b
C.b－c D.b＋c
解析：如图，＝－＝b－c.
∵＝2，
∴＝＝(b－c)，
＝＝(b－c)．
∵＝＋①
＝＋②
①＋②得2＝＋＋＋
＝c＋b＋(b－c)．
∴＝b＋c.
答案：A
5．已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2＋＋＝0，则( )
A.＝ B.＝2
C.＝3 D．2＝
解析：∵在△ABC中，D为边BC的中点，∴＋＝2，∴2(＋)＝0，即＋＝0，从而＝.
答案：A
6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，
因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得所以x－y＝3.
答案：3
7.如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以a，b为基底时，可表示为________，在以a，c为基底时，可表示为________．
解析：以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．
答案：a＋b 2a＋c
8．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________.
解析：因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ，
所以则＝.
答案：
9．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b.试用a，b将、、表示出来．
解析：如图．＝－
＝－－
＝－－(－)
＝－＝b－a.
同理可得＝a－b，
＝－＝－(＋)＝a＋b.
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解析：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，则
e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得，
所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以，解得.
所以c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2，
所以，解得.
二、综合应用
11．设O，A，B，M为平面上四点，＝λ＋(1－λ)，λ∈(0,1)，则( )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，B，M四点共线
解析：因为＝λ＋(1－λ)，λ∈(0,1)，
所以－＝λ(－)，所以＝λ，
故点M在线段AB上．
答案：A
12．如图，过△ABC的重心作一直线分别交AB，AC于D，E，若＝x，＝y(xy≠0)，则＋的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
答案：B
13.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
解析：设＝a，＝b，
则＝(＋)＝a＋b，
又＝＋＝＋λ＝＋λ(－)
＝(1－λ)＋λ＝a＋b.
根据平面向量基本定理得消去λ整理得m＋n＝2.
答案：2
14．已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.
(1)若e1与e2不共线，a与b共线，求实数k的值；
(2)是否存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线？若存在，求出k的值，否则说明理由．
解析：(1)由a＝λb，得2e1－e2＝λke1＋λe2，而e1与e2不共线，
所以?k＝－2.
(2)不存在．若e1与e2共线，则e2＝λe1，
有
因为e1，e2，a，b为非零向量．
所以λ≠2且λ≠－k，
所以a＝b，即a＝b，这时a与b共线，
所以不存在实数k满足题意.
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