一、复习巩固
1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是( )
A．(1，－2) B．(7,6)
C．(5,0) D．(11,8)
解析：因为＝(4,2)，＝(3,4)，
所以2＋＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．
答案：D
2．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是( )
A．(2,1) B．(－6，－3)
C．(－1,2) D．(－4，－8)
解析：＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
答案：D
3．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( )
A．－3 B．2
C．4 D．－6
解析：因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
答案：D
4．已知A，B，C三点共线，且A(－3,6)，B(－5,2)，若C点的纵坐标为6，则C点的横坐标为( )
A．－3 B．9
C．－9 D．3
解析：设C(x,6)，因为∥，又＝(－2，－4)，＝(x＋3,0)，所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以x＝－3.
答案：A
5．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
解析：因为a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，
所以a＋b＝(0,1＋x2)．
因为a＋b的横坐标为0，纵坐标为1＋x2>0，
所以a＋b平行于y轴．
答案：C
6．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为________．
解析：设O为坐标原点，因为＝(－1，－5)，＝3a＝(6,9)，故＝＋＝(5,4)，故点B的坐标为(5,4)．
答案：(5,4)
7．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
解析：因为向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
8．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由?
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
答案：或
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(1,2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线．
解析：由已知可得M(2.5,2.5)，N(1.5,0.5)，
所以＝(2.5,2.5)，＝(－2.5，－2.5)，
又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，所以，共线．
10．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)．
(1)若＝，求点D的坐标；
(2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
解析：(1)设D(x，y)，
由＝，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)，
即(1，－5)＝(x－4，y＋1)，
所以解得所以点D的坐标为(5，－6)．
(2)因为a＝＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，
b＝＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)，
所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)，
a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)．
由ka－b与a＋3b平行，得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0.
所以k＝－.
二、综合应用
11．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为( )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．无数多个
解析：∵||＝2||，且点P在直线AB上，
∴＝2或＝－2.
设P(x，y)，∴＝(x－2，y)．
而＝(2,2)．
∴(2,2)＝2(x－2，y)或(2,2)＝－2(x－2，y)．
∴或
答案：C
12．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：因为a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．
答案：D
13．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.
解析：－＝＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，因为点Q是AC的中点，所以＝，所以＝＋＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)．因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2,7)＝(－6,21)．
答案：(－6,21)
14．已知点A(－1,6)，B(3,0)，在直线AB上有一点P，且||＝||，则点P的坐标为________．
解析：设P点坐标为(x，y)．
当＝时，则(x＋1，y－6)＝(4，－6)，得
解得所以P点坐标为.
当＝－时，同理可得，P点的坐标为，
所以点P的坐标为或.
答案：或
15．平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC，点E在CD上，且＝，求E点的坐标．
解析：因为＝，
所以2＝，
所以2＋＝＋，
所以＝.设C点坐标为(x，y)，
则(x＋2，y－1)＝(－3，－3)，
所以x＝－5，y＝－2，
所以C(－5，－2)．因为＝，
所以4＝，
所以4＋4＝5，
所以4＝5.
设E点坐标为(x′，y′)，
则4(9，－1)＝5(4－x′，－3－y′)．
所以
解得
所以E点坐标为.
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