一、复习巩固
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
答案：B
2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析：由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
答案：D
3．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：＝(3,3)，＝(－2，－2)，所以＝－，与共线，但||≠||，故此四边形为梯形．
答案：A
4．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|＝|G|，则θ的值为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：设＝F1，＝F2，＝－G，则＝＋，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.
答案：D
5．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A. B.
C. D.
解析：由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．
故＝＝.
答案：C
6．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________N.
解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，
则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.
答案：10
7．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.
解析：因为|＋|＝|－|，所以以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，可得对角线AD与BC长度相等．因此，四边形ABDC为矩形．因为M是线段BC的中点，
所以AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得||＝||，因为2＝16，得||2＝16，即||＝4.
所以||＝||＝2.
答案：2
8．某人在静水中游泳，速度为4 km/h，水的流速为4 km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
解析：如图所示，设此人的实际速度为，水流速度为.
因为实际速度＝游速＋水速，所以游速为－＝，
在Rt△AOB中，||＝4，||＝4，
||＝4，cos∠BAO＝＝.
故此人应沿与河岸夹角余弦值为，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为4 km/h.
9．已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，
(1)用，表示.
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
解析：(1)因为2＋＝0，
所以2(－)＋(－)＝0，
2－2＋－＝0，
所以＝2－.
(2)证明：如图＝＋＝－＋
＝(2－)．
故＝.
即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形．
二、综合应用
10．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．
解析：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v－a，设＝－a，＝－2a，＝v，因为＋＝，所以＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，因为＋＝，所以＝v－2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.
由题意∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝a，即|v|＝a.所以实际风速是每小时a千米的西北风．
11.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若＝a，＝b.
(1)试以a，b为基底表示，；
(2)求证：A，G，C三点共线．
解析：(1)＝－＝b－a，
＝－＝a－b.
(2)证明：因为D，G，F三点共线，
则＝λ，
即＝＋λ＝λa＋(1－λ)b.
因为B，G，E三点共线，则＝μ，
即＝＋μ＝(1－μ)a＋μb，
由平面向量基本定理知解得λ＝μ＝，
∴＝(a＋b)＝，
∴A，G，C三点共线．
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