一、复习巩固
1．已知函数f(x)＝1＋log2x，则f的值为( )
A. B．－
C．0 D．－1
解析：∵f(x)＝1＋log2x，∴f＝1＋log2＝1－1＝0.
答案：C
2．已知函数f(x)＝log3(x＋1)，若f(a)＝1，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：∵f(a)＝log3(a＋1)＝1，∴a＋1＝3，∴a＝2.
答案：C
3．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
解析：由得x>2且x≠3，故选C.
答案：C
4．函数y＝lg(x＋1)的图像大致是( )
解析：由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图像向左平移1个单位长度．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)
答案：C
5．对a(a＞0，a≠1)取不同的值，函数y＝loga的图像恒过定点P，则P的坐标为( )
A．(1,0) B．(－2,0)
C．(2,0) D．(－1,0)
解析：根据loga1＝0，故令＝1，解得x＝－2，故P点的坐标为(－2,0)．
答案：B
6．已知对数函数f(x)的图像过点(8，－3)，则f(2)＝________.
解析：设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
则－3＝loga8，∴a＝.
∴，＝－log2(2)＝－.
答案：－
7．函数f(x)＝log(2x－1)的定义域为________．
解析：由解得x＞，且x≠1，所以函数的定义域为∪(1，＋∞)．
答案：∪(1，＋∞)
8．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图像过点(－1,0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解析：(1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，a≠1)中，
有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，
所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
9．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．
解析：(1)由x－2＞0，得x＞2，
所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又因为x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝，即函数y＝log4(x2＋8)的值域是.
二、综合应用
10．函数f(x)＝的定义域为(0,10]，则实数a的值为( )
A．0 B．10
C．1 D.
解析：由已知，得a－lg x≥0的解集为(0,10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1，故选C.
答案：C
11．函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的图像大致为( )
解析：函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)是偶函数，
∴f(x)的图像关于y轴对称，当x＞0时，f(x)＝logax＋1是增函数；当x＜0时，f(x)＝loga(－x)＋1是减函数，又∵图像过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知，选C.
答案：C
12．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则
即1＜a＜2，
若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．
答案：(1,2)
13．已知函数f(x)＝| |的定义域为，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．
解析：作出f(x)＝||的图像(如图)，可知f ＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图像知：1≤m≤2.
答案：[1,2]
14．求y＝()2－＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解析：因为2≤x≤4，所以，
即－1≥≥－2.
设t＝，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图像的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.
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一、复习巩固
1．设a＝2，b＝log23，c＝0.3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
解析：a＝2＜1＝0，b＝log23＞log22＝1,0＜c＝0.3＜0＝1，则a＜c＜b.
答案：B
2．若loga2＜logb2＜0，则下列结论正确的是( )
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
答案：B
3．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )
A. B.
C．2 D．4
解析：由题可知函数f(x)＝ax＋logax在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故a＝2.
答案：C
4．已知f(x)＝2＋log3x，x∈，则f(x)的最小值为( )
A．－2 B．－3
C．－4 D．0
解析：∵函数f(x)＝2＋log3x在上是增函数，
∴当x＝时，f(x)取最小值，最小值为f＝2＋log3＝2＋log33－4＝2－4＝－2.
答案：A
5．函数f(x)＝lg是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
解析：f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝lg＝lg 1＝0，
∴f(x)为奇函数，故选A.
答案：A
6．比较大小：
(1)log22________log2；
(2)log3π________logπ3.
解析：(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞，所以log22＞log2.
(2)因为函数y＝log3x增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.
同理1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
答案：(1)＞ (2)＞
7．不等式(5＋x)<(1－x)的解集为________．
解析：由得－2答案：{x|－28．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.
解析：∵a＞1，
∴f(x)＝logax在[a,2a]上递增，
∴loga(2a)－logaa＝，
即loga2＝，
∴＝2，a＝4.
答案：4
9．求下列函数的值域
(1)y＝log2(x2－4x＋6)；
(2)y＝log2(x2－4x－5)．
解析：(1)令u＝x2－4x＋6，∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，
又f(x)＝log2u在(0，＋∞)上是增函数，
∴log2(x2－4x＋6)≥log22＝1，
∴函数的值域是[1，＋∞)．
(2)∵x2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9，
∴x2－4x－5能取到所有正实数，
∴函数y＝log2(x2－4x－5)的值域是R.
10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，求满足f(x)＞0的x的取值范围．
解析：∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
设x＜0，则－x＞0，
∴f(x)＝－f(－x)＝－lg(－x)，
∴f(x)＝
由f(x)＞0得
或
∴x＞1或－1＜x＜0.
二、综合应用
11．关于函数f(x)＝(1－2x)的单调性的叙述正确的是( )
A．f(x)在内是增函数
B．f(x)在内是减函数
C．f(x)在内是增函数
D．f(x)在内是减函数
解析：由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝(1－2x)的单调性与y＝1－2x的单调性相反．由1－2x＞0，得x＜，所以f(x)＝(1－2x)的定义域为.因为y＝1－2x在(－∞，＋∞)内是减函数，所以f(x)在内是增函数，故选C.
答案：C
12．若函数f(x)＝loga(2x＋1)(a＞0，且a≠1)在区间内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调减区间是( )
A. B.
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：当x∈时，2x＋1∈(0,1)，
所以0＜a＜1.
又因为f(x)的定义域为，y＝2x＋1在上为增函数，所以f(x)的单调减区间为.
答案：B
13．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3＞1，解得a＞2.
答案：(2，＋∞)
14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(x)＞0的解集为________．
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图像关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
作出函数图像如图所示．
由f＝0，得f＝0.
∴f(x)＞0?x＜－或x＞?x＞2或0＜x＜，
∴x∈∪(2，＋∞)．
答案：∪(2，＋∞)
15．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
解析：(1)要使函数有意义，则有
解得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为：f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，
因为－3＜x＜1，所以0＜－(x＋1)2＋4≤4.
因为0＜a＜1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝＝.
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