一、复习巩固
1．设f(x)＝3x＋9，则f－1(x)的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(9，＋∞)
C．(10，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：∵f(x)＝3x＋9>9，
∴反函数的定义域为(9，＋∞)，故选B.
答案：B
2．函数y＝ex＋1(x∈R)的反函数是( )
A．y＝1＋ln x (x>0)
B．y＝1－ln x (x>0)
C．y＝－1－ln x (x>0)
D．y＝－1＋ln x (x>0)
解析：由y＝ex＋1得x＋1＝ln y，
即x＝－1＋ln y，所以所求反函数为y＝－1＋ln x (x>0)．故选D.
答案：D
3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．log2x B.
C．x D．2x－2
解析：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x.
答案：A
4．已知函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则( )
A．f(2x)＝e2x(x∈R)
B．f(2x)＝ln 2·ln x(x>0)
C．f(2x)＝2ex(x∈R)
D．f(2x)＝ln x＋ln 2(x>0)
解析：由y＝ex得f(x)＝ln x，
∴f(2x)＝ln 2x＝ln 2＋ln x(x>0)．
答案：D
5．函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f－1(x)的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：∵3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>log21＝0，即f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(0，＋∞)，故选C.
答案：C
6．已知函数y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图像关于直线y＝x对称，则a，b的值分别为________．
解析：由y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图像关于直线y＝x对称，说明它们互为反函数．又由y＝ax＋2，解得x＝(a≠0)，所求反函数为y＝x－，与函数y＝3x＋b表示同一函数，则有＝3且－＝b，解得a＝，b＝－6.
答案：，－6
7．已知函数f(x)＝ax－k(a>0，且a≠1)的图像过点(2,5)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(3,1)，则f(x)的表达式为________．
解析：∵y＝f－1(x)的图像过点(3,1)，
∴y＝f(x)的图像过(1,3)点，∴3＝a－k，①
又y＝f(x)的图像过点(2,5)，
∴5＝a2－k，②
由①②解得a＝2，k＝－1，∴f(x)＝2x＋1.
答案：f(x)＝2x＋1
8．求函数y＝3x－4(x≥2)的反函数．
解析：∵y＝3x－4，∴3x＝y＋4，∴x＝log3(y＋4)，
∴y＝log3(x＋4)，
又∵x≥2，∴3x－4≥5，∴定义域为[5，＋∞)．
∴函数的反函数为y＝log3(x＋4)(x≥5)．
9．设f(x)＝，函数y＝g(x)的图像与函数y＝f－1(x＋1)的图像关于直线y＝x对称，求g(3)．
解析：依题意可知，y＝g(x)与y＝f－1(x＋1)互为反函数，令g(3)＝m，则点(3，m)在y＝g(x)的图像上，从而点(m,3)在y＝f－1(x＋1)的图像上，因此，得3＝f－1(m＋1)，∴f(3)＝m＋1，∴m＝f(3)－1＝－1＝，
即g(3)＝.
二、综合应用
10．设a＝log32，b＝ln 2，，则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析：a＝log32＝，b＝ln 2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b.又＝，而＞2＝log24＞log23，所以c＜a.综上知c＜a＜b.
答案：C
11．设函数f(x)＝loga(x＋b) (a>0，且a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a＋b等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：f(x)＝loga(x＋b)的反函数为f－1(x)＝ax－b，又f(x)过点(2,1)，∴f－1(x)过点(1,2)，
∴解得或
又a>0，∴∴a＋b＝4.
答案：B
12．函数y＝的反函数是________．
解析：当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；
当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln x，x≥1.
故原函数的反函数为y＝
答案：y＝
13．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(27)＝3，则f－1(log92)的值是________．
解析：∵f(27)＝3，∴loga27＝3，即a＝3，
∴f(x)＝log3x，∴f－1(x)＝3x，
∴
答案：
14．若不等式2x－logax<0，当x∈时恒成立，求实数a的取值范围．
解析：要使不等式2x
即函数y＝logax的图像在内恒在函数y＝2x图像的上方，而y＝2x图像过点.由图可知，loga≥，显然这里0∴函数y＝logax递减．
又loga≥＝，
∴，即a≥.
∴所求的a的取值范围为
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