一、复习巩固
1．幂函数的图像过点(2，)，则该幂函数的解析式为( )
A．y＝x－1 B．
C．y＝x2 D．y＝x3
解析：设f(x)＝xα，则2α＝，∴α＝，∴f(x)＝x.选B.
答案：B
2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点，则k＋α＝( )
A. B．1
C. D．2
解析：因为幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点，所以k＝1，f＝α＝，即α＝－，所以k＋α＝.
答案：A
3．下列命题：
①幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图像不可能在第四象限；
③n＝0，函数y＝xn的图像是一条直线；
④幂函数y＝xn当n>0时，是增函数；
⑤幂函数y＝xn当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
正确的命题为( )
A．①④ B．④⑤
C．②③ D．②⑤
解析：y＝x－1不过点(0,0)，∴①错误，排除A；当n＝0时，y＝xn的图像为两条射线，③错误，排除C；y＝x2不是增函数，④错误，排除B；因此答案选D.
答案：D
4．函数的图像是( )
解析：∵函数是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C.
答案：C
5．函数是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m的值为( )
A．4 B．3
C．－1或2 D．2
解析：，解得m＝2.
答案：D
6．若f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α的取值范围为________．
解析：由f(x)的单调性可知α>0，即α的取值范围为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
7．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．
解析：因为函数y＝x－3＝在(－∞，0)上单调递减，
所以当x＝－2时，ymin＝(－2)－3＝＝－.
答案：－
8．函数是幂函数，且在x∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m＝________.
解析：由m2－m＋1＝1，得m＝0或m＝1，
再把m＝0和m＝1分别代入m2＋2m－3<0检验，得m＝0.
答案：0
9．比较下列各题中两个幂的值的大小：
解析：(1)∵为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9，
∴
(2)∵为(0，＋∞)上的减函数，又1.1>0.9，
∴
(3)∵，函数为[0，＋∞)上的增函数，且<，
∴
10．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图像上，问：当x为何值时，有：
①f(x)>g(x)？②f(x)＝g(x)？③f(x)
解析：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1.
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图像，如图所示．由图像知，
当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x)二、综合应用
11．a，b满足0A．aaC．aa解析：因为0答案：C
12．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图像可能是( )
解析：法一：分a>1,0当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0法二：幂函数f(x)＝xa的图像不过(0,1)点，排除A；B项中由对数函数f(x)＝logax的图像知01，而此时幂函数f(x)＝xa的图像应是增长越来越快的变化趋势，故C错．
答案：D
13．若(a＋1)3＜(3a－2)3，则实数a的取值范围是________．
解析：构造函数y＝x3，它在R上是增函数，所以a＋1＜3a－2，解得a＞.
答案：
14．设则a，b，c的大小关系为________．
解析：构造幂函数 (x∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a＞b；构造指数函数y＝x，由该函数在定义域内单调递减，所以a＜c，故c＞a＞b.
答案：c＞a＞b
15．已知幂函数
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
解析：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴m2＋m为偶数，
∴函数的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在其定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，)，
∴
∴m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0.
∴m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴由f(2－a)＞f(a－1)得
解得1≤a＜.
故m的值为1，满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围为.
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