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选修4-4 坐标系 专项训练测试题
1．若函数y＝f(x)的图像在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．
2．以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＝5，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；
(2)射线OP：θ＝与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．
4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.
5．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)过原点O的直线l1，l2分别与曲线C交于除原点外的A，B两点，若∠AOB＝，求△AOB的面积的最大值．
6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)；在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.
(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若射线l：y＝kx(x≥0)与曲线C1，C2的交点分别为A，B(A，B异于原点)，当斜率k∈(1，]时，求|OA|·|OB|的取值范围．
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选修4-4 坐标系 专项训练测试题解析
1．若函数y＝f(x)的图像在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．
解析 由题意，把变换公式代入曲线
y′＝3sin得3y＝3sin，
整理得y＝sin，故f(x)＝sin.
所以y＝f(x)的最小正周期为＝π.
2．以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．
解析 (1)∵ρ＝，ρsin θ＝y，
∴ρ＝化为ρ－ρsin θ＝2，
∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.
(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，
根据题意＝3·，解得θ0＝或θ0＝，
直线l的极坐标方程θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＝5，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；
(2)射线OP：θ＝与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．
解析 (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，直线l：x＋y＝5，
所以直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝5，
化简得2ρsin＝5.
由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，
所以x2＋y2＝4y，即x2＋y2－4y＝0，
故圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0.
(2)由题意得ρA＝4sin ＝2，ρB＝＝5，所以|AB|＝|ρA－ρB|＝3.
4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.
解析 (1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，
则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，
由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，
设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，
则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，
∴＋＝＝＝.
5．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)过原点O的直线l1，l2分别与曲线C交于除原点外的A，B两点，若∠AOB＝，求△AOB的面积的最大值．
解析 (1)曲线C的普通方程为(x－)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2x－2y＝0，所以，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin.
(2)不妨设A(ρ1，θ)，B，θ∈.
则ρ1＝4sin，ρ2＝4sin，
△AOB的面积S＝|OA|·|OB|sin ＝ρ1ρ2sin
＝4sinsin
＝2cos 2θ＋≤3.
所以，当θ＝0时，△AOB的面积取最大值3.
6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)；在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.
(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若射线l：y＝kx(x≥0)与曲线C1，C2的交点分别为A，B(A，B异于原点)，当斜率k∈(1，]时，求|OA|·|OB|的取值范围．
解析 (1)曲线C1的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2－2x＋y2＝0，将代入并化简得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
由ρcos2θ＝sin θ两边同时乘ρ，得ρ2cos2θ＝ρsin θ，结合得曲线C2的直角坐标方程为x2＝y.
(2)设射线l：y＝kx(x≥0)的倾斜角为φ，则射线的极坐标方程为θ＝φ，且k＝tan φ∈(1，]．联立得|OA|＝ρA＝2cos φ，
联立得|OB|＝ρB＝，
所以|OA|·|OB|＝ρA·ρB＝2cos φ·＝2tan φ＝2k∈(2，2]，即|OA|·|OB|的取值范围为(2，2]．
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