四川2019--2020人教（新教材）物理必修第二册：第六章拓展课　竖直面内圆周运动的轻绳、轻杆模型同步导学案讲义含答案

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四川2019--2020人教（新教材）物理必修第二册：第六章拓展课　竖直面内圆周运动的轻绳、轻杆模型同步导学案讲义含答案
拓展课　竖直面内圆周运动的轻绳、轻杆模型

拓展点一　竖直面内圆周运动的轻绳模型
1.模型概述
无支撑物(如球与绳连接，沿内轨道运动的“过山车”等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻绳模型”。
2.模型特点
轻绳模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零
受力示意图
力学方程 mg＋FT＝m
临界特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝
v＝的意义 物体能否过最高点的临界点
[试题案例]
[例1] 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm。(g取10 m/s2)

(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；恰好不流出满足：mg＝
(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小。
解析　分别以水桶和桶中的水为研究对象，对它们进行受力分析，找出它们做圆周运动所需向心力的来源，根据牛顿运动定律建立方程求解。
(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。
此时有mg＝meq \f(v,l)，则所求的最小速率为v0＝≈2.24 m/s。
(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有FN＋mg＝m，
代入数据可得FN＝4 N。
由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小为FN′＝4 N。
答案　(1)2.24 m/s　(2)4 N
[针对训练1] 如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，身体颠倒，若轨道半径为R，要使体重为mg的乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为(　　)

A.0 B.
C. D.
解析　由题意知F＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝，选项C正确。
答案　C
拓展点二　竖直面内圆周运动的轻杆模型
1.模型概述
有支撑物(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻杆模型”。
2.模型特点



轻杆模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程 mg±FN＝m
临界特征 v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg
v＝的意义 FN表现为拉力还是支持力的临界点
[试题案例]
[例2] 如图所示，长为L＝0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直面内做匀速圆周
轻杆模型
运动，A端连着一个质量为m＝2 kg的小球，g取10 m/s2。

(1)如果在最低点时小球的速度为3 m/s，杆对小球的拉力为多大？
(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，杆旋转的角速度为多大？
解析　(1)小球在最低点受力如图甲所示，合力提供向心力，则FN1－mg＝m，解得FN1＝56 N。


(2)小球在最高点受力如图乙所示，则
mg－FN2＝mω2L，
解得ω＝4 rad/s。
答案　(1)56 N　(2)4 rad/s
方法总结　解答竖直面内圆周运动问题的基本思路
首先要分清是绳模型还是杆模型，其次明确两种模型到达最高点的临界条件。另外，对于杆约束物体运动到最高点时的弹力方向可先假设，然后根据计算结果的正负确定实际方向。
[针对训练2] 如图所示，质量为2m，且内壁光滑的导管弯成圆周轨道竖直放置，质量为m的小球，在管内滚动，当小球运动到最高点时，导管刚好要离开地面，此时小球的速度多大？(轨道半径为R，重力加速度为g)

解析　小球运动到最高点时，导管刚好要离开地面，说明此时小球对导管的作用力竖直向上，大小为FN＝2mg

分析小球受力如图所示
则有FN′＋mg＝m，
由牛顿第三定律知，FN′＝FN
可得v＝
答案　

1.(多选)如图所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是(　　)

A.小球通过最高点时的最小速度是
B.小球通过最高点时的最小速度为零
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
解析　圆环外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故选项B、D正确。
答案　BD
2.如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，重力加速度为g，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为(　　)

A. B.2
C. D.
解析　小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确。
答案　C
3.如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动。当小球运动到最高点时，瞬时速度为v＝，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是(　　)

A.mg的拉力 B.mg的压力
C.零 D.mg的压力
解析　当重力充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝，解得v＝，所以＜时，杆对球是支持力，即mg－FN＝m，解得FN＝mg，由牛顿第三定律知球对杆是压力，故选项B正确。
答案　B
4.长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，(g＝10 m/s2)求下列两种情况下A对杆的作用力大小：

(1)A的速率为1 m/s；
(2)A的速率为4 m/s。
解析　以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，则有
mg＋F＝m。
(1)代入数据v1＝1 m/s，可得F1＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,L)－g))＝2× N＝－16 N，即A受到杆的支持力为16 N。根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N。
(2)代入数据v2＝4 m/s，可得F2＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,L)－g))＝2× N＝44 N，即A受到杆的拉力为44 N。根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N。
答案　(1)16 N　(2)44 N
5.如图是小型电动打夯机的结构示意图，电动机带动质量为m＝50 kg的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O匀速运动，重锤转动半径为R＝0.5 m，电动机连同打夯机底座的质量为M＝25 kg，重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度g取10 m/s2。求：

(1)重锤转动的角速度为多大时，才能使打夯机底座刚好离开地面？
(2)若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大？
解析　(1)当拉力大小等于电动机连同打夯机底座的重力时，才能使打夯机底座刚好离开地面
有FT＝Mg
对重锤有mg＋FT＝mω2R
解得ω＝＝ rad/s
(2)在最低点，对重锤有
FT′－mg＝mω2R
则FT′＝Mg＋2mg
对打夯机有
FN＝FT′＋Mg＝2(M＋m)g＝1 500 N。
由牛顿第三定律得FN′＝FN＝1 500 N
答案　(1) rad/s　(2)1 500 N