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选修4-4 参数方程 专项训练测试题
1．平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m，0)，且倾斜角为.
(1)求圆C和直线l的参数方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．
2．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝asin θ(a≠0)．
(1)求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
(2)设直线l截圆C的弦长是半径长的倍，求a的值．
3．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α(α为常数)的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．
4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为(t为参数，0≤α≤π)．
(1)求α＝，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；
(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|.
5．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(θ为参数)．
(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；
(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．
6．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
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选修4-4 参数方程 专项训练测试题解析
1．平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m，0)，且倾斜角为.
(1)求圆C和直线l的参数方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．
解析 (1)由曲线C：(x－1)2＋y2＝1得参数方程为(θ为参数)．
直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，
得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m，
由题意得|m2－2m|＝1，得m＝1，m＝1＋或m＝1－.
2．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝asin θ(a≠0)．
(1)求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
(2)设直线l截圆C的弦长是半径长的倍，求a的值．
解析 (1)圆C的直角坐标方程为x2＋＝；直线l的普通方程为4x＋3y－8＝0.
(2)圆C：x2＋＝a2，直线l：4x＋3y－8＝0，因为直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以圆心C到直线l的距离d＝＝×，解得a＝32或a＝.
3．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α(α为常数)的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．
解析 (1)∵倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，
∴直线l的参数方程是(t是参数)．
∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ，
∴曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，
得t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2＝，
根据直线参数方程中参数的几何意义，
得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40，
又α∈[0，π)，故α＝或α＝，
又∵Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2α>0，∴α＝.
4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为(t为参数，0≤α≤π)．
(1)求α＝，求l的普通方程，直接写出C的直角坐标方程；
(2)若l与C有两个不同的交点A，B，且P(2，1)为AB的中点，求|AB|.
解析 (1)由直线l的参数方程(t为参数)及α＝可得其直角坐标方程为x＋y－3＝0，由曲线C的极坐标方程ρ＝，
得其直角坐标方程为y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程(t为参数)，
代入抛物线方程y2＝2x得
t2sin2α＋2t(sin α－cos α)－3＝0(*)，
设A，B所对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－.
∵P(2，1)为AB的中点，
∴P点所对应的参数为＝＝0，
∴sin α－cos α＝0，即α＝.则(*)变为t2－3＝0，
此时t2＝6，t＝±，∴|AB|＝|t1－t2|＝2.
5．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(θ为参数)．
(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；
(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．
解析 (1)∵C1的极坐标方程是ρ＝，
∴4ρcos θ＋3ρsin θ＝24，∴4x＋3y－24＝0，
故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.
∵曲线C2的参数方程为∴x2＋y2＝1，
故C2的普通方程为x2＋y2＝1.
(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为(α为参数)．
设N(2·cos α，2sin α)，则点N到曲线C1的距离d＝＝＝.
当sin(α＋φ)＝1时，d有最小值，
所以|MN|的最小值为.
6．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解析 (1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为.
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
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