17.3 一元二次方程根的判别式课件
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17.3一元二次方程根的判别式
沪科版 八年级下
新知导入
问题：先求b2-4ac的值，再判断它是否大于，等于，还是小于0.
然后求出下列方程解：
（1）2x2+7x-4=0（ ）
（2）x2+6x+9=0（ ）
（3）3x2+7x+5=0（ ）
x1= 1/2 , x2=-4
x1=x2=-3
b2-4ac=81>0，
b2-4ac=0，
b2-4ac<0，
无实数根
你能发现b2-4ac的值与一元二次方程根的情况吗？
新知导入
交流：在前面的计算中，你是否注意到：方程ax2+bx+c=0 (a≠0）
有实数根的条件是什么？何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？何时没有实数根？
结论：①当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
③当b2-4ac<0时，一元二次方程没有实数根。
新知讲解
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）根的情况由b2-4ac来确定.
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）根的判别式，通常用符合?来表示，即?=b2-4ac.
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）根的情况是：
①当?>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当?=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
③当?<0时，一元二次方程没有实数根。
新知讲解
例1.不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）5x2-3x-2=0 （2）25x2+4=20x （3）3x2+7x+5=0
解：（1）?=（-3）2-4×5×（-2）=49>0
所以一元二次方程5x2-3x-2=0有两个不相等的实数根；
（2）原方程可化为25x2-20x +4=0，
?=（-20）2-4×25×4=0
所以一元二次方程25x2+4=20x 有两个相等的实数根；
（3）?=72-4×5×3=-11<0，所以原方程没有实数根。
新知讲解
例2.已知关于X的一元二次方程x2-3x+k=0.问k取何值时，这个方程：
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根。
解：?=（-3）2-4×1×k=9-4k
①当?=9-4k>0，即k<9/4时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当?=9-4k=0即k=9/4时，一元二次方程有两个相等的实数根；
③当?=9-4k<0即k>9/4时，一元二次方程没有实数根。
新知讲解
例3.求证：关于X的方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根.
证明：?=（2k+1）2-4×1×（k-1）=4k2+5
因为4k2≥0，所以4k2+5>0
故?>0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
新知讲解
例4.关于X的一元二次方程（k-1）x2-2kx+k=0有实数根，求k的取值范围.
解：因为关于X的一元二次方程（k-1）x2-2kx+k=0有实数根
故?=（-2k）2-4×k×（k-1）=4k2-4k2+4k=4k≥0
所以k≥0.
课堂练习
1.不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）2x2+4x+35=0 （2）0.2x2-5=1.5x
（3）4x（x-1）+1=0 （4）x2+0.09=0.6x
解：（1）因为?=16-4×2×35<0，所以该方程没有实数根；
（2）因为?=2.25-4×0.2×（-5）>0，所以该方程有两个不相等实数根；
（3）因为?=（-4）2-4×4×1=0，所以该方程有两个相等的实数根；
（4）因为?=（-0.6）2-4×0.09×1=0，所以该方程有两个相等的实数.
课堂练习
2.一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）有两个不相等实数根，则?=b2-4ac满足的条件是（ ）
A.b2-4ac=0 B.b2-4ac>0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≤0
3.关于X的一元二次方程4x2-4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A.-1 B.1 C.-4 D.4
B
B
课堂练习
4.已知方程2x2-4x+k=0
（1）当k————时，方程有两个不相等实数根；
（2）当k————时，方程有两个相等的实数根；
（3）当k————时，方程没有实数根.
<2
=2
>2
课堂练习
5.关于X的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是为（ ）
A.k≥-1 B.k>-1 C.k ≠0 D.k>-1且k ≠0
解：?=4-4×k×（-1）=4+4k
因为关于X的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根
所以4+4k>0，故k>-1
但是kx2+2x-1=0是一元二次方程，所以k ≠0
所以k>-1且k ≠0
D
拓展提高
6.在等腰?ABC中，三边分别为a,b,c其中a=5，若关于X的一元二次方程x2+（b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,求?ABC的周长.
解：因为原方程有两个相等的实数根
所以?=(b+2)2-4×1×（6-b）=b2+8b-20=0
所以 b1=-10(舍去), b2=2
因为2+2<5，所以 2不可能是等腰?ABC的腰，故5是等腰?ABC的腰，所以等腰?ABC的周长为5+5+2=12
拓展提高
7.已知关于X的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0
(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.
(1)证明：?=(m+2)2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2≥0
所以不论m为何值时，方程总有实数根.
(2)原方程可化为（x-1）（mx-2）=0
所以x1=1，x2=2/m
因为x1，x2均为正整数，所以m=1
中考链接
8.（中考·丽水）下列一元二次方程没有实数根是（ ）
A. x2+2x+1=0 B. x2+x+2=0
C. x2-1=0 D.x2-2x-1=0
9.（中考·衢州）已知关于X的一元二次方程x2-2x-k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. k≥1 B. k >1 C. k≥-1 D.k >-1
B
D
课堂总结
本节课你有什么收获？
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）根的情况是：
①当?>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当?=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
③当?<0时，一元二次方程没有实数根。
板书设计
17.3一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）根的情况
2.例1... 例2... 例3... 例4...
作业布置
课本 P36 习题17.3第1---5题
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17.3一元二次方程根的判别式
沪科版 八年级下
新知导入
问题：先求b2-4ac的值，再判断它是否大于，等于，还是小于0.
然后求出下列方程解：
（1）2x2+7x-4=0（ ）
（2）x2+6x+9=0（ ）
（3）3x2+7x+5=0（ ）
x1= 1/2 , x2=-4
x1=x2=-3
b2-4ac=81>0，
b2-4ac=0，
b2-4ac<0，
无实数根
你能发现b2-4ac的值与一元二次方程根的情况吗？
新知导入
交流：在前面的计算中，你是否注意到：方程ax2+bx+c=0 (a≠0）
有实数根的条件是什么？何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？何时没有实数根？
结论：①当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
③当b2-4ac<0时，一元二次方程没有实数根。
新知讲解
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）根的情况由b2-4ac来确定.
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）根的判别式，通常用符合?来表示，即?=b2-4ac.
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）根的情况是：
①当?>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当?=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
③当?<0时，一元二次方程没有实数根。
新知讲解
例1.不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）5x2-3x-2=0 （2）25x2+4=20x （3）3x2+7x+5=0
解：（1）?=（-3）2-4×5×（-2）=49>0
所以一元二次方程5x2-3x-2=0有两个不相等的实数根；
（2）原方程可化为25x2-20x +4=0，
?=（-20）2-4×25×4=0
所以一元二次方程25x2+4=20x 有两个相等的实数根；
（3）?=72-4×5×3=-11<0，所以原方程没有实数根。
新知讲解
例2.已知关于X的一元二次方程x2-3x+k=0.问k取何值时，这个方程：
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根。
解：?=（-3）2-4×1×k=9-4k
①当?=9-4k>0，即k<9/4时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当?=9-4k=0即k=9/4时，一元二次方程有两个相等的实数根；
③当?=9-4k<0即k>9/4时，一元二次方程没有实数根。
新知讲解
例3.求证：关于X的方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根.
证明：?=（2k+1）2-4×1×（k-1）=4k2+5
因为4k2≥0，所以4k2+5>0
故?>0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
新知讲解
例4.关于X的一元二次方程（k-1）x2-2kx+k=0有实数根，求k的取值范围.
解：因为关于X的一元二次方程（k-1）x2-2kx+k=0有实数根
故?=（-2k）2-4×k×（k-1）=4k2-4k2+4k=4k≥0
所以k≥0.
课堂练习
1.不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）2x2+4x+35=0 （2）0.2x2-5=1.5x
（3）4x（x-1）+1=0 （4）x2+0.09=0.6x
解：（1）因为?=16-4×2×35<0，所以该方程没有实数根；
（2）因为?=2.25-4×0.2×（-5）>0，所以该方程有两个不相等实数根；
（3）因为?=（-4）2-4×4×1=0，所以该方程有两个相等的实数根；
（4）因为?=（-0.6）2-4×0.09×1=0，所以该方程有两个相等的实数.
课堂练习
2.一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）有两个不相等实数根，则?=b2-4ac满足的条件是（ ）
A.b2-4ac=0 B.b2-4ac>0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≤0
3.关于X的一元二次方程4x2-4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A.-1 B.1 C.-4 D.4
B
B
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4.已知方程2x2-4x+k=0
（1）当k————时，方程有两个不相等实数根；
（2）当k————时，方程有两个相等的实数根；
（3）当k————时，方程没有实数根.
<2
=2
>2
课堂练习
5.关于X的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是为（ ）
A.k≥-1 B.k>-1 C.k ≠0 D.k>-1且k ≠0
解：?=4-4×k×（-1）=4+4k
因为关于X的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根
所以4+4k>0，故k>-1
但是kx2+2x-1=0是一元二次方程，所以k ≠0
所以k>-1且k ≠0
D
拓展提高
6.在等腰?ABC中，三边分别为a,b,c其中a=5，若关于X的一元二次方程x2+（b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,求?ABC的周长.
解：因为原方程有两个相等的实数根
所以?=(b+2)2-4×1×（6-b）=b2+8b-20=0
所以 b1=-10(舍去), b2=2
因为2+2<5，所以 2不可能是等腰?ABC的腰，故5是等腰?ABC的腰，所以等腰?ABC的周长为5+5+2=12
拓展提高
7.已知关于X的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0
(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.
(1)证明：?=(m+2)2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2≥0
所以不论m为何值时，方程总有实数根.
(2)原方程可化为（x-1）（mx-2）=0
所以x1=1，x2=2/m
因为x1，x2均为正整数，所以m=1
中考链接
8.（中考·丽水）下列一元二次方程没有实数根是（ ）
A. x2+2x+1=0 B. x2+x+2=0
C. x2-1=0 D.x2-2x-1=0
9.（中考·衢州）已知关于X的一元二次方程x2-2x-k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. k≥1 B. k >1 C. k≥-1 D.k >-1
B
D
课堂总结
本节课你有什么收获？
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）根的情况是：
①当?>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当?=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
③当?<0时，一元二次方程没有实数根。
板书设计
17.3一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）根的情况
2.例1... 例2... 例3... 例4...
作业布置
课本 P36 习题17.3第1---5题
谢谢
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