4.1 因式分解
学习目标：
1．了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．
2. 认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系
本节重难点：
因式分解概念
预习作业：
请同学们预习作业教材P43~P44的内容，在学习过程中请弄清以下几个问题：
1. 分解因式的概念:把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个
多项式分解因式
2. 分解因式与整式乘法有什么关系？
分解因式是把一个多项式化成 积的关系。
整式的乘法是把整式化成 和的关系，分解因式是整式乘法的逆变形。
例1、993–99能被100整除吗？还能被哪些数整除？你是怎么得出来的？
计算下列式子：
（1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b+c)= ；
（3）（m+4）(m-4)= ；（4）（y-3）2= ；
（5）a(a+1)(a-1)= ．
根据上面的算式填空：
（1）ma+mb+mc= ；（2）3x2-3x= ；
（3）m2-16= ；（4）a3-a= ；
（5）y2-6y+9= ．
议一议：两种运算的联系与区别：
因式分解的概念：．
例1：下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a （2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a2–ab （4）a2–2ab+b2=(a–b)2
区别与联系：
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
（2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
例2：若分解因式，求m的值。
变式训练：
已知关于x的二次三项式3x2 +mx-n=(x+3)(3x-5),求m,n的值。
能力提高：
1、已知x-y=2010，
2、当m为何值时，有一个因式为y-4？
4.2 提公因式法
第1课时 直接提公因式因式分解
学习目标：
1. 了解公因式的意义，并能准确的确定一个多项式各项的公因式；
2. 掌握因式分解的概念，会用提公因式法把多项式分解因式.
3．进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法
学习重点：
能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.
学习难点：
正确识别多项式的公因式.
预习作业
1、一个多项式各项都含有 ____________因式，叫做这个多项式各项的___________
2、公因式是各项系数的________________与各项都含有的字母的__________的积。
3、如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个__________提出来，从而将这个多项式化成两个因式的乘积形式，这种分解因式的方法叫做______________
4、把首项系数变为正数。
（1）—（ ）
（2）—（ ）
（3）—（ ）
例1、确定下列各题中的公因式：
（1），， （2），
（3），
例2、用提公因式法分解因式
（1） （2）
（3） （4）
例3、利用分解因式简化计算：
例4、如果，求的值
变式训练：
1．分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
拓展训练：
1．利用分解因式计算：
2. 已知多项式可分解为，求，值
3．证明：能 被整除。
4计算：
提公因式法小结：
1、当首项系数为负时，一般要提出负号，使剩下的括号中的第一项的系数为正，括号内其余各项都应注意改变负号。
2、公因式的系数取多项式中各项系数的最大公约数，公因式的字母取各项相同字母的最低次幂的积。
3、提取公因式分解因式的依据就是乘法分配律的逆用
4、当把某项全部提出来后余下的系数是1，不是0（提公因式后括号内多项式的项数与原多项式的项数一致）
4.2 提公因式法
第2课时 变形后提公因式因式分解
学习目标：
1.掌握用提公因式法分解因式的方法
2.培养学生的观察能力和化归转化能力
3.通过观察能合理进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点
学习重点：
含有公因式是多项式的分解因式
学习难点：
整体思想的运用以及代数式的符号变换的处理
预习作业
1．把分解因式， 这里要把多项式看成一个整体，则_______是多项式的公因式，故可分解成___________________
2．请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=__________（a－2） （2）y－x=__________（x－y）
（3）b+a=__________（a+b） （4）_________
（5）_________ （6）_________
（7）__________ （8）________
3．一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“”或“—”）：
例1
例2 把下列各式分解因式:
（1） （2）
（3）
变式训练
1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是 （ ）
A. B. C. D.
2. 下列因式分解中正确的是 （ ）
B.
C. D.
3. 用提公因式法将下列各式分解因式
（1） (2)
（3） (4)
(5) 先分解因式，再计算求值
，其中
拓展训练
1．若，则_______________
2. 长，宽分别为，的矩形，周长为14，面积为10，则的值为_________
3．三角形三边长，，满足，试判断这个三角形的形状
4.3 公式法
第1课时 平方差公式
学习目标：
1.了解运用公式法分解因式的意义；
2.会用平方差公式进行因式分解；
本节重难点：用平方差公式进行因式分解
中考考点：正向、逆向运用平方差公式。
预习作业：
请同学们预习作业教材P54~P55的内容：
1. 平方差公式字母表示: .
2. 结构特征：项数、次数、系数、符号
活动内容：填空：
（1）（x+3）（x–3） = ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；
（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．
根据上面式子填空：
（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；
（3）x2–9= ；（4）1–4x2= ．
结论：a2–b2=（a+b）（a–b）
平方差公式特点：系数能平方，指数要成双，减号在中央
例1： 把下列各式因式分解：
（1）25–16x2 （2）9a2–
变式训练：
（1） （2）
例2、将下列各式因式分解：
（1）9（x–y）2–（x+y）2 （2）2x3–8x
变式训练：
（1） （2）
注意：1、平方差公式运用的条件：（1）二项式（2）两项的符号相反（3）每项都能化成平方的形式
2、公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式
3、各项都有公因式，一般先提公因式。
例3：已知n是整数，证明：能被8整除。
拓展训练：
1、计算：
2、分解因式：
3、已知a,b,c为△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状。
4.3 公式法
第2课时 完全平方公式
学习目标：
1.了解运用公式法分解因式的意义；
2.会用完全平方公式进行因式分解；
3.清楚优先提取公因式，然后考虑用公式
本节重难点：
1、 用完全平方公式进行因式分解
2、 综合应用提公因式法和公式法分解因式
中考考点：正向、逆向运用公式，特别是配方法是必考点。
预习作业：
请同学们预习作业教材P57~P58的内容：
1. 完全平方公式字母表示: .
2、形如或的式子称为
3. 结构特征：项数、次数、系数、符号
填空：
（1）（a+b）（a-b） = ；（2）（a+b）2= ；
（3）（a–b）2= ；
根据上面式子填空：
（1）a2–b2= ；（2）a2–2ab+b2= ；
（3）a2+2ab+b2= ；
结 论：形如a2+2ab+b2 与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．
a2–2ab+b2=（a–b）2 a2+2ab+b2=（a+b）2
完全平方公式特点：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方。
例1： 把下列各式因式分解：
（1）x2–4x+4 （2）9a2+6ab+b2
（3）m2– （4）
例2、将下列各式因式分解：
（1）3ax2+6axy+3ay2 （2）–x2–4y2+4xy
注：优先提取公因式，然后考虑用公式
例3： 分解因式
（1） （2）
（3） （4）
点拨：把 分解因式时：
1、如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数P的符号相同
2、如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数P的符号相同
3、对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数P
变式练习：
（1） （2）
（3）
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，
叫做十字相乘法
口诀：首尾拆，交叉乘，凑中间。
拓展训练：
1、 若把代数式化为的形式，其中m,k为常数，求m+k的值
2、 已知，求x,y的值
3、 当x为何值时，多项式取得最小值，其最小值为多少？
第四章 因式分解
学习目标：
知道因式分解的意义。明白因式分解与整式乘法的关系。会用提取公因式法分解因式。清楚添括号法则。会用平方差公式分解因式。会用完全平方公式分解因式。初步会综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题。
重点与难点：
重难点：会综合运用因式分解知识解决数学问题。
知识点1 基本概念
把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式 。如：
·提公因式法
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式 ,我们把这个因式 叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc= 就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 ，另一个因式 是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例如：x2 – x = x（ )，
8a2b-4ab+2a = 2a( )
·公式法
(1)平方差公式：a2-b2=( )( ).
例如：4x2-9=( )2-（ ）2=( )( ).
(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=( )2
例如：4x2-12xy+9y2=（ ）2
A层练习
1．下列由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是（是的打“∨”，不是的打“×”）：
（1）（x+3）（x-3）=x2-9； （ ）; （2）x2+2x+2=（x+1）2+1；（ ）
（3）x2-x-12=（x+3）（x-4）；（ ）; （4）x2+3xy+2y2=（x+2y）（x+y）；（ ）
（5）1-=（1+）（1-）；（ ）; （6）m2++2=（m+）2；（ ）
（7）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．（ ）
B层练习
2、检验下列因式分解是否正确？
(1)2ab2+8ab3=2ab2 (1 + 4b) （ ）
(2) 2x2-9= (2x+3)(2x-3) （ ）
(3) x2-2x-3=(x-3)(x+1) ( )
(4) 36a2-12a-1= (6a-1) 2 （ ）
C层练习
1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m=??? ,n=??? ??。
2．x2-8x+m=(x-4)(???? ),且m=?? ??。
知识点2 基本方法
因式分解的方法：1、?? ??
2、?? ??
3、?? ??
1.公因式确定
系数、字母、相同字母指数
2.变形规律：
（1）x-y= (y-x) (2) -x-y= (x+y)
(3) (x-y)2= (y-x)2 (4) (x-y)3= (y-x)3
知识点3 一般步骤
（1）确定应提取的公因式；
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
挑战自我
将下列各式分解因式：
(1) 3am?-3an?
(2) 3x?+6x?y+3xy?
(3) 18a?c-8b?c
（4） m4- 81n4
知识点4 拓展应用
1.简化计算
(1)562+56×44 (2)1012 - 992
2.解方程
x?-9x=0
3.多项式的除法
(2mp-3mq+4mr) ÷(2p-3q+4r)= ??
变式：20052+2005能被2006整除吗？
课堂小结：
通过这节课的复习你有哪些新的收获与感受?说出来与大家一起分享！
达标检测
1、因式分解
(1) -24x3 –12x2 +28x (2) m(a-3)+2(3-a)
(3) 4x2-9y2 (4) 1-x2+2xy-y2
2．多项式x2n－xn提取公因式xn后另一个因式是（ ）
A．xn－1 B．xn C．x2n－1－1 D．x2n－1
3．若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
4．计算：210+（－2）11的结果是（ ）
A．210 B．－210 C．2 D．－2
5．如果2x2+mx-2可因式分解为（2x+1）（x-2），那么m的值是（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
6．计算：7.6×199.8+4.3×199.8-1.9×199.8
7．计算：9992+999．
8．已知x=56，y=44，求代数式x2+xy+y2的值．
9．（拔高题）已知x+y=1，xy=-1，则x2+y2=_______
已知x-y=1,xy=2，则 x3y-2x2y2+xy3=_______.
ma+mb+mc m(a+b+c)
（ ）
（ ）
