2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修2学案：第1章章末复习课Word版含解析

空间中的平行关系
【例1】　如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．
求证：(1)GE∥平面BDD1B1；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
思路探究：(1)取B1D1的中点O，证明四边形BEGO是平行四边形．
(2)证B1D1∥平面BDF，HD1∥平面BDF.
[证明]　(1)取B1D1的中点O，连结GO，OB，
易证OGB1C1，BEB1C1，
∴OGBE，四边形BEGO为平行四边形，
∴OB∥GE.
∵OB平面BDD1B1，GE平面BDD1B1，
∴GE∥平面BDD1B1.
(2)由正方体性质得B1D1∥BD，
∵B1D1平面BDF，BD平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF.
连结HB，D1F，
易证HBFD1 是平行四边形，
得HD1∥BF.
∵HD1平面BDF，BF平面BDF，
∴HD1∥平面BDF.
∵B1D1∩HD1＝D1，
∴平面BDF∥平面B1D1H.
1．判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，aα?a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥α?a∥β)．
2．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
1．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上的点，P为平面ABC外一点．设Q为PA的中点，G为△AOC的重心．求证：QG∥平面PBC.
[证明]　如图，连接OG并延长，交AC于点M，连接QM，QO，OM.由G为△AOC的重心，得M为AC的中点．
由Q为PA的中点，得QM∥PC.
又O为AB的中点，所以OM∥BC.
因为QM∩MO＝M，QM平面QMO，MO平面QMO，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.
又QG平面QMO，所以QG∥平面PBC.
空间中的垂直关系
【例2】　如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．
求证：(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
思路探究：取EC中点F，CA中点N，连结DF，MN，BN.
(1)证△DFE≌△ABD，(2)证BN⊥平面ECA，(3)证DM⊥平面ECA.
[证明]　(1)如图所示，取EC的中点F，连结DF，易知DF∥BC，∵EC⊥BC，∴DF⊥EC.
在Rt△DEF和Rt△DBA中，
∵EF＝EC＝BD，
FD＝BC＝AB，
∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故DE＝DA.
(2)取CA的中点N，连结MN，BN，则MNEC，
∴MN∥BD，即N点在平面BDM内．
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.
又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.
∵BN在平面MNBD内，
∴平面MNBD⊥平面ECA，
即平面BDM⊥平面ECA.
(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.
又DM平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA.
空间垂直关系的判定方法
(1)判定线线垂直的方法
①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；
②线面垂直的性质(若a⊥α，bα，则a⊥b)．
(2)判定线面垂直的方法
①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；
②线面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，mα，nα，m∩n＝A?a⊥α)；
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α?a⊥α)；
④面面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，aβ，a⊥l?a⊥α)；
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)．
(3)面面垂直的判定方法
①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα?α⊥β)．
2．如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点．
(1)求证：AP∥平面MBD；
(2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD.
[证明]　(1)如图，连结AC交BD于点O，连结OM.
因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点．
又M为PC的中点，所以OM∥PA.
因为OM平面MBD，AP平面MBD，
所以AP∥平面MBD.
(2)因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，
所以PD⊥AD.
因为AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AD⊥平面PBD.
因为BD平面PBD，所以AD⊥BD.
因为PD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PD⊥BD.
又因为BD⊥AD，AD∩PD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，
所以BD⊥平面PAD.
空间几何体的体积及表面积
【例3】　如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求四面体N-BCM的体积．
思路探究：(1)利用线面平行的判定定理进行证明，即通过线线平行证明线面平行；(2)先求出点N到平面BCM的距离及△BCM的面积，然后代入锥体的体积公式求解．
[解]　(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，
TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TNAM，
所以四边形AMNT为平行四边形，
于是MN∥AT.
因为AT平面PAB，MN平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，
所以N到平面ABCD的距离为PA.
如图，取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC＝3得，
AE⊥BC，AE＝＝.
由AM∥BC得M到BC的距离为，
故S△BCM＝×4×＝2.
所以四面体N-BCM的体积VN-BCM＝×S△BCM×＝.
几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用，注意分割与组合的合理应用；关注展开与折叠问题．
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
[解]　(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，
得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，因为AP∩PD＝P，AP平面PAD，PD平面PAD，
从而AB⊥平面PAD.
又AB平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.
由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，
可得PE⊥平面ABCD.
设AB＝x，则由已知可得AD＝x，PE＝x.
故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD＝AB·AD·PE＝x3.
由题设得x3＝，故x＝2.
从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2.
可得四棱锥P-ABCD的侧面积为PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2.
平面图形的翻折问题
【例4】　如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D是AP的中点，E，F分别为PD，PC的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P-ABCD.
(1)G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；
(2)当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG.
思路探究：(1)转化为证EF⊥平面PAD；
(2)转化为证平面PAB∥平面EFG.
[证明]　(1)在直角梯形ABCP中，
∵BC∥AP，BC＝AP，D为AP的中点．
∴BCAD，又AB⊥AP，AB＝BC，
∴四边形ABCD为正方形，
∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD.
在四棱锥P-ABCD中，∵E，F分别为PD，PC的中点，
∴EF∥CD，EF⊥AD，EF⊥PD.
又PD∩AD＝D，PD平面PAD，AD平面PAD.
∴EF⊥平面PAD.
又EF平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD.
(2)法一：∵G，F分别为BC和PC的中点，∴GF∥BP.
∵GF平面PAB，BP平面PAB，∴GF∥平面PAB.
由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB.
∵EF平面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB.
∵EF∩GF＝F，EF平面EFG，GF平面EFG.
∴平面EFG∥平面PAB.∵PA平面PAB，∴PA∥平面EFG.
法二：取AD中点H(略)，连结GH，HE.
由(1)知四边形ABCD为平行四边形．
又G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD.
由(1)知，EF∥CD，∴EF∥GH.
∴四点E，F，G，H共面．
∵E，H分别为PD，AD的中点，∴EH∥PA.
∵PA平面EFGH，EH平面EFGH.
∴PA∥平面EFGH，即PA∥平面EFG.
空间几何中的翻折问题是几何证明，求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查．
(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．
(2)在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．
4．如图(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示．
(1)　　　　　(2)
(1)求证：BE∥平面ADF；
(2)求三棱锥F-BCE的体积．
[解]　(1)证明：法一：取DF的中点G，连结AG，EG，∵CE＝DF，
∴EGCD.又∵ABCD，
∴EGAB，
∴四边形ABEG为平行四边形，
∴BE∥AG.
∵BE平面ADF，AG平面ADF，
∴BE∥平面ADF.
法二：由图(1)可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变．
∵BC平面ADF，AD平面ADF，
∴BC∥平面ADF.
同理CE∥平面ADF.
∵BC∩CE＝C，BC，CE平面BCE，
∴平面BCE∥平面ADF.
∵BE平面BCE，∴BE∥平面ADF.
(2)法一：∵VF-BCE＝VB-CEF，由图(1)可知BC⊥CD.
∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.
由图(1)可知DC＝CE＝1，S△CEF＝CE×DC＝，
∴VF-BCE＝VB-CEF＝×BC×S△CEF＝.
法二：由图(1)，可知CD⊥BC，CD⊥CE，
∵BC∩CE＝C，∴CD⊥平面BCE.
∵DF∥CE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由图(1)，可知BC＝CE＝1，S△BCE＝BC×CE＝，∴VF-BCE＝×CD×S△BCE＝.
法三：过E作EH⊥FC，垂足为H，如图所示，由图(1)，可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，
∴BC⊥平面DCEF.
∵EH平面DCEF，∴BC⊥EH，
∴EH⊥平面BCF.由BC⊥FC，
FC＝＝，
S△BCF＝BC×CF＝，在△CEF中，由等面积法可得EH＝，∴VF-BCE＝VE-BCF＝×EH×S△BCF＝.