2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修2学案：第2章章末复习课Word版含解析

直线方程及两直线的位置关系
【例1】　过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．
思路探究：考虑直线斜率是否存在，不存在时可直接求出，存在时设方程利用截距关系求k.
[解]　(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；
(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.
令y＝0，分别得x＝－1，x＝－.
由题意得＝1，即k＝1.
则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，
即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
1．直线方程的五种形式及其选取
直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．
2．两条直线的平行与垂直
两条直线的平行与垂直是解析几何中两条直线最基本的位置关系，其判定如下：
位置
关系
l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2
或l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)
平行
l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2或l1∥l2?
垂直
l1⊥l2?k1·k2＝－1或l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0
1．求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x－y－1＝0平行的直线l的方程．
[解]　法一：由方程组
得
∵直线l和直线3x－y－1＝0平行，
∴直线l的斜率k＝3，
∴根据点斜式有y－＝3.
即所求直线方程为15x－5y＋2＝0.
法二：∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，
∴可设直线l的方程为：2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.
∵直线l与直线3x－y－1＝0平行，
∴＝≠，解得λ＝.
从而所求直线方程为15x－5y＋2＝0.
直线与圆、圆与圆的位置关系
【例2】　如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
思路探究：(1)设出方程，求出弦心距，由点到直线的距离公式求k.(2)设出方程，由直线与圆的位置关系及几何性质列方程求出参数．
[解]　(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，
所以d＝＝1.由点到直线的距离公式得d＝，从而k(24k＋7)＝0，
即k＝0或k＝－，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即＝，
整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，
从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，
即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，
因为k的取值范围有无穷多个，
所以或
解得或
这样点P只可能是点P1或点P2.
经检验点P1和P2满足题目条件．
1．直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．
2．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形来形象直观地分析问题．
2．如图，平面直角坐标系中，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，
(1)求圆A的方程；
(2)当MN＝2时，求直线l的方程．
[解]　(1)设圆A的半径为R.由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝＝2.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设MN的中点为Q，直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连结AQ，则AQ⊥MN.
∵MN＝2，∴AQ＝＝1，
则由AQ＝＝1，得k＝.直线方程为3x－4y＋6＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
与圆有关的最值问题
【例3】　已知实数x，y满足关系式：x2＋y2－6x－4y＋12＝0，点P(x，y)，A(－1，0)，B(1，0)．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x－y的最大值和最小值；
(3)求PA2＋PB2的最大值和最小值．
思路探究：(1)转化为过圆上的点(x，y)和原点(0，0)的直线的斜率问题．(2)令m＝x－y，转化为直线与圆相切的问题．(3)令PA2＋PB2＝m2，化简后转化为两圆相切问题．
[解]　根据题意，设圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝1，
圆心C(3，2)．
(1)设＝k，则当直线y＝kx与圆C相切时，取得最值．此时＝1，k＝，
∴的最大值为，最小值为.
(2)设x－y＝m，则当直线y＝x－m与圆C相切时，x－y取得最值．
此时＝1，∴m＝1±，
∴x－y的最大值为1＋，最小值为1－.
(3)设PA2＋PB2＝m2，则有x2＋y2＝，m2≥2.
当圆x2＋y2＝与圆C相切时，PA2＋PB2取得最值，此时±1＝，解得m2＝30±4.
∴PA2＋PB2的最大值为30＋4，最小值为30－4.
与圆有关的最值问题，往往是已知圆的方程f(x，y)＝0，求，y－x，x2＋y2等量的最值或范围．解决的方法是：设(x，y)是圆上任意一点，分别把给定的式子，y－x，x2＋y2赋予一定的几何意义，这样就把有关最值问题转化成点、直线与圆的位置关系问题，再根据圆的几何性质确定最值．
3．如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)x＋y的最大值与最小值．
[解]　(1)设方程(x－3)2＋(y－3)2＝6所表示的圆C上的任意一点P(x，y).的几何意义就是直线OP的斜率，设＝k，则直线OP的方程为y＝kx.
由图①可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值．
因为点C到直线y＝kx的距离d＝，所以当＝，即k＝3±2时，直线OP与圆相切．
所以的最大值与最小值分别是3＋2与3－2.
①　　　　　　　②
(2)设x＋y＝b，则y＝－x＋b，由图②知，当直线与圆C相切时，截距b取最值．而圆心C到直线y＝－x＋b的距离为d＝.
因为当＝，即b＝6±2时，直线y＝－x＋b与圆C相切，所以x＋y的最大值与最小值分别为6＋2与6－2.
待定系数法的应用
【例4】　如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
思路探究：(1)求出圆心C，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，结合待定系数法求解．(2)设出圆的方程，化简条件MA＝2MO，将问题转化为两圆相交问题．
[解]　(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，
由题意，得＝1，
解得k＝0或－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3，
化简得
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为.
待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的系数(部分或全部)是待定的，然后根据题目所给条件来确定这些系数的方法．
(1)本章中求直线和圆的方程常用待定系数法，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
①选择圆的方程的某一形式；
②由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；
③解出a，b，r(或D，E，F)；
④代入所设方程．
(2)求直线方程时一般有以下几类：
①知过定点，设点斜式(注意斜率不存在的情况)；
②知斜率，设斜截式；
③与截距有关设截距式；
④知与已知直线平行或垂直，设一般式(或斜截式、点斜式)．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
[解]　(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设得y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)，由已知得＝.
又P在曲线y2－x2＝1上，从而得
由得此时，圆P的半径r＝.
由得此时，圆P的半径r＝.
故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.