2019-2020学年数学新人教A版必修4学案：1.1.2弧度制Word版含答案

1.1.2弧度制
一、三维目标：
知识与技能：（1）理解弧度制的定义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；
（2）能够推导弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式并熟记；（3）能熟练的用弧度制表示角的集合。
过程与方法：通过学习，认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解。
情感态度与价值观：通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的产生都有它存在的必要性，都会为我们解决现实问题带来方便，从而激发学生的求知欲。
二、学习重点难点：
重点：1．弧度制的定义．2．用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式。
3．角度制与弧度制的换算4．角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系。
难点：对弧度制定义的理解；建立弧度制的意义。
三、学法指导：认真阅读教材的6-9页内容，理解弧度制的定义是基础，掌握角度与弧度的换算关系是关键。理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性，运算时要熟练使用弧度制。
四、知识链接：
1.角可以看成平面内一条 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
2.按逆时针方向旋转形成的角叫做 ，按顺时针方向旋转形成的角叫做 .如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个 。
它的 与 重合.这样，我们就把角的概念推广到了 ，
包括 、 和 。
3.我们常在 内讨论角.为了讨论问题的方便，我们使角的 与 重合，角的 与 重合.那么，角的 终边在第几象限，我们就说这个角是 。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角 。 4.所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个 ，即 。
5.角度制：我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制。周角的1/360为1度的角。这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
五、学习过程：
弧度制
A问题1：弧度制的定义是什么？写法和读法、图形表示分别是什么？
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
A练习：下列各命题中，真命题是（ ）
A.一弧度就是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位
A问题2：如图，半径为r的圆的圆心与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，交圆于点A,终边与圆交于点B.请在下列表格中填空：
的长
OB旋转的方向
的弧度数
的度数
逆时针方向

逆时针方向
1
-2
0
根据所填表格，回答下列问题：
A问题3：总结圆的半径，圆心角（弧度数）与弧长之间的关系。
A练习：圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？
B例1：利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（1） (2) (3)
A练习：若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是　　　　 　。
弧度制与角度制的换算
记忆：周角的弧度数： rad
换算公式：rad 1=
rad= rad.
B问题4：运用换算公式填表（并记住）：
度
弧度
B例2：用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
（2）终边在轴上的角的集合、终边在轴上的角的集合、终边在坐标轴上的角的集合。
C例3：（1）已知是第一象限角，那么是（ ）
A、第一象限角 B、第二象限角
C 第一或第二象限角或终边落在上的角 D、第一或第二象限角
（2） 已知是第一象限角，那么是（ ）
A、第一象限角 B、第二象限角
C、、小于的正角 D、第一或第三象限角
六、达标检测：
B1.下列各命题中,真命题是 （填序号）。
①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位;
② 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角;
③根据弧度的定义,180°一定等于π弧度;
④不论用角度制还是弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关.
⑤一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大于一弧度的角
A2.填空：(1)-300°= rad;(2) π= 度。
B3.若是第四象限的角，则在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
B4.解答下列各题:
(1)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求扇形圆心角的弧度数；
(2)已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
B5.已知集合 ，
则 等于 （ ）
A. B.{}
C. D.或}
B6.把表示成的形式，则为（ ）
A. B. C. D.
B7.写出阴影部分的角的集合：



七、学习小结：
1．弧度制的定义。
2.角度制与弧度制的换算。
八、课后反思：
1.1.2弧度制的答案
例2（1）（2）
例3（1）C (2) D
【达标检测】
1①②③⑤ 2 ; 3 C
4【解析】(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π), 弧长为l,半径为r,
依题意有 l+2r=10 ①
lr=4 ②
①代入②得r2-5r+4=0,解之得r1=1,r2=4.
当r=1时,l=8(cm),此时,θ=8rad＞2πrad(舍去).
当r=4时,l=2(cm),此时,θ= = 0.5 rad.
(2)设扇形的圆心角为θ,半径为r,弧长为l,面积为S,则l+2r=40,∴l=40-2r,
∴S= lr= ×(40-2r)r=20r-r2=-r(r-10)2+100.
∴当半径r=10cm时,扇形的面积最大,这个最大值为100cm2,这时θ===2（弧度）
5 D 6C
7；