2020届高三数学高考冲刺：集合与不等式教案

专题：集合与不等式综合(★★★)
教学目标
集合与不等式是高考数学命题的重要内容。
集合的考查主要有三个方面：一是集合的概念、关系和运算；二是集合语言与集合思想的运用（如求方程与不等式的解集、函数的定义域和值域等）；三是命题之间的逻辑关系的判断和推理、此外与集合有关的信息迁移题、集合与其他知识相结合的综合题都值得高度关注。考查重点是集合与集合之间的关系、条件的判断。其核心考点有：集合的概念及相应关系，集合的运算，命题及充要条件。
不等式核心考点为不等式的性质与证明、不等式的解法（高频）和不等式的应用（利用不等式求最值（高频））．借助不等式的基本性质，考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法、含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，是高考命题的热点。
其中，集合与不等式相结合主要的考法有方程与不等式的解集问题、定义域值域问题、含参不等式等问题，这些都是高考考查的热点内容。

知识梳理

核心考点是集合的概念及相应关系，集合的运算，命题及充要条件。










不等式：



















集合与不等式相结合的题型是考试时的高频考点，考题难度可大可小，题型可出小题可出大题，发挥空间较大。

典例精讲
集合与不等式结合
例1、（★★）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． [-4，0] B．[-4，-1] C． [-1，0] D．
答案：B；
例2、（★★★）已知集合A，B，若，
求实数的范围.
解：

例3、（★★★）求不等式解集：(1) ，(2) ．

解析：(1)原不等式可化为：若时，解为，若时，
解为，若时，解为
(2)． ①当．
方程有二实数根：
∴原不等式的解集为
①当时，，两根为
若则其根为－1，∴原不等式的解集为．
若则其根为1，∴原不等式的解集为．
②当时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．

分类讨论要注意讨论的标准始终如一，不能重复和遗漏。
巩固练习
1、（★★）已知全集，集合，，则＝　　　．
答案：；
2、（★★）已知集合，，则集合且_______．
答案：；
3、（★★）已知集合,则实数的取值范围是___
解答：




集合与方程综合
例4、（★★★）已知集合
(1)若A是空集，试求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
解析 集合A是方程在实数范围内的解集．
(1)若A是空集，则显然，且方程无解，得，，即a的取值范围是．
(2)当时，，符合题意；当时，必须，，此时，符合题意；
综上所述，或．
(3) A中至多只有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素这两种情况，根据(1)和(2)的结果，知或，故a的取值范围是．

用分类讨论的方法解决集合中含参数的方程问题:
一般地，对于集合，其中，，均为实数，
当时，是一元二次方程的根的集合．须注意：若求非空集合中的元素之和，则应分与这两种情形，具体为
(1)若，则有两个不等的实根，于是，非空集合
中的元素之和为；
(2)若，则有两个相等的实根，于是，非空集合
中的元素之和为．

例5、（★★★）设,其中，如果，求实数a的取值范围.
解：，又，所以
（Ⅰ）时，
（Ⅱ）时，
（Ⅲ）， 解得
∴综上所述实数 或

本题也可将0和-4带入集合B来解出a的值，但是要注意检验，同时要注意集合B为空集的情况。
巩固练习
1、（★★★）已知为单元素集，则实数的取值的集合为 ．
.
本题是高频错题，错误原因是从到时没有注意方程是否完全等价，忘记了对原方程的类型进行讨论。
2、（★★★）设，求A中所有元素的和．
当时，和为；当时，和为－1．

3、（★★★）对于函数f(x)，设，．
(1) 求证：；
(2) 若，且，求a的取值范围．
解： (1)略 (2) 提示：由知： ，中元素是方程的实根，由得方程要么没有实根，要么实根是方程的根，易得或，故的取值范围是．

根的分布问题
例6、（★★）若关于x的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是__________________．
一元二次方程根的分布问题是必须要掌握的内容，在复习时应根据学生情况将根的分布的几个基本类型都复习一遍。
巩固练习
1、（★★）若关于的二次方程有两个负实数根，则实数的取值
范围为 ．
2、（★★）已知二次函数的图像在轴下方，则实数的取值范围为
．




回顾总结
1、一元一次不等式、一元二次不等的求解要正确、熟练、迅速，这是解分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式的基础 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 带等号的分式不等式求解时，要注意分母不等于0，二次函数的值恒大于0的条件是且；若恒大于等于0，则且 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)若二次项系数中含参数且未指明该函 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形。
2、忽略对定义域的考虑以及变形过程的不等价，是解无理不等式的常见错误，因此要强化对转化的依据的思考。
3、数形结合起来考虑，可以简化解题过程，特别是填空、选择题，还可利用图形验证，解题的结果。
4、解指数、对数不等式的过程中常用到换元法底数是参数时，须不重不漏地分类讨论。化同底是解不等式的前提。取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一，在取对数过程中，特别要注意必须考虑变量的取值范围。当所取对数的底数是字母时，随时要把“不等号是否变向”这一问题斟酌再三。
5、解含参数的不等式时，必须要注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论。分类的标准要通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件），根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值），按照解答的需要（例如进行不等式变形时必须具备的变形条件）等方面来决定，要求做到不重复、不遗漏。
解不等式是不等式研究的主要内容，许多数学中的问题都可以转化为一个解不等式的问题，如函数的定义域、值域、最值和参数的取值范围，以及二次方程根的分布等 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)因此解不等式在数学中有着极其重要的地位，是高考的必考内容之一。



同加性

传递性

同乘性

对称性

不等式的性质

实数比较大小

不等式的证明

综合法

分析法

比较法

常规方法

特殊方法

换元法

放缩法

判别式法法

反证法

数学归纳法法

解不等式

一元二次不等式

绝对值不等式

分式不等式



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