2020届高三数学三轮复习C专题：《抛物线》教案

专题：三轮回归课本 抛物线 (★★★)
教学目标
通过回归课本等，在第三轮复习中，查漏补缺，巩固“双基”。
【说明：要以“纲”为纲，以“本”为本，不要涉及太多超纲内容，不要去背诵过多小结论】

知识梳理 10 min.
一、回归“考纲”
内容 要求
记忆性水平 解释性水平 探究性水平
曲线 与方程 ······ ······ ······ ······
抛物线的标准方程和几何性质 （无） （无） 掌握抛物线的标准方程和几何性质。重点讨论焦点在轴上抛物线的标准方程。
······ ······ ······ ······

二、回归“课本”
1. 抛物线的定义是什么？
答：平面上与一个定点与一条定直线（不在上）的距离相等的点的轨迹。
定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
追问：如果定点在定直线上，那还是抛物线吗？
答：不在上轨迹：抛物线；
在上轨迹：直线（过且与垂直）；
【说明：一定要让学生搞清楚抛物线的定义，注意到不在上】

2. 抛物线的标准方程是如何推导的？
答：直接法。（建系）过焦点作准线的垂线，垂足为，以直线为轴，线段的中垂线为轴，
建立直角坐标系；并设，则焦点的坐标为，准线的方程为；
（设点）设动点是；（写式）则满足；（代入）即；
（化简）通过化简，得；（证明）略
所以，焦点在轴上的且开口向右的抛物线的标准方程为；
焦点在轴上的且开口向左的抛物线的标准方程为；
焦点在轴上的且开口向上的抛物线的标准方程为；
焦点在轴上的且开口向下的抛物线的标准方程为；
【说明：要让学生尝试推导，同时要让学生明白“标准”的含义】

3. 抛物线的相关概念与性质
图形
标准方程
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦点坐标
准线方程
对称性 关于轴成轴对称 关于轴成轴对称
顶点坐标
范围 、 、 、 、
其他 （焦点与准线位于顶点两侧，且到顶点的距离相等，为）；（焦点到准线的距离为）
【说明：要让学生迅速完整地填写该表，特别注意对称性的推导、顶点、范围、牢记定义等】

4. 如何判断点与抛物线的位置关系？
答：（1）点在抛物线上；（2）点不在抛物线上；

5. 如何判断直线与抛物线的位置关系？
答：（法）联立两方程，消元，得到一个一元二次方程；
则（1）二次项系数直线与对称轴平行或重合；
（2）二次项系数
（i）直线与抛物线相交，弦长用弦长公式
（ii）直线与抛物线相切；
（iii）直线与抛物线相离
6. 其他
【说明：根据学生情况，可以适当背诵一些小结论，例如切线公式等】

典例精讲 25 min.
【说明：由于是第三轮复习，因此一律采取先做后讲的形式，也不再设置巩固练习】
类型一：“求抛物线的标准方程”
例1.（★★★）分别根据下列条件，求出抛物线的标准方程
（1）过点；
（2）抛物线上一动点到焦点的距离为，焦点在轴上，求抛物线方程及的值；
（3）已知一隧道的顶部是抛物拱形，拱高是米，跨度是米，建立合适的直角坐标系，求出相应的
此拱形的抛物线方程；
解：（1）由题意，设或，代入，解得或；
（2）由题意，根据定义，解得；
（3）由题意，设抛物线的标准方程是，代入，解得.
【评述：求抛物线方程，往往是先设标准方程，但是一定要定形定向，否则要分类讨论（特殊情况可以
避免）；经常可以用定义转移，所以要格外注意】


类型二：“轨迹问题”
例2. （★★★）
（1）在平面直角坐标系内，求到和直线距离相等的点的轨迹是什么形状？
（2）求抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程；
（3）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，过原点作，交直线
于，求点的轨迹方程；
解：（1）（定义法）由题意，，点符合抛物线的相关定义，但在上，所以轨迹不是
抛物线，是过且与垂直的直线，即；
（2）（消参法）由题意，设，则；
，代入直线方程，得；
（3）（直接法+几何法）由题意，，设，则，，
代入，化简可得；
【评述：（1）理论上也可用直接法，但这不是命题老师的愿意，而且较难化简出答案；（2）也可用点差法，
但不建议，也不容易得到范围；（3）先通过几何，化简愿意，而无需设直线联立，有一定难度】


类型三：“抛物线的相关概念与定义使用”
例3. （★★★）
（1）求抛物线的焦点坐标与准线方程；
（2）求抛物线上的一点，使点与焦点的距离等于；
（3）抛物线的动弦的长为，求中点到轴的最短距离；
（4）已知点，点为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，求的最小值，
并求此时点的坐标；
解：（1）由题意，，，；
（2）由题意，，设，则，代入得到；
（3）由题意，，设中点，再分别过作准线的垂线，交垂线为，
则；
（5）由题意，，则；
【评述：（1）属于基本概念，但注意其实无需讨论，后面几题都是定义的各种使用，例如焦点弦的
弦长公式等，都要熟练掌握】


类型四：“直线与抛物线的综合问题”
例4. （★★★）
（1）已知直线与抛物线相交于两点，且，求实数的值；
（2）已知正三角形的顶点位于坐标原点，顶点与均在抛物线上，求的边长；
（3）在抛物线上求一点，使到的距离最短
解：（1）由题意，，，
，
，符合，；
（2）由题意，画出图像，根据对称性原理，轴，设，
，；
（3）（法一）由题意，设，
则，
当且仅当时，取到最小值，此时；
（法二）由题意，设过点的直线为，且与相切，则
，相切，，即
【评述：直线与抛物线综合问题是重点题型，一般都体现了“设而不求”的思想。往往计算量大，一定要
仔细，还要注意开口、等，总之需要熟练运用。】


回顾总结 5 min.
1. 对于“抛物线”，考纲中的要求是什么？（见“知识梳理”，下同）

2. 抛物线的定义是什么？

追问：如果定点在定直线上，那还是抛物线吗？


3. 抛物线的标准方程是如何推导的？

4. 抛物线的相关概念与性质
图形
标准方程
开口方向
焦点坐标
准线方程
对称性
顶点坐标
范围
其他

5. 如何判断点与抛物线的位置关系？

6. 如何判断直线与抛物线的位置关系？

7. 其他
【说明：根据学生情况，可以适当背诵一些小结论，例如切线公式等】



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