1.1.1 命题
A级：基础巩固练
一、选择题
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( )
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
答案 A
解析 “红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在我国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．
2．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A．两个平面
B．一条直线
C．垂直
D．两个平面垂直于同一条直线
答案 D
解析 已知命题可改写为“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”．由此可知，条件是“两个平面垂直于同一条直线”．
3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
答案 D
解析 由已知a⊥α，b⊥β可知，若α，β相交，a，b有可能异面．
4．给出下列命题：
①a·b＝a·c且a≠0时，必有b＝c；
②如a∥b时，必存在唯一实数λ使a＝λb；
③a，b，c互不共线时，a－b必与c不共线；
④a与b共线且c与b也共线时，则a与c必共线．
其中真命题的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 A
解析 对于①，由a·b＝a·c且a≠0，得a·(b－c)＝0，未必有b＝c；对于②，若b＝0时，不成立；对于③，如图△ABC中，
令＝a，＝b，＝c，则＝－.即c＝a－b，故③不正确；对于④，若b＝0时，a与c不一定共线，故选A.
5．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n?α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
答案 B
解析 对于A，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或异面，A错误；显然B正确；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n?α或n∥α，C错误；对于D，若m∥α，m⊥n，则n∥α或n?α或n与α相交，D错误．故选B.
二、填空题
6．已知下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a＞b，则ac2＞bc2；
④矩形的对角线互相垂直．
其中假命题的个数是________．
答案 4
解析 ①②③④全为假命题．
7．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 [－3,0]
解析 ∵ax2－2ax－3>0不成立，∴ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0恒成立；
当a≠0时，则有解得－3≤a＜0.
综上，－3≤a≤0.
8．(2018·北京高考)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
答案 f(x)＝sinx(答案不唯一)
解析 f(x)＝sinx在[0,2]上先增后减，且满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，符合题意．
三、解答题
9．若命题：“函数f(x)＝loga(3x＋m)＋2n＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,3)”为真命题，求实数m，n的值．
解 由题意知，
得∴m的值为－2，n的值为1.
B级：能力提升练
1．定义“正对数”：ln＋ x＝现有四个命题：
①若a>0，b>0，则ln＋ (ab)＝bln＋ a；
②若a>0，b>0，则ln＋ (ab)＝ln＋ a＋ln＋ b；
③若a>0，b>0，则ln＋ ≥ln＋ a－ln＋ b；
④若a>0，b>0，则ln＋ (a＋b)≤ln＋ a＋ln＋ b＋ln 2.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
答案 ①③④
解析 对于①，当a≥1时，ab≥1，则ln＋ (ab)＝ln ab＝bln a＝bln＋ a；当0
同理讨论a，b在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④为真命题．
对于②，可取特殊值a＝e，b＝，则ln＋ (ab)＝0，ln＋ a＋ln＋ b＝1＋0＝1，故②为假命题．
综上可知，真命题有①③④.
2．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B 构造的命题“若p，则q”为真命题．
解 若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；
若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．
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1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
A级：基础巩固练
一、选择题
1．命题：“a，b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是( )
A．若a，b都不是奇数，则a＋b是偶数
B．若a＋b是奇数，则a，b都是偶数
C．若a＋b不是偶数，则a，b都不是奇数
D．若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数
答案 D
解析 ∵a，b都是奇数的否定为：a，b不都是奇数；a＋b是偶数的否定为：a＋b不是偶数．∴逆否命题为：若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数．
2．已知命题p：垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α，q是p的否命题，下面结论正确的是( )
A．p真，q真 B．p假，q假
C．p真，q假 D．p假，q真
答案 D
解析 当平面α内的直线相互平行时，l不一定垂直于平面α，故p为假命题．易知p的否命题q：若直线l不垂直于α内无数条直线，则l不垂直于α，易知q为真命题．
3．有下列命题：①“正方形是菱形”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中假命题是( )
A．①② B．②③④
C．①③④ D．①④
答案 A
解析 ①否命题为“不是正方形的四边形不是菱形”，为假命题；
②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假命题；
③逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1”，
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有即m>1，
∴其逆命题为真命题；
④原命题为真，逆否命题也为真命题．
4．下列有关命题的说法正确的是( )
A．“若x＞1，则2x＞1”的否命题为真命题
B．“若cosβ＝1，则sinβ＝0”的逆命题是真命题
C．“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题
D．命题“若x＞1，则x＞a”的逆命题为真命题，则a＞0
答案 C
解析 A中，2x≤1时，x≤0，从而否命题“若x≤1，则2x≤1”为假命题，故A错误；B中，sinβ＝0时，cosβ＝±1，则逆命题为假命题，故B错误；D中，由已知条件得a的取值范围为[1，＋∞)，故D错误．
5．原命题为“若A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
答案 A
解析 由于
6.下列命题中，真命题是( )
A．命题“若a>b，则ac2>bc2”
B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题
C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题
答案 D
解析 命题“若a>b，则ac2>bc2”是假命题；
命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题；
命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题为“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”是假命题；
命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题．
二、填空题
7．命题“若x2<2，则|x|<”的逆否命题是________．
答案 “若|x|≥，则x2≥2”
解析 命题“若x2<2，则|x|<”的逆否命题是“若|x|≥ ，则x2≥2”．
8．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
答案 4
解析 否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，是真命题(由A∪B＝B，知A?B，所以A∩B＝A)；由于逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题是真命题；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”是真命题(由A∩B＝A知A?B，所以A∪B＝B)，所以原命题是真命题．
9．已知命题“若m－1答案 [1,2]
解析 由已知得，若1∴∴1≤m≤2.
三、解答题
10．若a，b，c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解 逆命题：若ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个相异实根，则ac<0，为假命题；
否命题：若ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)至多有一个实根，为假命题；
逆否命题：若ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)至多有一个实根，则ac≥0，为真命题．
B级：能力提升练
a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
解 能确定．理由如下：
显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．
①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小．所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知c>b>a或b>a>c.
②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.
从而可知，b>a>c.
所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．
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1.2.1 充分条件与必要条件
A级：基础巩固练
一、选择题
1．钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 “便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“好货”是“不便宜”的充分条件．
2．已知p：x2－x<0，那么命题p的一个充分条件是( )
A．1C.答案 C
解析 x2－x<0，∴0∴p的一个充分条件为3．“0≤m≤1”是“函数f(x)＝sinx＋m－1有零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 函数f(x)＝sinx＋m－1有零点?方程sinx＝1－m有根?－1≤1－m≤1?0≤m≤2，所以“0≤m≤1”是“函数f(x)＝sinx＋m－1有零点”的充分不必要条件．
4．已知两条不重合的直线a，b与平面α，下列四个条件：①a?α，b?α；②a?α，b∥α；③a⊥α，b⊥α；④a，b为异面直线．其中是“a，b无公共点”的充分条件的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
答案 D
解析 ①中有可能a∩α＝A，A∈b，故①错误．
②中b∥α，且a?α，则a，b无公共点，满足条件．
③中a⊥α，b⊥α，则a∥b，满足条件．
④中由异面直线的定义可知④正确．
∴②③④正确．
5．设a，b是非零向量，且a≠±b，则“|a|＝|b|”是“(a＋b)⊥(a－b)”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若(a＋b)⊥(a－b)，则(a＋b)·(a－b)＝0，
所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|；
反之，若|a|＝|b|，则(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，即(a＋b)⊥(a－b)，
故“|a|＝|b|”是“(a＋b)⊥(a－b)”的充要条件．
6．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
答案 A
解析 ∵乙?甲，丙?乙，乙丙，∴丙?甲，甲丙，∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
二、填空题
7．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分不必要条件的是________．(填写相应的序号)
①若x＝3，则x2＋x－12＝0；
②若α＝β≠＋kπ，k∈Z，则tanα＝tanβ；
③若m＝－2，则函数f(x)＝x2＋mx＋3关于x＝1对称．
答案 ①②
解析 对于①，由x2＋x－12＝0，得x＝－4或x＝3，
∴x＝3是x2＋x－12＝0的充分不必要条件；
对于②，由于α＝β?tanα＝tanβ，
但tanα＝tanβα＝β，
∴α＝β是tanα＝tanβ的充分不必要条件；
对于③，由于m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋3，对称轴为x＝1；反之，若f(x)＝x2＋mx＋3的对称轴为x＝1，则－＝1，m＝－2.
∴m＝－2是f(x)＝x2＋mx＋3关于x＝1对称的充要条件．
8．若“x2－2x－8>0”是x答案 －2
解析 不等式解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，题目等价于(－∞，m)是其真子集，故有m≤－2，即m的最大值为－2.
9．设0答案 必要不充分
解析 因为0所以00，所以0综上所述，“xsin2x<1”是“xsinx<1”的必要不充分条件．
三、解答题
10．已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
解 化简B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}，
①当a≥时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}；
②当a<时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}．
因为p是q的充分条件，
所以A?B，于是有或
解得1≤a≤3或a＝－1.
综上，a的取值范围是{a|1≤a≤3或a＝－1}．
B级：能力提升练
已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义，q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.
(1)若命题p为真，求实数t的取值范围．
(2)若命题p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
解 (1)因为命题p为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得1所以实数t的取值范围是.
(2)因为命题p是q的充分条件，所以是不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0的解集的子集．
因为方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0的两根为1和a＋2，
所以只需a＋2≥，解得a≥.
即实数a的取值范围为.
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1.2.2 充要条件
A级：基础巩固练
一、选择题
1．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
2．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵綈p是q的必要而不充分条件，∴q?綈p，但綈pq，其逆否命题为p?綈q，但綈qp，因为原命题与其逆否命题是等价命题．故选A.
3．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 f(x)是奇函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)；φ＝时，f(x)＝Acos＝－Asinωx，为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件．故选B.
4．已知直线l1：ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，则“a＝－2”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 直线l1⊥l2的充要条件是a＋a(a＋1)＝0，解得a＝0或a＝－2，所以“a＝－2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
5．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题易知不等式|x－m|<1的解集为{x|m－1∴解得－而m＋1＝与m－1＝不同时成立，
∴m＝－及m＝亦满足题意，
∴－≤m≤.故选B.
6．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由题意得，an＝a1qn－1(a1>0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q<0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件．故选C.
二、填空题
7．设函数f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，则a＋2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案 必要不充分
解析 由??a＋2b>0.
而仅有a＋2b>0，无法推出f(0)>0和f(1)>0同时成立．
8．已知a，b为两个非零向量，有以下命题：
①a2＝b2；②a·b＝b2；③|a|＝|b|且a∥b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的命题是________．(将所有正确命题的序号填在题中横线上)
答案 ①②③
解析 显然a＝b时①②③均成立，即必要性成立．
当a2＝b2时，(a＋b)·(a－b)＝0，不一定有a＝b；
当a·b＝b2时，b·(a－b)＝0，不一定有a＝b；
|a|＝|b|且a∥b时，a＝b或a＝－b，即①②③都不能推出a＝b.
三、解答题
9．已知条件p：|x－1|＞a和条件q：2x2－3x＋1＞0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
解 依题意a＞0.由条件p：|x－1|＞a得x－1＜－a或x－1＞a，所以x＜1－a或x＞1＋a，由条件q：2x2－3x＋1＞0得x＜或x＞1.要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有
解得a≥.
令a＝1，则p：x＜0或x＞2，
此时必有x＜或x＞1.
即p?q，反之不成立．
所以，使p是q的充分不必要条件的最小正整数a＝1.
B级：能力提升练
设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明 必要性：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根ξ，则
?ξ＝＝.
∴2＋2c·－b2＝0?a2＝b2＋c2，
∴∠A＝90°.
充分性：若∠A＝90°，则a2＝b2＋c2，易得x0＝是方程的公共根．
综上可知，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
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1.3 简单的逻辑联结词
A级：基础巩固练
一、选择题
1．若命题p：x∈A∪B，则綈p是( )
A．x?A或x?B B．x?A且x?B
C．x∈A∩B D．x?A或x∈B
答案 B
解析 因x∈A∪B?x∈A或x∈B，所以綈p为x?A且x?B.
2．命题“三角形中最多有一个内角是钝角”的否定是( )
A．有两个内角是钝角 B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角 D．没有一个内角是钝角
答案 C
解析 ∵“最多”的否定为“至少”，∴“最多有一个内角是钝角”的否定为“至少有两个内角是钝角”．
3．设p，q是简单命题，则“‘p且q’为假”是“‘p或q’为假”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 “p且q”为假，即p和q中至少有一个为假；“p或q”为假，即p和q都为假．故“‘p且q’为假”是“‘p或q’为假”的必要不充分条件．
4．已知p：??{0}，q：{1}∈{1,2}．由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“綈p”中，真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 A
解析 容易判断命题p：??{0}是真命题，命题q：{1}∈{1,2}是假命题，所以p∧q是假命题．p∨q是真命题，綈p是假命题．
5.已知命题p：函数y＝2|x－1|的图象关于直线x＝1对称；q：函数y＝x＋在(0，＋∞)上是增函数．由它们组成的新命题“p且q”“p或q”“綈p”中，真命题有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 B
解析 命题p是真命题，y＝x＋在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故q为假命题．
∴p且q为假，p或q为真，綈p为假．
6．给出下列两个命题，命题p：“x>3”是“x>5”的充分不必要条件；命题q：函数y＝log2(－x)是奇函数，则下列命题是真命题的是( )
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．p∨q D．p∧(綈q)
答案 C
解析 因为“x>3”是“x>5”的必要不充分条件，故命题p为假命题；因为f(－x)＋f(x)＝log2(＋x)＋log2(－x)＝log21＝0，所以命题q为真命题．则p∧q为假命题，p∨(綈q)为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题．故选C.
二、填空题
7．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为________．
答案 方向相同或相反的两个向量共线
解析 方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．
8．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为________，命题的否定为________．
答案 若a≥b，则2a≥2b 若a＜b，则2a≥2b
解析 命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为“若a≥b，则2a≥2b”，命题的否定为“若a＜b，则2a≥2b”．
9．已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 当命题p为真命题时，有2a－1<0，a<，
当命题q为真命题时，有－≤1，a≥－2.
因为p∧q为真，所以p，q都是真命题，所以a的取值范围是.
三、解答题
10．已知命题p：函数f(x)＝(x＋m)(x＋4)为偶函数；命题q：方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．
解 若命题p为真，则由f(x)＝x2＋(m＋4)x＋4m，得m＋4＝0，解得m＝－4.
设g(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，其图象开口向上，
若命题q为真，则g(2)<0，即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3.
由p∧q为假，p∨q为真，得p假q真或p真q假．
若p假q真，则m<－3且m≠－4；
若p真q假，则m无解．
所以m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3)．
B级：能力提升练
已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R，若“p或q”与“非q”同时为真命题，求实数a的取值范围．
解 命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
?解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R，等价于a＝0或即解得0因为“p或q”与“非q”同时为真命题，即p真且q假，
所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
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1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
A级：基础巩固练
一、选择题
1．下列命题是特称命题的是( )
A．任何一个数列都有通项公式
B．每一个向量都有方向
C．偶函数的图象关于y轴对称
D．存在实数不小于3
答案 D
解析 A，B，C是全称命题，D是特称命题．
2．“存在集合A，使??A”，对这个命题，下面说法中正确的是( )
A．全称命题、真命题 B．全称命题、假命题
C．特称命题、真命题 D．特称命题、假命题
答案 C
解析 当A≠?时，??A，是特称命题，且为真命题．
3．下列命题中，不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
答案 D
解析 D项是特称命题．
4．下列命题中的真命题是( )
A．?x0∈R，使得sinx0＋cosx0＝
B．?x∈(0，＋∞)，ex＞x＋1
C．?x0∈(－∞，0)，2x0＜3x0
D．?x∈(0，π)，sinx＞cosx
答案 B
解析 sinx＋cosx＝sin≤，所以排除A；令f(x)＝ex－x－1, f ′(x)＝ex－1＞0对于x∈(0，＋∞)恒成立．所以f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＞f(0)＝0恒成立，故B正确；因为当x0∈(－∞，0)时，＝x0＞1，所以2x0＞3x0，故C错误；x＝时，sinx＝cosx，故D错误．
5．命题p：?x∈N，x3A．p假q真 B．p真q假
C．p假q假 D．p真q真
答案 A
解析 当x＝0或1时，x3＝x2，
当x>1时，x3>x2，所以不存在x∈N使x3因为f(2)＝loga(2－1)＝loga1＝0，所以q是真命题．故选A.
6．不等式组的解集为D，有下列四个命题：
p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2；
p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3；
p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中真命题是( )
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p2，p3
答案 C
解析 如图所示，阴影区域是不等式组所表示的平面区域．
设z＝x＋2y，则y＝－＋，则直线y＝－＋的纵截距最小时，z取最小值，结合图形可知，当直线y＝－＋过点A(2，－1)时，z取得最小值，zmin＝2＋2×(－1)＝0，直线y＝－＋上移过程中纵截距不断增大，故z无最大值，即z∈[0，＋∞)，故p1，p2正确，p3，p4错误．
二、填空题
7．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“?”或“?”符号表示为________．
答案 ?x≤0，x3≤0
解析 命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“?”符号可以表示为?x≤0，x3≤0.
8．若命题p：“?x∈[0,1]，a≥ex”为真命题，则a的取值范围是________．
答案 [e，＋∞)
解析 因为函数y＝ex在[0,1]上为增函数，
所以1≤y≤e，若p为真，则a≥(ex)max＝e.
9．已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________．
答案 a<－2或a＝1
解析 ?x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1,2]时恒成立，所以a≤1.
?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0.
所以a≤－2或a≥1.
又p∧q为真，故p，q都为真，
所以
所以a≤－2或a＝1.
三、解答题
10．若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
解 (1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，
所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0，a∈[－1,1]．
B级：能力提升练
已知命题p：?x∈R，x2＋mx＋1>0，命题q：?x∈R使4x－2x＋1＋m＝0，若p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
解 若p为真，则Δ＝m2－4<0，得－2若q为真，则4x－2x＋1＋m＝0有实数解，
令m＝－(4x－2x＋1)＝－(2x－1)2＋1≤1.
∴m≤1.
又p∧q为真命题，∴p，q均为真命题．
∴∴－2
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1.4.3 含有一个量词的命题的否定
A级：基础巩固练
一、选择题
1．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N*，使得nB．?x∈R，?n∈N*，使得nC．?x∈R，?n∈N*，使得nD．?x∈R，?n∈N*，使得n答案 D
解析 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.
2．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p是( )
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
答案 C
解析 特称命题的否定为全称命题，否定结论．故选C.
3．下列命题的否定为假命题的是( )
A．?x∈R，－x2＋x－1<0
B．?x∈R，|x|＞x
C．?x，y∈Z,2x－5y≠12
D．?x0∈R，sin2x0＋sinx0＋1＝0
答案 A
解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有选项A中的命题为真命题，其余均为假命题．
4．已知命题p：?x∈R,2x>3x；命题q：?x∈，tanx>sinx，则下列是真命题的是( )
A．(綈p)∧q B．(綈p)∨(綈q)
C．p∧(綈q) D．p∨(綈q)
答案 D
解析 当x＝－1时，2－1>3－1，所以p为真命题；当x∈时，tanx－sinx＝>0，所以q为真命题，所以p∨(綈q)是真命题，故选D.
5．已知命题p：任意的x∈R,2x2＋2x＋＜0；命题q：存在x∈R，sinx－cosx＝，则下列判断正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈q是假命题
答案 D
解析 在命题p中，当x＝－时，2x2＋2x＋＝0，故为假命题；在命题q中，当x＝时，命题成立，故为真命题，綈q是假命题．
6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0) B．?x∈R，f(x)≥f(x0)
C．?x∈R，f(x)≤f(x0) D．?x∈R，f(x)≥f(x0)
答案 C
解析 由题意知，x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此?x∈R，f(x)≤f(x0)是假命题．
二、填空题
7．若命题p：?x∈R，<0，则綈p：________.
答案 ?x0∈R，使>0或x0－2＝0
解析 綈p：?x0∈R，使>0或x0－2＝0.
最容易出现的错误答案是：存在x0∈R，使≥0.
8．由命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.
答案 1
解析 因为命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，所以其否定“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，等价于方程x2＋2x＋m＝0无实根，所以Δ＝4－4m<0，解得m>1，又因为m的取值范围是(a，＋∞)，所以实数a＝1.
9．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对?x1∈[－1，3]，?x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 因为x∈[－1,3]，所以f(x)∈[0,9]，又因为对?x1∈[－1,3]，?x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，
即?x∈[0,2]，g(x)≤0，即x－m≤0，所以?x∈[0,2]，使m≥x成立，m≥2，即m≥.
三、解答题
10．已知命题p：?m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥；命题q：?x，使不等式x2＋ax＋2＜0.若p或q是真命题，綈q是真命题，求a的取值范围．
解 根据p或q是真命题，綈q是真命题，得p是真命题，q是假命题．
因为m∈[－1,1]，所以 ∈[2，3]，
因为?m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥ ，
所以a2－5a－3≥3，所以a≥6或a≤－1.
故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
又命题q：?x，使不等式x2＋ax＋2＜0，
所以Δ＝a2－8＞0，
所以a＞2或a＜－2，
从而命题q为假命题时，－2≤a≤2，
所以命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为[－2，－1]．
B级：能力提升练
已知定义在(－∞，3]上的单调递减函数f(x)，使得f(a2－sinx)≤f(a＋1＋cos2x)对?x∈R均成立，求a的取值范围．
解 由单调性得3≥a2－sinx≥a＋1＋cos2x对任意的x∈R均成立，即对任意的x∈R均成立．
设g(x)＝3＋sinx(x∈(－∞，3])，
h(x)＝sinx＋cos2x＋1(x∈(－∞，3])，
则
又由函数的单调性可知，g(x)min＝2，h(x)＝－sin2x＋sinx＋2＝－2＋，h(x)max＝，
故有
解得－≤a≤－.
故a的取值范围为.
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第一章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．若α，β∈R，则“α＝β”是“tanα＝tanβ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 D
解析 当α＝β＝时，tanα，tanβ不存在；
又α＝，β＝时，tanα＝tanβ，
所以“α＝β ”是“tanα＝tanβ ”的既不充分又不必要条件．
2．下列叙述中正确的是( )
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
答案 D
解析 对于A，当a<0时，若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≤0，故“b2－4ac≤0”不是“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件，A错误；对于B，若ab2>cb2，则(a－c)b2>0，即a>c，若a>c，当b＝0时，ab2>cb2不成立，故“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，B错误；对于C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，故C错误；对于D，由线面垂直的性质可知α∥β，故D正确．故选D.
3．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
答案 B
解析 写原命题的逆否命题时，不仅要交换条件和结论，而且要同时否定．故选B.
4．命题p：a2＋b2＜0(a，b∈R)；命题q：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b ∈R)，下列结论正确的是( )
A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真
C．“綈p”为假 D．“綈q”为真
答案 A
解析 显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假．
5．设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 取x＝y＝0满足条件p，但不满足条件q，反之，对于任意的x，y满足条件q，显然必满足条件p，所以p是q的必要不充分条件．故选A.
6．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
答案 A
解析 綈p表示甲没有降落在指定范围，綈q表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故选A.
7．不等式2x2－5x－3≥0成立的一个必要不充分条件是( )
A．x≥0 B．x<0或x>2
C．x<－ D．x≤－或x≥3
答案 B
解析 2x2－5x－3≥0?(x－3)(2x＋1)≥0?x≤－或x≥3，所以?{x|x<0或x>2}，所以“x<0或x>2”是2x2－5x－3≥0成立的必要不充分条件．
8．函数f(x)＝(a＋1)tan2x＋3sinx＋a2－3a－4为奇函数的充要条件是( )
A．a＝4 B．a＝－1
C．a＝4或a＝－1 D．a∈R
答案 B
解析 函数f(x)的定义域为
A＝，
该定义域关于原点对称．
∵f(x)为奇函数且0∈A，∴f(0)＝0，即a2－3a－4＝0，
∴a＝4或a＝－1.
当a＝－1时，易证f(x)＝3sinx(x∈A)是奇函数；
当a＝4时，f(x)＝5tan2x＋3sinx(x∈A)，
这时f＝5－，f＝5＋，
∴f≠－f.
∴f(x)＝5tan2x＋3sinx(x∈A)不是奇函数，不符合题意，∴a＝4应舍去．故选B.
9．下列命题中是真命题的为( )
A．?x∈R，sin2＋cos2＝0
B．?x∈(0，π)，sinx>cosx
C．?x∈(0，＋∞)，x2≥x－
D．?x0∈，使得sinx0>x0
答案 C
解析 对于A选项，?x∈R，sin2＋cos2＝1，故A为假命题；对于B选项，当x＝时，sinx＝，cosx＝，sinx10．设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是( )
A．02 B．0C．1答案 C
解析 若p为真命题，则－2－a<11.
若q为真命题，则－2－a<22.
依题意，得p假q真，或p真q假，
即或∴111．命题“?x∈R，(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－2,2]
C．(－2,2) D．(－∞，2)
答案 B
解析 若命题“?x∈R，(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0”是假命题，则命题“?x∈R，(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0”是真命题，故a－2＝0或
解得a∈(－2,2]，故选B.
12．已知△ABC的边长为a，b，c，定义它的等腰判别式为D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}，则“D＝0”是“△ABC为等腰三角形”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 (1)充分性：
若△ABC不为等腰三角形，不妨设a则max{a－b，b－c，c－a}＝c－a，
min{a－b，b－c，c－a}＝a－b或b－c，
所以D＝c－b或b－a，故D≠0.
所以若D＝0，则△ABC为等腰三角形．
(2)必要性：
若△ABC为等腰三角形，不妨设a＝b，
D＝max{0，b－c，c－b}＋min{0，b－c，c－b}
＝
所以“D＝0”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．
答案 对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等
解析 “对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
14．已知命题“若{an}是常数列，则{an}是等差数列”，在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数是________．
答案 2
解析 由题意可知，原命题是真命题，其逆命题是假命题，所以其否命题是假命题，其逆否命题是真命题，所以在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题有2个．
15．给出以下命题：
①?x∈R，|x|>x；
②?α∈R，sin3α＝3sinα；
③?x∈R，x>sinx；
④?x∈(0，＋∞)，x其中正确命题的序号有________．
答案 ②
解析 x≥0时，|x|＝x，①错误，当α＝0时，sin3α＝3sinα，②正确；当x＝－时，xx，④错误．故正确命题的序号只有②.
16．下列四个命题：
①命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a＝0，则ab≠0”；
②若命题p：?x∈R，x2＋x＋1<0，则綈p：?x∈R，x2＋x＋1≥0；
③若命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；
④命题“若0其中正确命题的序号是________．(把所有正确的命题序号都填上)
答案 ②③
解析 ①若原命题是“若p则q”的形式，则它的否命题是“若綈p则綈q”的形式，所以“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”，所以①错误；
②命题p是特称命题，它的否定形式是
綈p：?x∈R，x2＋x＋1≥0，所以②正确；
③因为“綈p”是真命题，所以p是假命题，而“p或q”是真命题，所以q必是真命题，所以③正确；
④当01，所以1loga，所以④错误．
故正确的命题有②③.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)四条边相等的四边形是正方形；
(3)方程x2＋7x－8＝0的解是x＝－8或x＝1.
解 (1)“若p，则q”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等，是真命题．
逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题．
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应边不全相等，是真命题．
逆否命题：若两个三角形的对应边不全相等，则这两个三角形不全等，是真命题．
(2)“若p，则q”的形式：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形，是假命题．
逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等，是真命题．
否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形，是真命题．
逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等，是假命题．
(3)“若p，则q”的形式：若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1.逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0，是真命题．
否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1，是真命题．
逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0，是真命题．
18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：正数的对数都是正数；
(2)p：存在x∈R，x2－x＋1≤0；
(3)p：所有的菱形都是平行四边形；
(4)p：有的三角形是等边三角形；
(5)p：任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
(6)p：有一个素数含三个正因数．
解 (1)綈p：存在一个正数，它的对数不是正数．真命题．
(2)綈p：任意x∈R，x2－x＋1>0.真命题．
(3)綈p：存在一个菱形，它不是平行四边形．假命题．
(4)綈p：所有的三角形都不是等边三角形．假命题．
(5)綈p：存在x0∈Z，使x的个位数字等于3.假命题．
(6)綈p：所有的素数都不含三个正因数．真命题．
19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.
(1)若“命题p：?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)“命题q：?x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
解 (1)A＝{x|－2≤x≤5}，
B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B≠?.
∵“命题p：?x∈B，x∈A”是真命题，
∴B?A，B≠?，∴解得2≤m≤3.
(2)q为真，则A∩B≠?，∵B≠?，∴m≥2，
∴∴2≤m≤4.
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x|x－a|＋b，求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2＋b2＝0.
证明 充分性：因为a2＋b2＝0，所以a＝b＝0，
所以f(x)＝x|x|.
因为f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
必要性：若f(x)为奇函数，则对一切x∈R，
f(－x)＝－f(x)恒成立．
即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b恒成立．
令x＝0，则b＝－b，所以b＝0，令x＝a，则－a|－2a|＝0，
所以a＝0.即a2＋b2＝0.
21．(本小题满分12分)p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解 (1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0，
又a>0，所以a当a＝1时，1由得
得2若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2(2)綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p?綈q，且綈q推不出綈p.
即q是p的充分不必要条件，
则解得1所以实数a的取值范围是(1,2]．
22．(本小题满分12分)已知命题p：f(x)＝|x＋a|在[0，＋∞)上是增函数；命题q：点O(0,0)与点P(1,1)在直线y＝a(x＋1)的两侧．若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．
解 ∵f(x)＝|x＋a|在[－a，＋∞)上是增函数，若p为真，应有[0，＋∞)?[－a，＋∞)，∴－a≤0，即a≥0.
若q为真，应有a(2a－1)<0，解得0由p∧q为假，p∨q为真可知，p与q一真一假．
当p真q假时，得
解得a＝0或a≥.
当p假q真时，得此时a无解．
综上所述，实数a的取值范围是.
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