2.2.3向量数乘运算及其几何意义 24张ppt

2.2.3向量数乘运算及其几何意义
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
一、复习回顾
向量的概念：既有大小，又有方向的量。
向量的表示：A
B
或
?
a 或
?
AB
向量的加法：
A
B C
D (平行四边形法则)
???
?? ACADAB
A
B C
???
?? ACBCAB
（三角形法则）
想一想：
A B C D
怎么做向量的加法呢？的方向相同长度相等时和若
??
CDAB
?CDAB ????
????
aa
如图：
?
a
?
a
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
与 方向一至并且长度是 长度的2倍
?????
???? aaBDABAD
?
a
?
a
?
a
?
a
A B D
A B C D
?
a
?
a ?CDAB ????
????
aa
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?
a
?
a
?
a
A B
???
?? aaAD
??
? aa类似数的乘法，我们把 记作
?
a2
所以可以得到。。。
D
????
???? a2aaAD
的方向相同的方向与
??
aa2 倍的长度的的长度是 22
??
aa
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？?
?
OC
?
? a
?
? a
?
? a
N M Q P ？?
?
PN
方向？
长度？
?
a
?
a
?
a
o A B C
?
a3
方向？
长度？
的方向相同的方向与
??
aa3
倍的长度的的长度是 33
??
aa
）（
?
a-3
?
? a3-
的方向相反）的方向与（
??
aa-3
的长度一样与
倍，的长度的）的长度是（
?
??
a
aa
3
3-3
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向量的数乘：一般地，我们规定实数 与向量 的
积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算。
?
?
a
?
a?记作 下：它的长度和方向规定如
? ? ;1
??
? aa ??长度：
? ? 的方向相同；的方向与时，方向：
??
? aa?? 02
.0 的方向相反的方向与时，
??
? aa??
??
?? 00 a?? 时，特别地：
、2
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运算律：? ? ? ? ;1
??
??
?
?
?
?
? aa ????
? ?? ? ;2
???
??? aaa ????
? ?
????
???
?
?
?
?
? ? baba ???3
? ? ?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
???
???
aaa ???-特别地：
????
???
?
?
?
?
? ? baba ???
.容易得出下面的结论为常数，则我们可以很，若 ??、3
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发现:向量的数乘运算与实数的运算相类似
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.
??
aa ?和们进一步认识结合前面所学的知识我、4
我们现在知道当 时， 和 的
方向相同或相反，那么它们叫什么向量呢？
a
?
a?
?
0, 0a?
? ?
? ?
向量共线定理：向量 与 共线，当且仅
当有唯一一个实数 ，使
? ?0a a? ? ?? b?
? b a?
? ?
?
想一想 若 或 时， 和 共线吗？0? ? 0a
? ?
? a?
?
a
?
若 时， 和 始终共线.0? ? a?
?
a
?
若 时， 和 始终共线.0a
? ?
? a?
?
a
?
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? ?2 8 3a b a b? ? ? ?? ? ? ? 5 5a b? ?? ?证明：? ?1 BD BC CD? ? ?? ?
5BD AB
? ?
? ? 和 共线AB
?
? BD
?
又 和 有公共点AB
?
? BD
?
A、B、C三点共线
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只要向量共线就可以得出点共线吗？
?
?
?
点共线
向量共线
两向量有公共点
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这节课你学到了什么呢？
λa
|λ|·|a|
λ>0
λ<0
0 0
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(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
λa
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探究
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探究
两不共线的向量一定可以表示第三个向量吗？
课时作业（二十一）