2.4.1平面向量的数量积 40张ppt

2．4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理
背景及其含义
向量的夹角
O A
B
?
已知两个非零向量 和 ，作 ， ，则
叫做向量 和 的夹角．
OA a? OB b? ???AOB
)1800(
?? ??? a
ba
b
a
b
,a b记作
复习
问 题
θ
s
F
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s ，
那么力F 所做的功应当怎样计算？
为此，我们引入向量“数量积”的概念。
功是一个标量，它由力和位移两个矢量（向量）来确定.
这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运
算的结果呢？
其中θ是 F 与 s 的夹角 .W = |F||s| cosθ ,
问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一
般向量，其结果又该如何表述？
?cos??? SFW
|| a || b ?cos??ba
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
向量的数量积是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

要点 1 平面向量数量积的概念
(1)数量积的定义
已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为θ，则数量_______
叫做 a 与 b 的数量积(内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a|·|b|cosθ.
_______叫做向量 a 在 b 方向上的投影．
(2)数量积的几何意义
数量积 a·b 等于|a|与________________________的乘积．

要点 2 平面向量数量积的性质及其运算律
(1)平面向量数量积的性质
若 a，b 是非零向量，则
①a⊥b?_________；
②若 a 与 b 同向，则 a·b＝______；若 a 与 b 反向，则 a·b
＝_______．
③a·a＝|a|2或|a|＝____．常用此性质进行实数与向量的转化．
④cosθ＝______．
⑤|a·b|______|a||b|.

(2)平面向量数量积的运算律
①a·b＝_____ (交换律)；
②(λa)·b＝_____＝______ (数乘向量结合律)；
③(a＋b)·c＝________ (分配律)．


1．实数与向量的积与数量积有何区别？

2．当 a·b＝0，则 a⊥b 对吗？

3．a·b＝b·c?a＝c，对吗？

4．(a·b)·c＝a·(b·c)对吗？


1．实数与向量的积与数量积有何区别？

2．当 a·b＝0，则 a⊥b 对吗？


答：实数与向量的积仍是向量；向量的数量积是实数，而不是
向量．
答：不对，也可能 a＝0 或 b＝0.

3．a·b＝b·c?a＝c，对吗？

答：不对，a·b＝b·c?b·(a－c)＝0?b⊥(a－c)；或 b＝0 或 a
＝c.

4．(a·b)·c＝a·(b·c)对吗？
答：不对，因为(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量，而 a·(b·c)表
示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线．

5．一组常用公式
①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；
③(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
④(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c.

授 人 以 渔

题型一 数量积的运算
例 1 (1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a 与 b
的夹角为 30°，分别求 a·b.

【解析】 ①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角为 0°.
∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10.
若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180°.
∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.

②当 a⊥b 时，它们的夹角为 90°.
∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.
③当 a 与 b 的夹角为 30°时，
a·b＝|a||b|cos30°＝2×5×
3
2
＝5 3.

(2)已知点 A，B，C 满足|AB
→
|＝3，|BC
→
|＝4，|CA
→
|＝5，则AB
→
·BC
→
＋BC
→
·CA
→
＋CA
→
·AB
→
的值是________．

AB
C
∟
【解析】 方法一：如图，根据题意可得△ABC
为直角三角形，且 B＝
π
2
，cosA＝
3
5
，cosC＝
4
5
，
∴AB
→
·BC
→
＋BC
→
·CA
→
＋CA
→
·AB
→

＝BC
→
·CA
→
＋CA
→
·AB
→

＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)
＝－20cosC－15cosA
＝－20×
4
5
－15×
3
5
＝－25.


方法二：如图，建立平面直角坐标系，
则 A(3，0)，B(0，0)，C(0，4)．
∴AB
→
＝(－3，0)，BC
→
＝(0，4)，CA
→
＝(3，－
4)．
∴AB
→
·BC
→
＝－3×0＋0×4＝0，BC
→
·CA
→
＝0×3＋4×(－4)
＝－16，CA
→
·AB
→
＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.
∴AB
→
·BC
→
＋BC
→
·CA
→
＋CA
→
·AB
→
＝－25.

探究 1 向量数量积的运算方法：
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝
|a||b|cos〈a，b〉；
(2)注意共线时 θ＝0°或 180°，垂直时 θ＝90°，三种特殊
情况．

思考题 1 (1)已知 a，b 为单位向量，其夹角为 60°，则
(2a－b)·b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2

【解析】 由已知得|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos〈a，b〉－|b|2＝2×1×1×cos60
°－12＝0，故选 B.
【答案】 B

(2)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AE
→
·BD
→
＝________．

【解析】 AE
→
·BD
→
＝
?
?
?
?
?
?
?
?
AD
→
＋
1
2
AB
→
·(AD
→
－AB
→
)＝AD
→ 2－
1
2
AB
→ 2＝
2
2－
1
2
×22＝2.
【答案】 2

A B
CD
E
题型二 向量的模
例 2 已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，求：
(1)a·b； (2)a2－b2； (3)|a＋b|； (4)|a－b|.

【解析】 (1)a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 120°＝－3.
(2)a
2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)|a＋b|＝ （a＋b）2＝ a2＋2a·b＋b2
＝ |a|2＋2|a||b|cosθ＋|b|2
＝ 4－6＋9＝ 7.
(4)|a－b|＝ （a－b）2＝
a
2－2a·b＋b2＝ 4＋6＋9＝ 19.

题型二 向量的模
例 2 已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，求：
(1)a·b； (2)a2－b2； (3)|a＋b|； (4)|a－b|.

探究 2 对于向量的数量积的运算，有类似于多项式的运算
法则，但数量积不满足结合律，对于模的计算一般使用|a|＝ a2，
但|a·b|≠|a||b|，而是|a·b|≤|a||b|，因此在本例中第(4)小题不能如此
来解：
∵a2－b2＝－5，∴|a2－b2|＝5.
又|a＋b|＝ 7，
∴|a－b|＝
|a
2－b2|
|a＋b|
＝
5 7
7
.
这个结论显然错误．

思考题 2 (1)已知向量 a b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与 b 的
夹角为 60°，则|a－b|＝________．

(2)已知|a|＝3，|b|＝2，a 与 b 的夹角为
π
6
.求 a·b，(2a＋b)·b
和|a＋b|.

思考题 2 (1)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与 b 的
夹角为 60°，则|a－b|＝________．
【解析】 因为 |a－ b|
2 ＝ (a－ b)2 ＝ a2 － 2a·b ＋ b2 ＝ 12 －
2×1×2cos 60°＋22＝3，故|a－b|＝ 3.
【答案】 3
(2)已知|a|＝3，|b|＝2，a 与 b 的夹角为
π
6
.求 a·b，(2a＋b)·b
和|a＋b|.

【解析】 a·b＝|a||b|cosθ＝3×2×cos
π
6
＝3 3，
(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×3 3＋22＝6 3＋4，
|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13＋6 3.
故|a＋b|＝ 13＋6 3.

题型三 向量的夹角
例 3 已知|a|＝1，a·b＝
1
2
，(a－b)·(a＋b)＝
1
2
，求：
(1)a 与 b 的夹角；
(2)a－b 与 a＋b 的夹角的余弦值．

【思路分析】 解决本题的关键是求|b|，|a－b|和|a＋b|的值，
然后运用夹角公式求出．
【解析】 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝
1
2
，
又∵|a|＝1，∴|b|＝
2
2
.
设a与 b的夹角为 θ，则 cosθ＝
a·b
|a|·|b|
＝
1
2
1·
2
2
＝
2
2
. ∴θ＝45°.

(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×
1
2
＋
1
2
＝
1
2
，
∴|a－b|＝
2
2
.
∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×
1
2
＋
1
2
＝
5
2
，
∴|a＋b|＝
10
2
.
设 a－b 与 a＋b 的夹角为 φ，
则 cosφ＝
（a－b）·（a＋b）
|a－b|·|a＋b|
＝
1
2
2
2
×
10
2
＝
5
5
.∴cosφ＝
5
5
.
探究 3 求两向量夹角的方法：
(1)一般是利用夹角公式：cosθ＝
a·b
|a|·|b|
.
(2)注意：数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，
数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量
不能共线时两向量的夹角为钝角．


(2)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|
＝2，则 a 与 b 的夹角为________．

思考题3 (1)已知|a|＝8，|b|＝5，|a＋b|＝7，求a与b的夹角θ.
【解析】 由|a＋b|＝7，得 a2＋2a·b＋b2＝49.
∴a·b＝－20.∴cosθ＝
a·b
|a||b|
＝－
1
2
即 θ＝
2
3
π.

(2)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|
＝2，则 a 与 b 的夹角为________．

【解析】 设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2
＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以 cosθ＝
1
2
.因为 0≤θ≤π，所
以 θ＝
π
3
.

思考题3 (1)已知|a|＝8，|b|＝5，|a＋b|＝7，求a与b的夹角θ.
用数量积求解垂直问题
例 1 已知非零向量 a，b，若 a＋2b 与 a－2b 互相垂直，则
|a|
|b|
＝________．

用数量积求解垂直问题
例 1 已知非零向量 a，b，若 a＋2b 与 a－2b 互相垂直，则
|a|
|b|
＝________．

【解析】 ∵(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2＝0，
∴|a|＝2|b|，∴
|a|
|b|
＝2.
【答案】 2

例 2 已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角为 60°，问当 k 为
何值时，向量 ka－b 与 a＋2b 垂直？

例 2 已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角为 60°，问当 k 为
何值时，向量 ka－b 与 a＋2b 垂直？

【解析】 (ka－b)·(a＋2b)＝ka2－a·b＋2ka·b－2b2
＝k|a|2－2|b|2－(1－2k)a·b
＝25k－32－(1－2k)a·b
＝25k－32－(1－2k)×5×4×cos60°＝45k－42，

当 k＝
14
15
时，45k－42＝0，即(ka－b)·(a＋2b)＝0.
∴k＝
14
15
时，(ka－b)⊥(a＋2b)．

题型四 数量积的几何意义
例 4 (1)已知|a|＝6，e 为单位向量，当它们之间的夹角 θ 分
别等于 45°，90°，135°时，求出 a 在 e 方向上的投影，并画
图说明．

【思路分析】 a 在 e 方向上的投影为|a|·cosθ.
【解析】 如下图所示，当 θ＝45°时，a 在 e 方向上的正
投影的数量为 3 2；
当 θ＝90°时，a 在 e 方向上的投影的数量为 0；
当θ＝135°时，a 在 e 方向上的投影的数量为－3 2.


∴|a|·cos45°＝3 2，|a|·cos90°＝0，
|a|·cos135°＝－3 2.

(2)已知|a|＝4，a 与 b 的夹角为 30°，则 a 在 b 方向上的投
影为________．

探究 4 数量积 a·b等于 a长度与 b在 a的方向上的投影|b|cos
θ乘积．
思考题 4 (1)已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6.
①向量 a 在向量 b 方向上的投影为________．
②向量 b 在向量 a 方向上的投影为________．
(2)在边长为 2 的正三角形 ABC 中，AB
→
在BC
→
方向上的投影
为______．

课堂小结
5种题型（求数量积、模、夹角 数、投影）
4个性质
2个概念（数量积、投影）
3种运算（交换律、数乘结合律、分配律）
几个注意（数量积不是向量；投影不是长度；
数量积没有结合律、消去律）
这
一
节
课
1) 0a b a b? ? ? ?
cosa b a b ?? ?
? ?4
| || |
a b
a b
a b
? ?
?
）cos = 为 ，的夹角
3 | | | || |a b a b? ?）
2)︱a︱= ?a a
请做：课时作业（二十五）