2.4.2平面向量的数量积 22张ppt

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高考调研 ·新课标 ·数学（必修四）
2．4.2 平面向量数量积的
坐标表示、模、夹角
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要点 向量数量积的坐标表示[设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)]
数量积的坐标表示 a·b＝ =
向量模公式 |a|＝ =
两点间距离公式
若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB
→
|＝
向量的夹角公式

cos< a,b >＝ =
向量垂直充要条件
(设 a 与 b 均是非零向量)
a⊥b ? ?

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1．公式 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与 a·b＝x1x2＋y1y2有什么区别
与联系？

答：两个公式都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，
只是书写形式的差异，可以相互推导；若题目给出的是两向量的模
与夹角，则可直接利用 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解，若已知两向量
的坐标，则可选用 a·b＝x1x2＋y1y2求解．

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2．对于任意的非零向量 a＝(x，y)，如何用坐标表示与向量
a 同向的单位向量？

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2．对于任意的非零向量 a＝(x，y)，如何用坐标表示与向量
a 同向的单位向量？

答：记向量 a 的单位向量为 a0，则 a0＝
a
|a|
，且|a|＝ x2＋y2，所
以 a0＝
a
|a|
＝
1
x
2＋y2
(x，y)＝
?
?
?
?
?
?
?
?x
x
2＋y2
，
y
x
2＋y2
，此为与向量 a＝(x，
y)同向的单位向量．

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授 人 以 渔

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题型一 数量积的坐标表示及其基本运算
例 1 已知 a＝(1，2)，b＝(－3，4)，求：
(1)a·b； (2)cos〈a，b〉； (3)(a＋b)2；(4)|2a－b|.
(注：〈a，b〉表示向量 a 与 b 的夹角)

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【解析】 (1)a·b＝(1，2)·(－3，4)＝1×(－3)＋2×4＝5.
(2)由(1)得 a·b＝5，又|a|＝ 12＋22＝ 5，|b|＝ （－3）2＋42
＝5，∴cos〈a，b〉＝
a·b
|a|·|b|
＝
5
5·5
＝
5
5
.
(3)∵a＋b＝(1，2)＋(－3，4)＝(－2，6)，
∴(a＋b)2＝(－2)2＋62＝40.
(4)∵2a－b＝(2，4)－(－3，4)＝(5，0)，∴|2a－b|＝5.

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思考题 1
(1)已知 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则向量 a 与 b 的夹角是( )
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2

(2)若 a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则 a 在 b 方向上的投影为________．


(3)若向量 a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b) ·c＝30，
则 x＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3

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(5)如图，在平行四边形 ABCD 中，AC
→
＝(1，2)，BD
→
＝(－3，2)，
则AD
→
·AC
→
＝________．


(4)已知 a＝(－5，6)，b＝(6，5)，则 a 与 b( )
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
【答案】 (1)B (2)
65
5
(3)C (4)A (5)3

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题型二 夹角与模
例 2 (1)a，b 为平面向量，已知 a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，
则 a，b 夹角的余弦值等于( )
A.
8
65
B．－
8
65

C.
16
65
D．－
16
65

(2)平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则
|a＋2b|＝( )
A. 3 B．2 3
C．4 D．12
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【解析】 (1)设 b＝(x，y)，则 2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，
18)，解得 x＝－5，y＝12，故 b＝(－5，12)，则 cos〈a，b〉＝
a·b
|a||b|
＝
16
65
，故选 C.
(2)因为 a＝(2，0)，|b|＝1，所以|a|＝2，a·b＝2×1×cos60
°＝1，故|a＋2b|＝ a2＋4a·b＋4b2＝2 3.
【答案】 (1)C (2)B

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思考题 2、已知 A(2，1)，B(3，1)，C(－1，4)，则△ABC 是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形

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探究 由于两个非零向量 a，b 的夹角 θ满足
0°≤θ≤180°，如何用 cosθ＝
a·b
|a||b|
去判断θ的情况？

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探究 由于两个非零向量 a，b 的夹角 θ满足
0°≤θ≤180°，所以用 cosθ＝
a·b
|a||b|
去判断θ分五种情况：
cosθ＝1，θ＝0°；
cosθ＝0，θ＝90°；
cosθ＝－1，θ＝180°；
cosθ<0 且 cosθ≠－1，θ为钝角；
cosθ>0 且 cosθ≠1，θ为锐角．

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题型三 平行与垂直的应用
例 3 在△ABC 中，AB
→
＝(2，3)，AC
→
＝(1，k)，且△ABC
的一个内角为直角，求 k 的值．

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【解析】 当∠A＝90°时，AB
→
·AC
→
＝0，
∴2×1＋3×k＝0.∴k＝－
2
3
.
当∠B＝90°时，AB
→
·BC
→
＝0，BC
→
＝AC
→
－AB
→
＝(1－2，k－
3)＝(－1，k－3)，
∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0.∴k＝
11
3
.
当∠C＝90°时，AC
→
·BC
→
＝0，
∴－1＋k(k－3)＝0.∴k＝
3± 13
2
.
综上所述：k＝－
2
3
或
11
3
或
3± 13
2
.

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思考题 3 已知 a＝(4，2)，b 为单位向量．若
①b∥a，则 b＝________．
②b⊥a，则 b＝________．

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【答案】 ①
?
?
?
?
?
?
?
?2 5
5
，
5
5
或
?
?
?
?
?
?
?
?
－
2 5
5
，－
5
5

②
?
?
?
?
?
?
?
?5
5
，－
2 5
5
或
?
?
?
?
?
?
?
?
－
5
5
，
2 5
5


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请做：课时作业（二十六）