第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
【学习目标】
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力.
学习重点：勾股定理的内容及证明.
学习难点：勾股定理的证明.
学习过程
一、自学导航（课前预习）
1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）
（1）两锐角之间的关系：
（2）若D为斜边中点，则斜边中线
（3）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
2、勾股定理证明：
方法一；
如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。
S正方形＝_______________＝____________________
方法二；
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=______________
右边S=_______________
左边和右边面积相等，
即 化简可得。
二、合作交流（小组互助）思考：
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（2）你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？
由此我们可以得出什么结论？可猜想：
如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么__________________
_____________________________________________________________________。
（三）展示提升（质疑点拨）
1.在Rt△ABC中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c=________；
（2）如果a=6，b=8，则c=________；
（3）如果a=5，b=12，则c=________；
(4) 如果a=15，b=20，则c=________.
2、下列说法正确的是（ ）
A.若、、是△ABC的三边，则
B.若、、是Rt△ABC的三边，则
C.若、、是Rt△ABC的三边，， 则
D.若、、是Rt△ABC的三边， ，则
3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20
4、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 。
（四）达标检测
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。
2、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。
3、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的为 。
4、已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长；②ΔABC的面积．
（1）观察图1－1。???A的面积是__________个单位面积；
???B的面积是__________个单位面积；
???C的面积是__________个单位面积。
第4题图
S1
S2
S3
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用
学习目标：
1．会用勾股定理进行简单的计算，能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想；
2．勾股定理的实际应用，树立数形结合的思想、分类讨论思想；
学习重点：勾股定理的简单计算.
学习难点：勾股定理的灵活运用.
学习过程
一、自学导航（课前预习）
1、直角三角形性质有：如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
（1）两锐角之间的关系： ；
（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；
（3）直角三角形斜边上的 等于斜边的 。
（4）三边之间的关系： 。
（5）已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
c= 。（已知a、b，求c）
a= 。（已知b、c，求a）
b= 。（已知a、c，求b）.
2、（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。
（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，c=8，则b= 。
（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=12，c=13，则a= 。
2、合作交流（小组互助）
例1：一个门框的尺寸如图所示．
若薄木板长3米，宽2.2米呢？
例2、如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小数）
分析：要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，实际就是求BD的长，而BD=OD-OB
例3：用圆规与尺子在数轴上作出表示的点，并补充完整作图方法。
步骤如下：1．在数轴上找到点A，使OA＝ ；
2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝ ；
3．以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点．
分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。如图，已知OA=OB，
(1)说出数轴上点A所表示的数
（2）在数轴上作出对应的点
（三）展示提升（质疑点拨）
1、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长为 。
2、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面
钢缆A到电线杆底部B的距离为 。
3、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，
圆的直径至少为 （结果保留根号）
4、一旗杆离地面6m处折断，其顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前高 。
如下图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方
向成直角的AC方向上一点．测得CB＝60m，AC＝20m，
你能求出A、B两点间的距离吗?
5、如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长100cm，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为60cm，当端点B向右移动20cm时，滑杆顶端A下滑多长？
6、你能在数轴上找出表示的点吗？请作图说明。
（四）达标检测
1、若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16 cm，那么第三边上的高为 ( )
A、12 cm B、10 cm C、8 cm D、6 cm
2、若等腰直角三角形的斜边长为2，则它的直角边的长为 ，斜边上的高的长为 。
3、如图，在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB与D。
求：（1）AC的长； （2）⊿ABC的面积； （3）CD的长。
4、在数轴上作出表示的点。
5、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD=，
求线段AB的长。
A
C
B
B
C
1m
2m
A
实际问题
数学模型
O
B
D
CＣ
A
C
A
O
B
O
D
B
A
C
第2题
A
E
B
D
C
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
学习目标：
1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程；
2、理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；
3、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形.
学习重点：勾股定理的逆定理。
学习难点：勾股定理的逆定理的证明。
学习过程
一、自学导航
1、勾股定理：直角三角形的两条_________的平方____等于______的_______，即___________.
2、填空题
（1）在Rt△ABC，∠C=90°，8，15，则 。
（2）在Rt△ABC，∠B=90°，3，4，则 。（如图）
3、直角三角形的性质
（1）有一个角是 ；（2）两个锐角 ，
（3）两直角边的平方和等于斜边的平方：
（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的 边是 边的一半．
二、合作交流
1、怎样判定一个三角形是直角三角形？
2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c
5、12、13 7、24、25 8、15、17
（1）这三组数满足吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
猜想命题2：如果三角形的三边长、、，满足，那么这个三角形是 三角形
问题二：命题1：
命题2：
命题1和命题2的 和 正好相反，把像这样的两个命题叫做 命题，如果把其中一个叫做 ，那么另一个叫做
由此得到
勾股定理逆定理：
命题2：如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形.
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且
求证：∠C=90°
思路：构造法——构造一个直角三角形，使它与原三角形全等，
利用对应角相等来证明．
证明：
三、展示提升
1、判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：
（1）； （2）．
2、说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
（1）两条直线平行，内错角相等．
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
（3）全等三角形的对应角相等．
（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
四、达标检测
1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________，能构成直角三角形的是____________．（填序号）
①3，4，5 ② 1，3，4 ③ 4，4，6 ④ 6，8，10 ⑤ 5，7，2 ⑥ 13，5，12 ⑦ 7，25，24
2、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．5，6，7 B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12
3、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A、a=9，b=41，c=40 B、a=b=5，c= C 、a∶b∶c=3∶4∶5 D a=11，b=12，c=15
4、若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（ ）
A．42 B．52 C．7 D．52或7
5、命题“全等三角形的对应角相等”
（1）它的逆命题是 。
（2）这个逆命题正确吗？
（3）如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例。
A
B
C
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
学习目标：
1、勾股定理的逆定理的实际应用；
2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合.
学习重点：勾股定理的逆定理及其实际应用。
学习难点：勾股定理逆定理的灵活应用。
学习过程
一、自学导航
1、判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：
（1）；（2） （3）
2、写出下列真命题的逆命题，并判断这些逆命题是否为真命题。
（1）同旁内角互补，两直线平行；
解：逆命题是： ；它是 命题。
（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
解：逆命题是： ；它是 命题。
（3）全等三角形的对应边相等；
解：逆命题是： ；它是 命题。
（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
解：逆命题是： ；它是 命题。
二、合作交流
1、勾股定理是直角三角形的 定理；它的逆定理是直角三角形的 定理.
2、请写出三组不同的勾股数： 、 、 .
3、借助三角板画出如下方位角所确定的射线：
①南偏东30°；②西南方向；③北偏西60°.
例1：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
三、展示提升
1、已知在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求S△ABC.
2、如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：
（1）△ABC是什么类型的三角形？
（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？
（3）走私艇C最早会在什么时间进入？
四、达标检测
1、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
2、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=，
∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
3、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西n°，问：甲巡逻艇的航向？
①
②
③
A
M
E
N
C
B
C
A
B
E
N
13
《勾股定理》复习
1、学习目标
1、掌握勾股定理及逆定理，理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
2、进一步熟练掌握勾股定理及逆定理的应用。
3、在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽乐趣。
二、重点难点 重点：勾股定理及逆定理的应用 难点：灵活应用勾股定理及逆定理。 三、学习过程
（一）本章知识结构图
（二）本章相关知识
1. 勾股定理及逆定理
（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边为 ，那么 。
公式的变形：
c2= , c=
a2= , a=
b2= , b=
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是 ．
注：（1）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据；
（2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据．
利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤：
①先判断哪条边最大；
②分别用代数法计算 a2+b2 和c2 的值；
③判断a2+b2和 c2 是否相等。 若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 2、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。写出三组勾股数： 、 、
3、互逆命题和互逆定理 互逆命题
两个命题中，如果第一个命题的 恰为第二个命题的 ，而第一个命题的 恰为第二个命题的 ，像这样的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 互逆定理 一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是 ，那么它也是一个 ，称这两个定理互为 ，其中一个叫做另一个的逆定理.
（3）考点剖析 考点1：在直角三角形中，已知两边求第三边
1、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做 cm .
2、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高． （提示：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）
考点2：勾股定理与方程联手求线段的长（方程思想）
1、如图 ，将一个边长为4、8的长方形纸片ABCD折叠使C点与A点重合，则EB的长是（ ） A、3 B、4 C、5 D、5
2、如图，有一片直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，试求CD的长。
4、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
考点3：用勾股定理的逆定理判别一个三角形是否是直角三角形
1.若一个三角形的周长 123cm，一边长为33cm，其他两边之差为3cm，则这个三角形是 .
2、若△ABC的三边为a、b、c满足a：b：c=1：1：2，则△ABC的形状为 。
3.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判定△ABC的形状．
4．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝， 求证：AF⊥FE．(点拨：要证AF⊥EF，需证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，
只要证出AF2+EF2=AF2就可以了．）
勾股定理
实际问题（直角三角形边长计算）
勾股定理的逆定理
实际问题（判别直角三角形）
C
B
A
2 + 2 = 2 （勾股定理）
数
直角三角形
图
C
B
A
直角三角形
图
a2 +b2 = c2
数
F
D
A
E
C
B
A
E
D
C
B
E
C
B
D
A
C
E
D
F
A
B
