第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的特征
学习目标：
1、复习四边形的概念、结构、分类；
2、掌握平行四边形的概念、结构、表示、读法；
3、理解平行四边形的性质.
重难点：平行四边形性质的应用
学习过程
一、回顾思考
1、 三角形的概念： 。
2、 四边形的概念： 。
3、 叫做四边形的对角； 相对的两条边叫做四边形的 。 叫做四边形的对角线。
4、你能说出右图中四边形的所有结构。
这个四边形可以记作 ，
四个内角分别是 ， ， ， 。
对角线是 和
边AB的对边是 ；边AD的对边是 。
5、四边形可以分为两类： 和 。（注：我们初中阶段只需掌握凸四边形)。
6、下列四边形哪些是凸四边形？哪些是凹四边形？
二、新知探究
1、概念：看课本回答：
（1） 叫做平行四边形。
（2）如图，在四边形ABCD中
则四边形ABCD是平行四边形，记作 ，读作 。
2、探究平行四边形的性质：
画一个平行四边形，量一量并猜测出平行四边形的对边 ，平行四边形的对角 。
证明你的猜测：
证明 ：连接对角线AC。
四边形ABCD是平行四边形
AB// ，即（两直线平行， ）。
又BC// ，即（两直线平行， ）
（ ）
即
你还可以通过证明与全等后说明
请根据图形同学之间相互口述说明与全等的证明过程。
归纳：平行四边形的性质有： ，
； 。
结合图形用几何语言可以表述为：
在 EFGH中，EF// ，FG// ；
EH= ， =HG；
3、自主学习：看课本，回答问题。
（1）两平行线之间的平行线段的长度 。
（2） 叫做两平行线之间的距离。
（3）两平行线之间的距离处处 。
三、课堂练习
1、 一块平行四边形的木板，其中木板的一边长为45cm，相邻的另一边长为55cm，试求这块木板的周长。
2、 在上块木板中，若
3、夹在两条平行线间的平行线段 。如图，直线，
AB、CD是 与 之间的任意两条平行线段，则AB CD
4、课堂小结
五、课堂作业
六、课后反思
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的对角线的特征
学习目标：
学习平行四边形关于对角线的性质；
重难点：
1、平行四边形关于对角线性质的推导；
2、平行四边形对角线性质的应用.。
学习过程
1、回顾
平行四边形的性质：1、角： 。
2、边： 。
二、探究新知
1、 测量猜想：如图四边形ABCD是平行四边形，请用刻度尺量一量OA、OC、OB、OD的长度，有OA= ，OC= ，OB= ，OD=
其中相等的线段有：OA与 ，OD与 。
AC与BD相等吗？ 。
AD BC，AB CD
2、验证猜想：你能说明为什么OA=OC、OB=OD。
由于四边形ABCD是平行四边形，
因此AD= ，且AD//
从而∠1=∠2，∠3=∠4.( )
所以≌ ( )
于是 OA= ，OB= ( )
3、归纳：平行四边形的对角线的交点是每条 的 ，也就是说：
平行四边形的 。
三、课堂练习
1、图在□ ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
若AC=34，OB=10，则有
OA= ，OC=
OD= ，BD=
2、 在上题的图中有几对全对的三角形？它们分别是：
与 ，与 ，与 ，与 ，
4、课堂小结
从边、角、对角线总结平行四边形的性质：
从边看_____________________________________________________________。
从角看：__________________________________________________________。
从对角线看：______________________________________________________。
五、课堂作业
1、已知，AB＝3，BC＝5，∠B＝80°，则DC＝ ，
AD＝ ，∠C＝ ，∠D＝ ，周长是 。
2、已知□ ABCD，对角线AC＝6，BO＝10，则OA＝ ，BD= 。
3、已知□ ABCD中，E、F是AD上任意两点，连接EB、BC，FB、FC，得到△EBC和△FBC，若BC＝10，高EG＝6，则S▲EBC＝ ，S▲FBC＝ 。
4、如图在□ ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，
过点O任做一直线交AB、CD分别于E、F两点。则有
（1）OE OF
（2）
5、如图过□ ABCD的顶点D、C分别做边AB的垂线，
垂足是点M、N，则有：
DM CN（比较大小）
四边形CDMN是 ，所以我可以推导出平行四边形的面积计算方法：
6、如图，在?ABCD中，已知AC、BD相交于点O，两条对角线的和为24cm,BC长为8cm，求△AOD的周长。
六、课后反思
O
A
D
C
B
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定（1）
学习目标：
1、学习平行四边形的三种判定方法；
2、能结合图形用几何语言说出平行四边形的判定过程。
重难点：
能用平行四边形的判定方法解决简单的问题。
学习过程
1、复习
1、 称为平行四边形。
2、平行四边形边的性质：（1）两组对边分别 .（从位置考虑）.
（2）两组对边分别 （从数量考虑）.
二、探究新知
1、结合图形1用定义可以说明四边形ABCD是平行四边形，
如图在四边形ABCD中
AB// ， //AD
四边形ABCD是平行四边形
由此平行四边形的定义也可以作为一个判定：
平行四边形的判定一（定义法----两组对边的位置法）：
2、请同学们思考：两组对边分别相等的四边形是平行四边形马？动动手。
用两根一样长的木条作为一组对边（AB=CD)，再用两根一样长的木条作为另一组对边(AD=BC)拼一个四边形(如图）。这个四边形是平行四边形吗？自己验证。
证明：（用定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”加以证明）
平行四边形的判定二（两组对边的数量法）：
判定格式：如图
在四边形ABCD中
AB=CD，AD=BC
四边形ABCD是平行四边形。
3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？（用以上判定方法二探究）
平行四边形的判定三（两组对角法）：
判定格式：如图
在四边形ABCD中
∠A=∠C，∠B=∠D
四边形ABCD是平行四边形。
平行四边形的判定四（对角线法）：
4、动手试一试：把两根长度不一样的木条的中点用一颗钉子固定，然后用线段顺次连接两木条的端点（即得四边形---图1）。猜一猜这个四边形是平行四边形吗？
5、验证你得猜想：如图2，AC、BD是四边形ABCD的对角线，
交点是点O，且OA=OC，OB=OD。
则四边形ABCD是平行四边形
解：由于在和中
???? ≌ ( )
AB= ( )
??????????? （ ）
AB// （ ）
四边形ABCD是 。( )
6、归纳
平行四边形的第五种判定方法：
判定格式如图， 在四边形ABCD中
OA=
=OD
四边形ABCD是平行四边形。
三、课堂小结
平行四边形的判定方法-------两组对边法：（1）
（2）
（3）
四、课堂作业
如图，在四边形ABCD中，∠B =∠D，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形。
已知：如图，把的中线AD延长至点E，使得DE=AD，连结EB、EC。
求证：四边形ABEC是平行四边形。
五、课后反思
18.1.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定（2）
学习目标：1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．
学习重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．
学习难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．
学习过程：
一、自主预习
平行四边形的判定方法有那些？
取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
1. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
已知：如图，在 中，AB=CD AB∥CD,求证： .
证明：
2.几何语言表述：∵AB=CD,AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形.
二、合作解疑
已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF
三、当堂反馈
1．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．
(A)一组对边平行，另一组对边相等 (B)一组对边平行，一组对角互补
(C)一组对角相等，一组邻角互补 (D)一组对角相等，另一组对角互补
2．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )．
(A)AD＝BC，AB∥CD (B)∠A＝∠B，∠C＝∠D
(C)AB＝BC，AD＝DC (D)AB∥CD，CD＝AB
3．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为( )．
(A)1∶2∶3∶4 (B)1∶4∶2∶3 (C)1∶2∶2∶1 (D)1∶2∶1∶2
4．如图，E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点，则图中平行四边形的个数共有( )．
(A)2个 (B)3个
(C)4个 (D)5个
5．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(－1，2)，则C点的坐标为( )．
(A)(1，－2) (B)(2，－1) (C)(1，－3) (D)(2，－3)w
6．如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( )．
(A)1条 (B)2条
(C)3条 (D)4条
18.1.2 平行四边形的判定
第3课时 三角形的中位线
【学习目标】
理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理及其应用.
【学习重点】三角形中位线定理及其应用.
【学习难点】三角形中位线定理的证明.
【学习过程】
一．课前导学：学生自学课本47-49页内容，并完成下列问题：
1. 【探究一】：请同学们思考将任意一个三角形分成四个全等的三角形，
你是如何切割的？
2. 【探究二】：三角形中位线概念
连接三角形 的线段叫做三角形的中位线.
思考：（1）三角形的中位线有几条？
（2）三角形的中位线与中线有什么区别？
（3）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
3．【探究三】：三角形中位线定理
如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．
【思考】：如保将证明DE=BC转化为证明两条线段相等，你能构造平行四边形完成本题的证明吗？相信你能行！
证明：
4．三角形中位线定理：三角形的中位线 并且 .
5．课本第49页练习T1、3
二、合作、交流、展示：
1．例1 已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
结论：顺次连结四边形 所得的四边形是 ．
2．例2：给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
（2）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接
EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；
思考：怎样发挥中点E、F的作用，另找中点将两个中点沟通起来.
三、巩固与应用
1.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m.
2．已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是 cm．
3. 如图，□ABCD的周长为36．对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点．BO=12．则△DOE的周长为 .
四、小结：（1）三角形中位线定义与定理.
（2）遇中点常构造中位线．
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
学习目标：
1、记忆矩形的定义；
2、能结合图形说出矩形的性质；
重难点：
利用矩形的性质解决一些简单的实际问题。
学习过程
一、看课本回答下列问题。
1、 叫做矩形。矩形是 的平行四边形。
2、从矩形的定义中可以发现：两层意义1 ， 2
二、探究矩形的性质
1、从矩形的意义可以探究矩形具有的性质：
矩形的对角
（1）矩形具有平行四边形具有的一切性质 矩形的对边
矩形的对角线互相
（2） 矩形是轴对称图形，有（ ）条对称轴。
（3）矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质（探究、归纳）：
①如右图：矩形ABCD的四个角都是
几何语言 ：
∵ ABCD是矩形
∴∠A =∠B=∠ =∠ =90
②如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD交于O点，你能猜出AC=BD吗？证明你的猜想。
证明：
由此矩形的对角线
几何语言 ： ∵ ABCD是矩形
∴对角线 A C =
（4）练习：结合图形1我能说出矩形的一些性质：
（1）边：AB= ，AD=
（2）角：= = = =
（3）对角线：AC= ，
OA= = = = =
（4）在图1中有 对全等的三角形，它们分别是 ；
（5）图1中有 个等腰三角形，它们分别是
三、探究直角三角形的性质
如图：矩形ABCD的一条对角线将它分成 部分， 两条对角线将它分成 部分，
有哪几种特殊的三角形？
由此推断：OA、OB、OC、OD有什么大小关系？ = = = = =
从矩形的性质可以得到：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。
几何语言: ∵BO是斜边AC上的中线
∴ B O=
四、课后作业
1、下列命题是假命题的是（ ）
A、 矩形的四个角是直角 B、矩形的对边平行且相等
C、矩形的对角线互相平分且相等 D、平行四边形的对角线互相平分且相等
五、课堂小结
6、课后反思
A
C
B
D
A
C
B
D
D
O
C
B
A
O
O
B
A
C
A
C
D
D
O
C
B
A
2、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB =60°，AB =4cm,
（1） 求矩形对角线的长？
（2） 求矩形的周长？
解：
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
学习目标：
1、学习矩形的判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力；
2、培养综合应用知识分析解决问题的能力.
重难点：掌握矩形的判定定理
学习过程：
一、复习旧知
二、探究新知
1、探究归纳矩形的判定定理，并用模式表示：
（1）你能确定有三个角是直角的四边形是矩形吗？（自己探究）。
判定定理1（从四边形矩形）：有三个角是直角的四边形是矩形。
几何语言: 在四边形ABCD中， ∵
∴
（2）我们知道矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
由此这个定义可以作为一个判定吗？
判定定理2（从平行四边形矩形）：有一个角是直角（900）的平行四边形是矩形。
几何语言: 在平行四边形ABCD中， ∵ 或 或 或
∴
（3）矩形的对角线 ，对角线相等的平行四边形是矩形吗？（证明你的回答）
证明：
判定定理3（从平行四边形矩形）：对角线相等的平行四边形是矩形。
几何语言: 在平行四边形ABCD中， ∵
∴
【归纳总结】矩形的判定方法：
1、有一个角是 的平行四边形是矩形；
2、四个角都是 的四边形是矩形；
3、对角线 的四边形是矩形。或者说，对角线 的平行四边形是矩形
三、课堂练习
思考：下列命题是否正确，正确的加以证明，不正确的通过举反例或画图加以说明
（1）有一个角是直角的四边形是矩形
（2）对角线互相平分且又相等的四边形是矩形
（3）四个角都相等的四边形是矩形
四、课堂小结
（1）证明四边形是矩形的方法：
一般先证明它是平行四边形，然后再证明一个直角或者对角线相等
（2）证明平行四边形是矩形的方法：
一般可在角上找条件，也可在对角线上找条件。
判定方法 ： 从角的条件看 、
( 种)
从对角线的条件看 。
五、课后作业
1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）．
A、测量对角线是否相互平分 B、测量两组对边是否分别相等
C、测量一组对角是否都为直角 D、测量其中三个角是否都为直角
2、如图，已知ABCD的对角线AC、BD 相交于O，△ABO是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积
6、课后反思
A
C
B
D
A
C
B
D
D
O
C
B
A
D
O
C
B
A
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
学习目标：
1、记忆菱形的定义；
2、记忆菱形的性质；
3、能区别菱形与平行四边形；
4、菱形的面积计算公式。
重难点：菱形的性质；菱形的性质的应用。
学习过程
一、自主学习
看课本P55回答下列问题：平行四边形 菱形
1、 叫做菱形。菱形是 的平行四边形。
2、从菱形的定义中可以发现：两层意义1、 ；2、
二、探究菱形的性质与面积计算
1、菱形的一般性质
（1）菱形也具有平行四边形的所有性质．
、 、 。
2、菱形的特殊性质
观察剪下来的图形是怎样的图形．实际上，学生很容易发现，剪下的一个图形是菱形．动手操作后发现：
（1）菱形是轴对称图形，有 条对称轴
对称轴就是它的对角线所在的直线（两条）．
（2）利用轴对称图形的性质可知：
性质定理1：（1）菱形的四条边都相等；
几何语言: ∵
∴
性质定理2：（2）菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角．
几何语言: ∵
∴
3、菱形被两条对角线分成四个全等的小直角三角形，
思考：你可以用哪些方法求菱形的面积？每种方法中要知道哪些条件？
得出菱形的面积计算公式：（方法一）
（方法二）
三、课堂练习
1、如图2（1）菱形是 图形，它的对称轴是 ；
（2）菱形的 互相垂直，并且每一条对角线 。
我可以结合图形2，将菱形的性质加以描述：
（1）菱形ABCD是轴对称图形，它的对称轴有 条，
是直线 ；
（2）菱形的对角线 ；
（3）在菱形ABCD中，
= = =；
= = = == ；
= = = == ；
= + = + = + =
（4）在图形2中，有 对全等的三角形，它们分别是
2、如图，在菱形ABCD中，E、 F是AB、AC的中点，，如果EF=4，那么CD的长为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
3、已知菱形 的边长为2cm， ，两条对角线AC与BD相交于O点 ，如右图，求这个菱形的对角线长和面积．
4、课后反思
18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
学习目标：
记忆菱形的三种判定方法；
重难点：菱形判定方法的应用。
学习过程
一、复习旧知
菱形的定义是什么？（一组邻边相等的 四边形是菱形）
菱形具有哪些性质呢？
性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都 ；（2）角的性质：对角 ；
（3）对角线的性质：两条对角线互相 、 ，每条对角线平分一组对角；
（4）对称性：是轴对称图形，有 条对称轴，是两条对角线所在的直线．
二、探究新知
1、菱形的四边都相等。反过来，四边都相等的四边形是菱形，对吗？
答： 简单说理：
由此得到菱形的判定定理1（从四边形菱形）：
几何语言表述:在四边形ABCD中 ∵ AB= = =
∴
2、（1）菱形的定义：一组邻边相等的 四边形是菱形
由此得到菱形的判定定理2（从平行四边形菱形）---定义法：
几何语言表述: 在□ABCD中 ∵ 或 或 或
∴
（2）教具：两根一长一短的细木条，钉子、橡皮筋．
操作：教师在两根细木条的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字，再将四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形，问：这个四边形是怎样的四边形？（答： ）．
问：将木条转成互相垂直的位置，这时这个平行四边形是怎样的平行四边形呢？为什么？
由此得到菱形判定定理3（从平行四边形菱形）---对角线法：
你能证明上面的这个判定定理3吗？
已知：平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD 求证：四边形ABCD是菱形
证明：
3、思考：下列命题是否为真命题，如果是，简单说明理由，如果不是，请画图或举反例说明你的理由。
①有一组邻边相等的四边形是菱形；②三边都相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的四边形是菱形； ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形
归纳方法
三、课堂小结
菱形的判定方法：
（1）从边的条件去考虑：①
②定义法 ．
（2）从对角线的条件去考虑：③对角线互相 ，又是平行四边形．
④对角线互相 且 ，只是四边形。
四、课堂作业
1、在平行四边形ABCD中，请你再添加一个条件 ，使得ABCD是菱形
2、如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥AB,DF∥AC,
求证:四边形AEDF是菱形
五、课后反思
C
F
D
E
A
B
D
A
G
C
H
E
B
F
3、如图：矩形ABCD中,E、F、G、H分别是各边的中点，
求证：EFGH是菱形（多种方法，看谁的方法最好）
18.2.3 正方形
第1课时 正方形的性质
学习目标：
使学生掌握正方形的概念，知道正方形具有矩形和菱形的一切性质，并会用它们进行有关的论证和计算.
学习重点：
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
学习难点：
正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
学习过程：
一、课前预习
1、________________________ ____叫做平行四边形，______________________ __ ____叫做矩形，_____________________ __叫做菱形.
2、做一做：用一张长方形的纸片怎样折出一个正方形？
【问题】什么样的四边形是正方形？
定义： 的平行四边形是正方形。
●概念中三个条件 、 、 缺一不可.
二、自主学习
正方形的性质：
正方形是特殊的 ，也是特殊的 形、 形，
所以它具有这些图形的所有性质.
正方形是轴对称图形，
它有 条对称轴。
正方形性质定理1：正方形的四个角都是 ，四条边都 。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且 ，每一条对角线平分 。
【强调】正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．
三、合作探究
例1、正方形与平行四边形共同具有的性质为（ ）
A. 对角线平分一组对角 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
例2、如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=AC，连结AE交CD于F，则∠E= .
例3、如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD、∠ AED、∠ECD的度数．
四、分层训练
1、正方形的对角线长为6，则面积为__________。
2、如右图，E为正方形ABCD边AB上的一点，已知EC=30, EB=10,
则正方形ABCD的面积为____________，对角线为________．
3、正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，
那么△ABO的周长是______，△ABO面积是_____．
4、顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积
是原正方形面积的（ ）．
A． B． C． D．
5、四条边都相等的四边形一定是（ ）。
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上结论都不对
6、如图，正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE=40°，则∠ANM=（ ）
A、40° B、45° C、50° D、55°
7、下列说法中，正确的是（ ）
A. 正方形是轴对称图形且有四条对称轴 B. 正方形的对角线是正方形的对称轴
C. 矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D. 菱形的对角线相等
8、如图，正方形ABCD的周长为15cm , 则矩形EFCG的周长是__________.
9、如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB＝＿＿＿.
10、如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠DCE的度数为______.
11、如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于E，交CD于F，求∠BEC的度数.
12、如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边向外画正方形AEDB
和正方形ACFG，连接CE，BG.求证：BG=CE.
正方形
边
（1）对边
（2）四边
（4）对角线
（3）四个角都是
互相
互相
平分一组 角
角
对角线
A
D
E
C
B
F
第9题图
第10题图
第8题图
E
F
C
B
D
A
G
C
B
E
D
A
F
18.2.3 正方形
第2课时 正方形的判定
学习目标：
理解正方形的判定方法；
重难点：利用正方形的性质及判定解决一些简单的实际问题。
学习过程
一.复习回顾
1、正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？ 正方形具有哪些性质呢？
只要矩形再有一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；
只要菱形 再有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．
2、因此我们说正方形是特殊的矩形，所以具有矩形的所有性质；
它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：
正方形性质：
（1）边的性质：对边 ，四条边都 ．
（2）角的性质：四个角都是 角．即∠A=∠B=∠ ∠ = °
= = =
（3）对角线的性质：两条对角线互相 、 且 ，每条对角线 分一组对角．
ABCD是正方形，可得OA= = =OD, AC⊥
（4）对称性：是轴对称图形，有（ ）条对称轴．而矩形、菱形都只有（ ）条对称轴.
（5）边长与对角线长的关系：
二.探究新知
3、平行四边形、菱形、矩形、正方形四者之间的关系：
（ ） （ ）
（ ） （ ）
4、怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来并和同学们交流、证明．
归纳总结出判定正方形的方法如下：
判定方法： （1）从四边形到正方形：
（2）从平行四边形到正方形：
（3）从矩形到正方形：
（4）从菱形到正方形：
三.课堂作业
1．正方形的四条边都 ，四个角都是 ，对角线 。
2．如果一个四边形是菱形，又是矩形，那么这个四边形一定是 。
5．下列命题，正确的有（ ）
①对角线相等的菱形是正方形 ②四条边都相等的四边形是正方形 ③四个角相等的四边形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形 ⑤对角线垂直且相等的四边形是正方形
A ①② B ②③ C ①④ D ③⑤
6. 已知正方形的一边长为1cm，则它的周长为____，面积为______，对角线长为_____；
7. 已知正方形的对角线长为2cm，则它的边长为_____;
8. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
9. A.四条边相等 B.对角线互相垂直且平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等
10. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
（A）四个角相等 （B）对角线互相垂直且平分
（C）对角线相等 （D）对角互补
11．1.如图，E是正方形ABCD对角线AC上的一点，求证：BE=DE
四.课后反思
菱形
正方形
平行四边形
矩形
《平行四边形》复习
【学习目标】
1．理解平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。
2．梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。
3．在回顾与思考的过程中体会特殊与一般的关系，进一步体会类比、转化等一些重要的数学思想。
【重点难点】灵活应用所学知识解决有关问题。
【教学过程】
一．知识再现
1．下列命题中，正确的是（ ）
A 平行四边形的对角线相等 B 菱形的对角线不相等
C 矩形的对角线不能相互垂直 D 平行四边形的对角线可以互相垂直
2．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对边相等 B.对角相等 C.对角互补 D.对角线平分
3．三角形三条中位线的长分别为5米，12米，13米，则原三角形的面积是_____米
4．如图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，
F为BC延长线上一点，CE=CF.
(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD.
二．梳理沟通（学生先自主学习，再合作交流；教师穿插于学生之中，及时引导，答疑解惑，参与讨论并了解学生动向．）
1．建成下列框架结构，理解各特殊四边形的联系与区别。
2．结合下表中的图形，用文字语言或符号语言写出它们的性质．
图形 性质
边 角 对角线 对称性
3．学会判定方法（让学生用符号语言再以文字语言对照比较）
平行四边形 （1）两组对边分别 ；（2）两组对边分别 ；（3）一组对 边 且 （4）两条对角线 ；（5）两组对角
矩形 （1）有三个角是 ；（2）是平行四边形，并且有一个角是 ； （3）是平行四边形，并且两条对角线 。
菱形 （1）四条边都 ；（2）是平行四边形，并且有一组 ； （3）是平行四边形，并且两条对角线 。
正方形 （1）是矩形，并且有一组邻边 ；（2）是菱形，并且有一个角是
（通过活动，让学生明白结构，熟悉图形语言、文字语言、符号语言的互相翻译与应用。）由教师演示课件，师生共述，加深理解本章的知识脉络。）
三．知识运用，拓展与创新（教师引导学生深度加工，习得悟得）
例题1:已知，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,点F,E
分别在BC和AD边上，AE=CF,EF和对角线AD交于点O，
求证：点O是BD的中点。
例题2、已知如图：在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,求证：四边形EFGH是平行四边形.
变式一：顺次链接矩形各边的中点得到的四边形是菱形。
变式二：顺次链接菱形各边的中点得到的四边形是矩形。
变式三：顺次链接正方形各边的中点得到的四边形是正方形。
变式四：顺次链接等腰梯形各边的中点得到的四边形是菱形。
变式五：若AC=BD,AC┻BD,则四边形EFGH是正方形。
变式六：在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，若AB=CD,,求证：四边形EFGH是平行四边形.
变式七：在四边形ABCD中,E是AB上的一点，△ADE与△BCE都是等边三角形，P,Q,M,N分别是AB,BC,CD,DA上的中点，求证：四边形PQMN是菱形。
四、链接中考
1．如图，是四边形的对角线上两点，．求证：（1）．
（2）四边形是平行四边形．
2．如图．矩形ABCD的对角线相交于点0．DE∥AC，
CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形；
练一练
1、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，（1）如果EF＝4cm，那么BC＝ cm；如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿cm；（2）中线AD与中位线EF的关系是
2．如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝， AB＝6㎝，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
3．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则BE的长为（ ）A．6 B．12 C．2 D．4
【及时反馈，激励评价】
1．□ABCD中, AB：BC=1：2，周长为24cm, 则AB=_____cm,BC=_____cm 。
2．如图，□ABCD中，AC．BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则
阴影部分的面积为（ ）．A．3 B．6 C．12 D．24
3．如图所示，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，
使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，
则AF等于 （ ） A. B. C. D.８
4．如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG； ②DE⊥DG
5．如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
3题图
A
D
C
B
第2题图
