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必修5. 正弦定理和余弦定理.
专项训练测试题
一、选择题
1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝
A．2 B．1 C. D.
2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c＝2a，则cos B＝
A. B. C. D.
3．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝
A. B. C. D.
4．a，b，c为△ABC三边长，a≠1，b
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，cos A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积是
A. B. C. D.
二、填空题
6．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A∶sin B∶sin C＝1∶2∶，则∠C＝________．
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________．
三、解答题
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝.
(1)求角A；
(2)若a＝，b＝3，求边c的长．
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1－cos B)tan A＝sin B.
(1)若b＝c，求B；
(2)若a＋c＝1＋，sin B＝，求△ABC的边AC上的高．
10．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
11．如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，△ACD为正三角形，则△BCD面积的最大值为
A．2＋2 B.
C.＋2 D.＋1
12．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则＝________．
14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝tan A＋tan B.
(1)求角A的大小；
(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c.
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必修5. 正弦定理和余弦定理.
专项训练测试题解析
一、选择题
1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝
A．2 B．1 C. D.
解析 由正弦定理得b＝＝＝.
答案 D
2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c＝2a，则cos B＝
A. B. C. D.
解析 ∵a，b，c成等比数列，且c＝2a，
∴b2＝ac＝2a2，∴b＝a.由余弦定理可得
cos B＝＝，故选A.
答案 A
3．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝
A. B. C. D.
解析 由题意S△ABC＝absin C＝，即sin C＝，由余弦定理可知sin C＝cos C，即tan C＝1，又C∈(0，π)，所以C＝.
答案 C
4．a，b，c为△ABC三边长，a≠1，bA．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
解析 ∵log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)alog(c－b)a，∴＋＝2，
即loga(c－b)＋loga(c＋b)＝2，∴loga(c2－b2)＝2，
∴c2－b2＝a2，即a2＋b2＝c2，
∴三角形ABC为直角三角形，故选B.
答案 B
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，cos A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积是
A. B. C. D.
解析 由sin B＝2sin C，cos A＝，
可得b＝2c，sin A＝＝，
∴由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得8＝4c2＋c2－3c2，
解得c＝2(舍负)，则b＝4.
∴S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝.故选A.
答案 A
二、填空题
6．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A∶sin B∶sin C＝1∶2∶，则∠C＝________．
解析 ∵sin A∶sin B∶sin C＝1∶2∶，由正弦定理可得：a∶b∶c＝1∶2∶，不妨取a＝1，b＝2，c＝.∴cos C＝＝＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.
答案
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________．
解析 由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理cos C＝，得－＝，解得c＝4.
答案 4
三、解答题
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝.
(1)求角A；
(2)若a＝，b＝3，求边c的长．
解析 (1)由＝及正弦定理可知，·＝，
∴cos A＝，又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得13＝9＋c2－3c，
∴c2－3c－4＝0，即(c－4)(c＋1)＝0，∴c＝4.
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1－cos B)tan A＝sin B.
(1)若b＝c，求B；
(2)若a＋c＝1＋，sin B＝，求△ABC的边AC上的高．
解析 (1)由(1－cos B)tan A＝sin B，得(1－cos B)sin A＝sin B·cos A，sin A＝cos Bsin A＋sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin C，由正弦定理得a＝c，
又b＝c，所以cos B＝＝＝，
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由得
由sin B＝，得cos B＝±，
所以S△ABC＝acsin B＝，
根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝4±3，
所以b＝1或.
设边AC上的高为h，则bh＝，h＝.
当b＝1时，h＝；当b＝时，h＝，
所以△ABC的边AC上的高为或.
10．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
解析 由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
答案 C
11．如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，△ACD为正三角形，则△BCD面积的最大值为
A．2＋2 B.
C.＋2 D.＋1
解析 在△ABC中，设∠ABC＝α，∠ACB＝β，其中，0<α<π，0<β<π，
由余弦定理得AC2＝12＋22－2×1×2cos α＝5－4cos α，
∵△ACD为正三角形，∴CD2＝5－4cos α，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC·sin β＝sin α，∴CD·sin β＝sin α，
∴(CD·cos β)2＝CD2(1－sin2β)
＝CD2－sin2α＝5－4cos α－sin2α＝(2－cos α)2，
∵β<∠BAC，∴β为锐角，CD·cos β＝2－cos α，
∴S△BCD＝×2CDsin＝CDsin
＝CD·cos β＋CD·sin β＝·(2－cos α)＋sin α＝＋sin，
当α＝时，(S△BCD)max＝＋1.故选D.
答案 D
12．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
解析 由正弦定理得
sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，解得sin A＝.
由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bccos A＝8>0，所以cos A＝，bc＝，所以三角形面积为S＝bcsin A＝××＝.
答案
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则＝________．
解析 因为＝，所以结合正弦定理得＝，即cos Asin B－2cos Csin B＝2sin Ccos B－sin Acos B，所以cos Asin B＋sin Acos B＝2cos Csin B＋2sin Ccos B，即sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，即sin C＝2sin A，所以＝＝.
答案
14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝tan A＋tan B.
(1)求角A的大小；
(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c.
解析 (1)在△ABC中，＝tan A＋tan B，
∴＝＋，
即＝，
∴＝，则tan A＝，
又0(2)由BD＝5，DC＝3，a＝7，
得cos∠BDC＝＝－，
又0<∠BDC<π，∴∠BDC＝.
又A＝，∴△ABD为等边三角形，∴c＝5.
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