17．2 一元二次方程的解法
第1课时 配方法
1．若x2＋mx＋9是一个完全平方式，则m的值是( )
A．6
B．－6
C．±6
D．以上都不对
2．用配方法解一元二次方程x2－8x＝9时，应当在方程的两边同时加上( )
A．16 B．－16
C．4 D．－4
3．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为( )
A．(x＋4)2＝17
B．(x＋4)2＝15
C．(x－4)2＝17
D．(x－4)2＝15
4．完成下列配方过程：
(1)x2＋12x＋________＝(x＋6)2；
(2)x2－12x＋________＝(x－________)2；
(3)x2－________＋＝(x－)2；
(4)x2－2 x＋________＝(x－________)2.
5.用配方法解方程x2＋10x＋16＝0.
解：移项，得________________．
两边同时加52，得________＋52＝________＋52.
左边写成完全平方的形式，得______________．
直接开平方，得________________．
解得______________．
6．用配方法解方程x2－5x＝6时，方程两边应同时( )
A．加上 B．加上
C．减去 D．减去
7．一元二次方程x2－2x－1＝0的根是( )
A．x1＝x2＝1
B．x1＝1＋，x2＝－1－
C．x1＝1＋，x2＝1－
D．x1＝－1＋，x2＝－1－
8．用配方法解方程：
(1)x2＋3x－4＝0； (2)x2－2x－3＝0；
(3)x2－4x＝1； (4)x2＋1＝3x.
9．用配方法解方程2x2－x－6＝0，开始出现错误的步骤是( )
2x2－x＝6，① x2－x＝3，②
x2－x＋＝3＋，③ (x－)2＝3.④
A．① B．② C．③ D．④
10．用配方法解下列方程：
(1)3x2－5x＝－2； (2)x2－x－4＝0.
11．用配方法解关于x的方程x2＋px＋q＝0时，此方程可变形为( )
A．(x＋)2＝
B．(x＋)2＝
C．(x－)2＝
D．(x－)2＝
12．方程x2＋2ax－b2＋a2＝0的根为__________．
第13题图
13．“数形结合”是一种很重要的数学思想，在我们的学习过程中，如果能够加以体会和利用，往往会给我们解题带来帮助．如图①～④就反映了给一个方程配方的过程．
(1)请你根据图示顺序分别用方程表示出来：
图①：____________＝21；图②：____________＝21；
图③：____________＝21＋22；
图④：____________＝25.
(2)请你运用配方法直接填空：x2－5x＋________＝(x－________)2.
(3)请你运用配方法解方程：2x2＋5x＋2＝0.
参考答案
1．C [解析] 因为x2＋mx＋9＝x2＋mx＋32，所以当m＝2×(±3)＝±6时，x2＋mx＋9是一个完全平方式．
2．A
3．C [解析] 方程变形，得x2－8x＝1，配方，得x2－8x＋16＝17，即(x－4)2＝17，故选C.
4．(1)36 (2)36 6 (3)x (4)2
5．x2＋10x＝－16 x2＋10x －16 (x＋5)2＝9
x＋5＝±3 x1＝－8，x2＝－2
6．B [解析] 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上.故答案为B.
7．C
8．解：(1)移项，得x2＋3x＝4.
配方，得x2＋3x＋()2＝4＋，
即(x＋)2＝.
开方，得x＋＝±，
即x＝－±.
∴x1＝1，x2＝－4.
(2)移项，得x2－2x＝3.
配方，得x2－2x＋1＝4，
即(x－1)2＝4.
开方，得x－1＝±2.
∴x1＝3，x2＝－1.
(3)配方，得(x－2)2＝5.
开方，得x－2＝±.
∴x1＝2＋，x2＝2－.
(4)移项，得x2－3x＝－1.
配方，得x2－3x＋＝－1＋，
即(x－)2＝.
开方，得x－＝±.
∴x1＝，x2＝.
9．C [解析] 移项，得2x2－x＝6.二次项系数化为1，得x2－x＝3.配方，得x2－x＋()2＝3＋()2，即(x－)2＝3.观察上面的步骤可知，开始出现错误的步骤是③.故选C.
10．解：(1)方程两边同除以3，得
x2－x＝－.
配方，得x2－x＋()2＝－＋()2，
即(x－)2＝.
开平方，得x－＝±.
所以x1＝1，x2＝.
(2)方程两边同乘以4，得x2－4x－16＝0.
移项，得x2－4x＝16.
配方，得(x－2)2＝20.
开平方，得x－2＝±2 .
所以x1＝2＋2 ，x2＝2－2 .
11．A
12．x1＝－a＋b，x2＝－a－b
13．解：(1)x(x＋4) x2＋4x
x2＋4x＋22 (x＋2)2
(2)()2
(3)移项，得2x2＋5x＝－2.
方程两边同除以2，得x2＋x＝－1.
方程两边同加上()2，得
x2＋x＋()2＝－1＋()2，
(x＋)2＝，
x＋＝±，
∴x1＝－，x2＝－2.
第2课时 公式法
基础题
1．利用求根公式求方程5x2＋＝6x的根时，a、b、c的值分别是( )
A．5，，6 B．5，6，
C．5，－6， D．5，－6，－
2．用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
3．解方程：
(1)x2＋1＝3x；
(2)3x2＋2x＋1＝0.
4．(淄博中考)一元二次方程x2＋2x－6＝0的根是( )
A．x1＝x2＝
B．x1＝0，x2＝－2
C．x1＝，x2＝－3
D．x1＝－，x2＝3
5．在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为____________．
6．用公式法解方程：
(1)(x－1)(1＋2x)＝2；
(2)x2－x＋1＝－3x.
7．(新疆中考)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
第7题图
综合题
8．(淄博中考)关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根．
(1)求a的最大整数值；
(2)当a取最大整数值时，
①求出该方程的根；
②求2x2－的值．
参考答案
1．C 2.D
3．(1)将原方程化为一般形式，得x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5＞0.∴x＝.∴x1＝，x2＝.(2)∵a＝3，b＝2，c＝1，∴b2－4ac＝4－4×3×1＝－8<0.∴原方程没有实数根．
4.C 5.x1＝，x2＝
6．(1)方程化为一般式，得2x2－x－3＝0，x＝，x1＝－1，x2＝.(2)方程化为一般式，得x2＋2x＋1＝0，x＝，x1＝1－，x2＝－－1.
7．设AB的长度为x米，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意，得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去．∴AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米，20米．
8．(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根，∴a－6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0.解得a≤且a≠6.∴a的最大整数值为7.(2)①当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28.∴x＝，即x＝4±.∴x1＝4＋，x2＝4－.②∵x是一元二次方程x2－8x＋9＝0的根，∴x2－8x＝－9.∴2x2－＝2x2－＝2x2－16x＋＝2(x2－8x)＋＝2×(－9)＋＝－.
第3课时 因式分解法
1．我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2，这种解法体现的数学思想是( )
A．转化思想
B．函数思想
C．数形结合思想
D．公理化思想
2．用因式分解法解一元二次方程(x＋3)(x－1)＝0，可将它转化为两个一元一次方程是( )
A．x＋3＝1，x－1＝0
B．x＋3＝0，x－1＝1
C．x＋3＝0，x－1＝0
D．x－3＝0，x＋1＝0
3．下列方程能用因式分解法求解的有( )
①x2＝x；②x2－x＋＝0；③x－x2－3＝0；④(3x＋2)2＝16.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )
A．x＝2 B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
5．一元二次方程x2－2x＝0的解是( )
A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝2，x2＝－1 D．x1＝2，x2＝－1
6．方程x(x－5)＝x的解是( )
A．x＝0 B．x＝0或x＝5
C．x＝6 D．x＝0或x＝6
7．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )
A．x＝－1 B．x＝2
C．x1＝2，x2＝1 D．x1＝2，x2＝－1
8．经计算，整式x＋1与x－4的积为x2－3x－4，则x2－3x－4＝0的根为( )
A．x1＝－1，x2＝－4
B．x1＝－1，x2＝4
C．x1＝1，x2＝4
D．x1＝1，x2＝－4
9．若代数式k2＋8k＋33的值为66，则k的值是( )
A．－3 B．－11
C．－3或－11 D．3或－11
10．当a≠0时，关于x的方程ax(x－b)－(b－x)＝0的根是( )
A．x1＝a，x2＝b
B．x1＝，x2＝b
C．x1＝－，x2＝b
D．x1＝a，x2＝－b
11．一元二次方程x(x－6)＝0的两个实数根中较大的根是________．
12．小华在解一元二次方程x(x－1)＝x时只得出一个根是x＝2，则被他漏掉的一个根是x＝________.
13．用因式分解法解下列方程：
(1)2(t－1)2＋t＝1；
(2)3x(x－2)＝2(2－x)；
(3)x2＋5x－28＝2(6x－5)；
(4)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；
(5)x2＋2(a＋1)x＋(a2＋2a＋1)＝0(a为已知数)．
14．一元二次方程x2＋2 x－6＝0的根是( )
A．x1＝x2＝
B．x1＝0，x2＝－2
C．x1＝，x2＝－3
D．x1＝－，x2＝3
15．解方程：
(1)x2－3x＋1＝0；
(2)x2＋6x－8＝0；
(3)x(2x－5)＝4x－10.
16．若分式的值为0，则x的值为( )
A．－1 B．3
C．－1或3 D．－3或1
17．在正数范围内有一种运算“※”，其规则为a※b＝a＋b2，根据这个规则，方程x※(x＋1)＝5的根是( )
A．x＝5
B．x＝1
C．x1＝－4，x2＝1
D．x1＝4，x2＝－1
18．如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为( )
A．2或－1 B．0或1 C．2 D．－1
19．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝________．
20．已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边长是方程(x2－2x)－5(x－2)＝0的根．求△ABC的周长．
21．已知x2－7xy＋12y2＝0(xy≠0)，求的值．
22．阅读下面的例题：
解方程：x2－|x|－2＝0.
解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0，
解得x＝2或x＝－1(不合题意，舍去)；
(2)当x<0时，原方程化为x2＋x－2＝0，
解得x＝－2或x＝1(不合题意，舍去)．
∴原方程的根为x＝2或x＝－2.
请参照例题解方程：x2－－1＝0.
参考答案
1．A
2．C
3．C [解析] 方程x2＝x可用提公因式法分解因式．方程x2－x＋＝0可用完全平方公式分解因式．方程(3x＋2)2＝16可用平方差公式分解因式．方程x－x2－3＝0不能用因式分解法求解．故选C.
4．D [解析] ∵(x－2)(x＋3)＝0，∴x－2＝0或x＋3＝0，即x1＝2，x2＝－3.故选D.
5．D [解析] x2－2x＝0，x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2.故选D.
6．D
7．D [解析] x(x－2)＋(x－2)＝0，
(x－2)(x＋1)＝0，
x－2＝0或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
故选D.
8．B [解析] 由题意知x2－3x－4＝0因式分解为(x＋1)(x－4)＝0，所以x＋1＝0或x－4＝0，所以x1＝－1，x2＝4.故选B.
9．D [解析] 由k2＋8k＋33＝66，得k2＋8k－33＝0，(k＋11)(k－3)＝0，k1＝－11，k2＝3.故选D.
10．C [解析] 原方程可化为ax(x－b)＋(x－b)＝0，∴(ax＋1)(x－b)＝0，∴ax＋1＝0或x－b＝0，∴x1＝－，x2＝b.故选C.
11．x＝6 [解析] 由原方程得x＝0或x－6＝0，
解得x1＝0，x2＝6，所以较大的根是x＝6.
12．0 [解析] 用因式分解法解这个方程，可知漏掉的根为x＝0.
13．[解析] (1)中的方程把右边的1移到左边后，可用提取公因式法进行分解；(2)中的方程可用提公因式法进行分解；(3)中的方程化为一般形式后，再分解因式；(4)中的方程可用平方差公式进行分解；(5)中的方程可用完全平方公式进行分解．
解：(1)移项，得2(t－1)2＋(t－1)＝0，
把方程左边分解因式，得
(t－1)[2(t－1)＋1]＝0，
整理，得(t－1)(2t－1)＝0，
∴t－1＝0或2t－1＝0，
∴原方程的根是t1＝1，t2＝.
(2)移项，得3x(x－2)－2(2－x)＝0，
把方程左边分解因式，得(3x＋2)(x－2)＝0，
∴3x＋2＝0或x－2＝0，
∴原方程的根是x1＝－，x2＝2.
(3)把方程化为一般形式，得x2－7x－18＝0，
把方程左边分解因式，得(x＋2)(x－9)＝0，
∴x＋2＝0或x－9＝0，
∴原方程的根是x1＝－2，x2＝9.
(4)原方程可化为
[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，
把方程左边分解因式，得
[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，整理，得(7x－16)(－3x＋4)＝0，
∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，
∴原方程的根是x1＝，x2＝.
(5)原方程可化为
x2＋2(a＋1)x＋(a＋1)2＝0，
把方程左边分解因式，得(x＋a＋1)2＝0，
∴x＋a＋1＝0，
∴原方程的根是x1＝x2＝－a－1.
14．C [解析] a＝1，b＝2 ，c＝－6，x＝＝－＝，∴x1＝，x2＝－3 .故选C.
15．解：(1)在方程x2－3x＋1＝0中，
a＝1，b＝－3，c＝1，
∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5＞0，
∴x＝＝＝，
即x1＝，x2＝.
(2)移项，得x2＋6x＝8.
配方，得x2＋6x＋9＝8＋9，即(x＋3)2＝17，
∴x＋3＝±，
∴x1＝－3＋，x2＝－3－.
(3)移项，得x(2x－5)－(4x－10)＝0.
分解因式，得(2x－5)(x－2)＝0，
∴2x－5＝0或x－2＝0，
即x1＝，x2＝2.
16．B [解析] ∵分式的值为0，
∴解得x＝3.故选B.
17．B [解析] 由a※b＝a＋b2，得x※(x＋1)＝x＋(x＋1)2＝5，解得x1＝－4，x2＝1.
又因为该运算是在正数范围内，所以x＝1.故选B.
18．C [解析] ∵x2－x－1＝(x＋1)0，
∴x2－x－1＝1，
即(x－2)(x＋1)＝0，
解得x1＝2，x2＝－1.
当x＝－1时，x＋1＝0，故x≠－1，
故选C.
19．－或1 [解析] 设a＋b＝x，则由原方程，得4x(4x－2)－8＝0，
整理，得(2x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－，x2＝1.
则a＋b的值是－或1.
20．解：原方程可化为x(x－2)－5(x－2)＝0，
∴(x－5)(x－2)＝0，∴x1＝5，x2＝2.
∵三角形任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边，
∴第三边的长x的取值范围是1∴x＝2，∴△ABC的周长为2＋3＋2＝7.
21．解：原方程可化为(x－3y)(x－4y)＝0，
∴x－3y＝0或x－4y＝0，
∴x＝3y或x＝4y，
∴＝3或＝4.
22．解：(1)当x－1≥0，即x≥1时，原方程化为x2－(x－1)－1＝0，
即x2－x＝0，
解得x＝1或x＝0(不合题意，舍去)；
(2)当x－1<0，即x<1时，原方程化为x2－(1－x)－1＝0，
即x2＋x－2＝0，
解得x＝－2或x＝1(不合题意，舍去)．
∴原方程的根为x＝1或x＝－2.
