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必修4. 平面向量的相关概念及线性运算.
专项训练测试题
一、选择题
1．下列说法正确的是
A．长度相等的向量叫作相等向量
B．共线向量是在同一条直线上的向量
C．零向量的长度等于0
D.∥就是所在的直线平行于所在的直线
2．下列关于向量的叙述不正确的是
A．向量的相反向量是
B．模为1的向量是单位向量
C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则＝
D．若向量a与b满足关系a＋b＝0，则a与b共线
3．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝
A．a－b B.a－b C．a＋b D.a＋b
5．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列三点一定共线的是
A．A，B，C B．A，B，D
C．B，C，D D．A，C，D
6．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
二、填空题
7．已知a，b是两个不共线的向量，＝3a－2b，＝ka＋b，若A，B，C三点共线，则k＝________．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．
9．在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．
10．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝
A. B. C. D.
11．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
12．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0，2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________．
13．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC.若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y的值为________．
14．平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若＝λ＋μ，则λμ＝________．
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必修4. 平面向量的相关概念及线性运算.
专项训练测试题解析
一、选择题
1．下列说法正确的是
A．长度相等的向量叫作相等向量
B．共线向量是在同一条直线上的向量
C．零向量的长度等于0
D.∥就是所在的直线平行于所在的直线
解析 长度相等且方向相同的向量叫作相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫作共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；当∥时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确．
答案 C
2．下列关于向量的叙述不正确的是
A．向量的相反向量是
B．模为1的向量是单位向量
C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则＝
D．若向量a与b满足关系a＋b＝0，则a与b共线
解析 A，B显然正确；对于C，如图，A，B，C，D四点满足条件，但≠，所以C不正确；对于D，由a＋b＝0，得b＝－a，由共线向量定理知，a与b共线，所以D正确．
答案 C
3．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析 因为＝a＋b，＝a－2b，所以＝＋＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以，共线．设＝λ，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，所以λ＝1，p＝－1.故选B.
答案 B
4．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝
A．a－b B.a－b C．a＋b D.a＋b
解析 连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.故选D.
答案 D
5．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列三点一定共线的是
A．A，B，C B．A，B，D
C．B，C，D D．A，C，D
解析 因为＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2，所以A，B，D三点共线．故选B.
答案 B
6．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
解析 由题意得＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
因此＋＋＝＋(＋－)
＝＋＝－，
故＋＋与反向平行．
答案 A
二、填空题
7．已知a，b是两个不共线的向量，＝3a－2b，＝ka＋b，若A，B，C三点共线，则k＝________．
解析 因为A，B，C三点共线，所以向量与共线，即存在实数λ，使＝λ，即3a－2b＝kλa＋λb.
所以，解得λ＝－2，k＝－.
答案 －
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．
解析 因为ABCD为平行四边形，所以＋＝＝2，已知＋＝λ，故λ＝2.
答案 2
9．在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．
解析 如图，因为＝，P是上一点，所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝.
答案
10．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝
A. B. C. D.
解析 如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝.故选B.
答案 B
11．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析 作∠BAC的平分线AD.
因为＝＋λ，
所以＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，所以＝·，所以∥.
所以P的轨迹一定通过△ABC的内心．故选B.
答案 B
12．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0，2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________．
解析 由条件＋＝0知＝－＝，所以点P是边AC的中点，又2＋＋＝，所以2＝－－＝＋＋＝2，从而有＝，故点Q是边AB的中点，所以PQ是与边BC平行的中位线，所以||＝||，故λ＝.
答案
13．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC.若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y的值为________．
解析 如图，延长DC，AB交于点E，因为∠DCA＝2∠BAC，所以∠BAC＝∠CEA.
又∠ABC＝90°，所以＝－.因为＝x＋y，所以＝－x＋y.因为C，D，E三点共线，所以－x＋y＝1，即x－y＝－1.
答案 －1
14．平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若＝λ＋μ，则λμ＝________．
解析 ∵＝－＝－＝－2＝3－2，∴＝λ＋3μ－2μ，
∴(1－3μ)＝(λ－2μ)，
∵与是不共线向量，∴解得∴λμ＝.
答案
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