（新版）沪科版八年级数学下册18.2勾股定理的逆定理作业设计（含答案）
文档属性
| 名称 | （新版）沪科版八年级数学下册18.2勾股定理的逆定理作业设计（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 327.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-02 21:24:52 | ||
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文档简介
18．2 勾股定理的逆定理
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A．4，5，6
B．1.5，2，2.5
C．2，3，4
D．1，，3
2．在△ABC中，已知AB＝8，BC＝15，AC＝17，则下列结论中，错误的是( )
A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边
B．△ABC是直角三角形，且∠B＝90°
C．△ABC的面积为60
D．△ABC是直角三角形，且∠A＝90°
3．如图18－2－1所示，小明家里刚铺了正方形地砖，他把其中的三个顶点A，B，C连成了三角形，则这个三角形是( )
图18－2－1
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上都不对
4.如图18－2－2，以△ABC的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3.如果S1＋S2＝S3，那么△ABC的形状是________三角形．
图18－2－2
5．若三角形的三边长分别为41，9，40，则这个三角形最大角的度数是________．
6．在下列各组数中，是勾股数的一组是( )
A．0.3，0.4，0.5
B．6，8，10
C.，，1
D．4，5，6
7．请完成以下未完成的勾股数：(1)7，________，24；(2)8，________，17.
8．请写出三组以整数为边长的直角三角形的三边长：__________；__________；__________．
9．在△ABC中，AB＝12 cm，BC＝16 cm，AC＝20 cm，则S△ABC等于( )
A．96 cm2
B．120 cm2
C．160 cm2
D．200 cm2
10．某数学兴趣小组在一次数学课外活动时测得一块三角形稻田的三边长分别为14 m，48 m，50 m，则这块稻田的面积为________．
11．如图18－2－3，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，DC＝6，CB＝24，AB＝26，则四边形ABCD的面积为________．
图18－2－3
12．如图18－2－4，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC＝12，BC＝5，BD＝.
(1)求AD的长；
(2)判断△ABC是否是直角三角形．
图18－2－4
13．如图18－2－5，正方形ABCD由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF的度数是( )
图18－2－5
A．30° B．45° C．60° D．35°
14．如图18－2－6，在4×5的网格中，A，B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C的个数为( )
图18－2－6
A．3 B．4 C．5 D．6
15.如图18－2－7所示，在一块地中，∠ADC＝90°，AD＝12 m，CD＝9 m，AB＝39 m，BC＝36 m．求这块地的面积．
图18－2－7
16.如图18－2－8所示，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC＝BC.
求证：∠EFA＝90°.
图18－2－8
17．已知△ABC的三边长分别为m2＋n2，m2－n2，2mn.
(1)当m＝2，n＝1时，△ABC是否为直角三角形？请说明理由；
(2)当m＝3，n＝2时，△ABC是否为直角三角形？请说明理由；
(3)当m，n为任意正整数时(m＞n)，你能说明△ABC为直角三角形吗？
18．夏老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n>1)的式子表示：
a＝________，b＝________，c＝________；
(2)猜想以a，b，c为三边的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想．
参考答案
1．B
2．D [解析] 由82＋152＝172，可知AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，AC为斜边，∠B＝90°，AB，BC为直角边，S△ABC＝AB·BC＝60.因此，A，B，C项均正确，D项错误．
3．A [解析] 先利用勾股定理求得这个三角形三边的长，再利用直角三角形的判别条件进行判断．
4．直角 [解析] ∵S1＋S2＝S3，S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．
5．90°
6．B [解析] 一组勾股数必须同时满足两个条件：①两个较小数的平方和等于最大数的平方；②这三个数都是正整数．符合条件的只有B项．故选B.
7．25 15
8．3，4，5 6，8，10 5，12，13
9．A [解析] 因为122＋162＝202，所以此三角形是直角三角形，故其面积＝×12×16＝96(cm2)．
10．336 m2 [解析] 首先利用勾股定理的逆定理判断出该三角形是直角三角形，然后利用面积公式进行计算(直角三角形的面积＝两条直角边乘积的一半)．
11．144 [解析] 连接AC.由勾股定理可求得AC＝10.通过计算可知：AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB是直角，分别求两个直角三角形的面积，即可得答案为144.
12．解：(1)在Rt△CDB中，CD2＝52－()2，
在Rt△CAD中，AD2＝AC2－CD2＝122－52＋()2，∴AD＝＝11.
(2)AB＝AD＋BD＝11＋＝13，
∵AB2＝132＝169，AC2＝122＝144，
BC2＝52＝25，
∴AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC是直角三角形．
13．B [解析] 连接EF.根据勾股定理可以得到AE＝EF＝，AF＝.∵()2＋()2＝()2，∴AE2＋EF2＝AF2，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝45°.
第13题答图
14．D [解析] 如图，根据勾股定理知AB2＝12＋32＝10.∵12＋32＝10，()2＋(2 )2＝10，()2＋()2＝10，∴符合条件的点C有6个．故选D.
第14题答图
15．[解析] 连接AC，由∠ADC＝90°，根据勾股定理可求出AC，再由勾股定理的逆定理判断出∠ACB＝90°，从而求出面积．
解：连接AC，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＝AD2＋DC2，
即AC2＝122＋92＝225，
∴AC＝15.
在△ABC中，AC2＋BC2＝152＋362＝392，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴S＝S△ABC－S△ADC
＝×15×36－×12×9
＝216(m2)．
∴这块地的面积为216 m2.
16．[解析] 要证明∠EFA＝90°，在所学的现有知识的基础上，设法证明AF2＋EF2＝AE2成立，这里设CE＝k，用k表示出AE2，EF2，AF2，再判断即可．
证明：设EC＝k，
∴BC＝4EC＝4k，BE＝3k，AD＝DC＝4k.
∵F是DC的中点，
∴DF＝FC＝2k，
∴AE2＝AB2＋BE2＝(4k)2＋(3k)2＝25k2，
AF2＝DA2＋DF2＝(4k)2＋(2k)2＝20k2，
EF2＝CF2＋EC2＝(2k)2＋k2＝5k2.
∴AF2＋EF2＝AE2，
∴△AEF是直角三角形，
∴∠EFA＝90°.
17．解：(1)△ABC是直角三角形．
理由：∵当m＝2，n＝1时，
(m2＋n2)2＝25，
(m2－n2)2＝9，
(2mn)2＝16，
∴(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2，
∴△ABC是直角三角形．
(2)△ABC是直角三角形．理由：当m＝3，n＝2时，仍有(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2，
∴△ABC是直角三角形．
(3)∵(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4＋n4＋2m2n2＝(m2＋n2)2，
∴当m，n为任意正整数时(m＞n)，△ABC都是直角三角形．
18．解：(1)观察表格可知：
a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1.
(2)猜想：以a，b，c为三边的三角形是直角三角形．
证明：∵(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1，
(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，
∴a2＋b2＝c2，
∴以a，b，c为三边的三角形是直角三角形．
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A．4，5，6
B．1.5，2，2.5
C．2，3，4
D．1，，3
2．在△ABC中，已知AB＝8，BC＝15，AC＝17，则下列结论中，错误的是( )
A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边
B．△ABC是直角三角形，且∠B＝90°
C．△ABC的面积为60
D．△ABC是直角三角形，且∠A＝90°
3．如图18－2－1所示，小明家里刚铺了正方形地砖，他把其中的三个顶点A，B，C连成了三角形，则这个三角形是( )
图18－2－1
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上都不对
4.如图18－2－2，以△ABC的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3.如果S1＋S2＝S3，那么△ABC的形状是________三角形．
图18－2－2
5．若三角形的三边长分别为41，9，40，则这个三角形最大角的度数是________．
6．在下列各组数中，是勾股数的一组是( )
A．0.3，0.4，0.5
B．6，8，10
C.，，1
D．4，5，6
7．请完成以下未完成的勾股数：(1)7，________，24；(2)8，________，17.
8．请写出三组以整数为边长的直角三角形的三边长：__________；__________；__________．
9．在△ABC中，AB＝12 cm，BC＝16 cm，AC＝20 cm，则S△ABC等于( )
A．96 cm2
B．120 cm2
C．160 cm2
D．200 cm2
10．某数学兴趣小组在一次数学课外活动时测得一块三角形稻田的三边长分别为14 m，48 m，50 m，则这块稻田的面积为________．
11．如图18－2－3，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，DC＝6，CB＝24，AB＝26，则四边形ABCD的面积为________．
图18－2－3
12．如图18－2－4，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC＝12，BC＝5，BD＝.
(1)求AD的长；
(2)判断△ABC是否是直角三角形．
图18－2－4
13．如图18－2－5，正方形ABCD由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF的度数是( )
图18－2－5
A．30° B．45° C．60° D．35°
14．如图18－2－6，在4×5的网格中，A，B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C的个数为( )
图18－2－6
A．3 B．4 C．5 D．6
15.如图18－2－7所示，在一块地中，∠ADC＝90°，AD＝12 m，CD＝9 m，AB＝39 m，BC＝36 m．求这块地的面积．
图18－2－7
16.如图18－2－8所示，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC＝BC.
求证：∠EFA＝90°.
图18－2－8
17．已知△ABC的三边长分别为m2＋n2，m2－n2，2mn.
(1)当m＝2，n＝1时，△ABC是否为直角三角形？请说明理由；
(2)当m＝3，n＝2时，△ABC是否为直角三角形？请说明理由；
(3)当m，n为任意正整数时(m＞n)，你能说明△ABC为直角三角形吗？
18．夏老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n>1)的式子表示：
a＝________，b＝________，c＝________；
(2)猜想以a，b，c为三边的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想．
参考答案
1．B
2．D [解析] 由82＋152＝172，可知AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，AC为斜边，∠B＝90°，AB，BC为直角边，S△ABC＝AB·BC＝60.因此，A，B，C项均正确，D项错误．
3．A [解析] 先利用勾股定理求得这个三角形三边的长，再利用直角三角形的判别条件进行判断．
4．直角 [解析] ∵S1＋S2＝S3，S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．
5．90°
6．B [解析] 一组勾股数必须同时满足两个条件：①两个较小数的平方和等于最大数的平方；②这三个数都是正整数．符合条件的只有B项．故选B.
7．25 15
8．3，4，5 6，8，10 5，12，13
9．A [解析] 因为122＋162＝202，所以此三角形是直角三角形，故其面积＝×12×16＝96(cm2)．
10．336 m2 [解析] 首先利用勾股定理的逆定理判断出该三角形是直角三角形，然后利用面积公式进行计算(直角三角形的面积＝两条直角边乘积的一半)．
11．144 [解析] 连接AC.由勾股定理可求得AC＝10.通过计算可知：AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB是直角，分别求两个直角三角形的面积，即可得答案为144.
12．解：(1)在Rt△CDB中，CD2＝52－()2，
在Rt△CAD中，AD2＝AC2－CD2＝122－52＋()2，∴AD＝＝11.
(2)AB＝AD＋BD＝11＋＝13，
∵AB2＝132＝169，AC2＝122＝144，
BC2＝52＝25，
∴AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC是直角三角形．
13．B [解析] 连接EF.根据勾股定理可以得到AE＝EF＝，AF＝.∵()2＋()2＝()2，∴AE2＋EF2＝AF2，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝45°.
第13题答图
14．D [解析] 如图，根据勾股定理知AB2＝12＋32＝10.∵12＋32＝10，()2＋(2 )2＝10，()2＋()2＝10，∴符合条件的点C有6个．故选D.
第14题答图
15．[解析] 连接AC，由∠ADC＝90°，根据勾股定理可求出AC，再由勾股定理的逆定理判断出∠ACB＝90°，从而求出面积．
解：连接AC，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＝AD2＋DC2，
即AC2＝122＋92＝225，
∴AC＝15.
在△ABC中，AC2＋BC2＝152＋362＝392，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴S＝S△ABC－S△ADC
＝×15×36－×12×9
＝216(m2)．
∴这块地的面积为216 m2.
16．[解析] 要证明∠EFA＝90°，在所学的现有知识的基础上，设法证明AF2＋EF2＝AE2成立，这里设CE＝k，用k表示出AE2，EF2，AF2，再判断即可．
证明：设EC＝k，
∴BC＝4EC＝4k，BE＝3k，AD＝DC＝4k.
∵F是DC的中点，
∴DF＝FC＝2k，
∴AE2＝AB2＋BE2＝(4k)2＋(3k)2＝25k2，
AF2＝DA2＋DF2＝(4k)2＋(2k)2＝20k2，
EF2＝CF2＋EC2＝(2k)2＋k2＝5k2.
∴AF2＋EF2＝AE2，
∴△AEF是直角三角形，
∴∠EFA＝90°.
17．解：(1)△ABC是直角三角形．
理由：∵当m＝2，n＝1时，
(m2＋n2)2＝25，
(m2－n2)2＝9，
(2mn)2＝16，
∴(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2，
∴△ABC是直角三角形．
(2)△ABC是直角三角形．理由：当m＝3，n＝2时，仍有(m2－n2)2＋(2mn)2＝(m2＋n2)2，
∴△ABC是直角三角形．
(3)∵(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4＋n4＋2m2n2＝(m2＋n2)2，
∴当m，n为任意正整数时(m＞n)，△ABC都是直角三角形．
18．解：(1)观察表格可知：
a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1.
(2)猜想：以a，b，c为三边的三角形是直角三角形．
证明：∵(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1，
(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，
∴a2＋b2＝c2，
∴以a，b，c为三边的三角形是直角三角形．