高中数学人教新课标A版选修3-1第六讲近代数学两巨星一 分析的化身(共32张PPT)

(共32张PPT)
第6讲 近代数学两巨星
——欧拉与高斯
17世纪中叶，在牛顿和莱布尼茨的努力下，微积分诞生了，数学历史由此掀开了崭新的一页.在整个18世纪，众多数学家以极大的热情投身于微积分的研究工作，使得微积分很快朝着严密化迈进，并以此为核心发展成为一个新的数学领域——数学分析.

在为微积分的发展做出杰出贡献的数学家中，被誉为“数学英雄”的瑞士数学家欧拉是其中的佼佼者.18世纪，欧拉是欧洲数学界的灵魂人物，他是继牛顿之后最伟大的数学家之一.
欧拉(L.Euler，1707～1783)，瑞士数学家及自然科学家.有“数学英雄”的美称.
【知识与能力】
　　
了解欧拉的一生.
能够熟悉欧拉的数学贡献.
了解世人对欧拉的评价.　　
【过程与方法】
　　
联系学过的知识，对欧拉的数学贡献有更深的了解.　
【情感态度与价值观】
　　
通过对本课的学习，使学生们学习欧拉坚韧不拔的意志、百折不饶的精神.
重点
　　能够熟悉欧拉的丰功伟绩，了解“哥尼斯堡七桥”问题.
难点
　 欧拉的丰功伟绩，以及对“哥尼斯堡七桥”问题的讲述.
1707年4月15日欧拉出生在瑞士的巴塞尔，1783年9月18日在俄国的彼得堡去逝.
传奇的小故事
欧拉小时候时，父亲决定建造一个羊圈.他用尺量出了一块长40米，宽15米的长方形土地，正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆.父亲感到很为难，小欧拉却想出了办法，他将原来的40米边长缩短到25米，又将原来的15米增加到25米.这样篱笆能全部用光，面积还比以前稍稍大了些.
欧拉出生在牧师家庭.13岁时读入巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁时又获得哲学硕士学位.欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学.在上大学时，他已受到约翰·伯努利的特别指导，专心研究数学.18岁时，他彻底的放弃了当牧师的想法而专攻数学，并开始发表文章.1725年，欧拉开始了他的数学生涯.
数学生涯的开始
欧拉的奋斗历程
1726年，欧拉受聘于圣彼得堡科学院，在那的头14年里，欧拉在分析学、数论、力学等领域作出了辉煌的成果.由于劳累过度，欧拉在1738年的一场疾病后右目失明，但没有击垮顽强的欧拉，他仍然一如既往地、全身心地投入到数学研究中.
1741年，欧拉到德国科学院担任物理数学所所长一职，长达25年.他在柏林期间的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等等，这些工作与他的数学研究互相推动着.与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创性的发现.
欧拉在1766年携家人回到阔别25年的俄国.1771年，欧拉双眼完全失明；是年，他的住所和财产都在一场大火后荡然无存；两年后，欧拉的夫人辞世.尽管遭受一系列不幸的沉重打击，但他以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作.他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的最后一刻.
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，可以说，18世纪是欧拉的世纪.他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.
数学分析
在欧拉所有的数学工作中，首屈一指的应是对分析学的研究.
欧拉的三本书《无穷分析引论》（1748），《微分学》（1755）和《积分学》（共三卷，1768——1770）成为微积分发展史上里程碑式的著作.三部著作在很长时间里被作为分析课本的典范而普遍使用，并被当时欧洲的微积分学习者奉为经典.欧拉在这些著作中详尽系统的解说了当时的微积分方法.
他在《无穷分析引论》中给出了著名的极限:
其中e为自然对数的底.
在《微分学》一书中，欧拉给出了大量初等函数的微分.
鉴于欧拉为分析的发展做出的卓越贡献，人们将他誉为“分析的化身”.
函数概念
“函数概念是近代数学思想之花”，那么函数的概念是怎样产生和发展的呢?
17世纪是从常量数学进入变量数学的过渡时期，笛卡儿发明的解析几何是函数概念新发展的标志.
1748年，在《无穷分析引论》中，欧拉彻底地研究了函数概念，提出了自己的函数概念：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式构成的解析表达式”.
1755年，欧拉在《微积分原理》中再一次扩张了他的函数概念：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，则将前面的变量称为后面变量的函数.”这个函数概念体现了“自变”到“因变”的过程，被认为是科学的函数概念的雏形.
“哥尼斯堡七桥”问题
东普鲁士的首府哥尼斯堡是一个风景宜人的旅游胜地，城中有一条河叫做布勒格尔河，该河横贯城区.它有两条支流，分别称为新河和旧河，两条支流在城中心汇合，成为一条主流（大河）.在新旧两河交汇处有一个岛，这是繁华的商业中心.这种分布，把全城分为北、东、南及中央岛四个区域，这四个区域分别由七座桥相连.
问:能否不重复地走遍这七座桥？
把这个问题转化为数学问题就是 :
把东、南、北及中央岛四区看成四个点，连接它们的七座桥看成七条通路，以B代表岛区，A，C，D分别代表北、南、东三区，如图所示,现在问题可以叙述为： A， B ，C，D这四个点中的任一点为起点，能否不重复地用一笔将上面的图形画出来.
如果起点和终点是同一个点，那么从这点出发的路线条数与回来的路线条数是一样多的，而且这些通路又不能重复使用，因此与此点相连的通路有偶数条.同样，中间经过的点进去和出来的通路也应该是偶数条,具有这种性质的点称为偶点.如果起点与终点不相同，连接这两个点的通路应该是奇数条，这样的点称为奇点.
欧拉的思想：
如果一个图能不重复地一笔画成，那么它必须具有的奇点数或者是0，或者是2.这是因为中间点都是偶点，只有起点和终点才可能是奇点.由于哥尼斯堡数学抽象图的四个顶点A， B ，C，D都是奇点，因此一笔画是不可能的.
欧拉对“哥尼斯堡七桥”问题的深入研究，产生了一门新的学科——图论.
欧拉示性数
欧拉列出多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E和F表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下的关系： V-E+F=2.
欧拉给出了这条性质的证明，用此性质来给多面体分类.欧拉示性数V-E+F=2是现代拓扑学的主要不变量之一.
数学符号
用i表示虚数单位；用e代表自然对数的底;用△x…表示有限差分;用Σ表示求和；用f(x)表示函数；现代的三角函数符号、 π也是欧拉最早使用的.这些符号一直沿用至今.
在欧拉的三部专著《无穷分析论》、《微分学》以及《积分学》中，他引入了许多简单明了的符号：
欧拉的研究范围涵盖了当时的大量学科.比如数论、代数、无穷级数、单复变函数、分析学、微分方程、变分法、微分几何、图论以及拓扑学等等.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中都以他名字来命名的重要常数、公式和定理.
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年.
鉴于欧拉坚忍不拔的意志、孜孜不倦的精神以及无与伦比的数学贡献，数学史家把阿基米德、牛顿、欧拉和高斯并称为“数学四杰”.由于欧拉身残志坚、百折不饶的精神，数学家纽曼（J.R.Newman）称欧拉为“数学英雄”.
欧拉简介:
1707年欧拉生于瑞士巴塞尔.
1720年（13岁）入读巴塞尔大学，师从微积分权威约翰·伯努利.
1722年（15岁）大学毕业，获得学士学位.
1723年（16岁）获得巴赛尔大学的哲学硕士学位 .
1738年积劳成疾，右眼失明.
1741年受聘于柏林科学院.
1766年携家人回到阔别25年的俄国 .
1771年双目失明，住所发生火灾，财产、手稿付之一炬 .
1773年妻子去世.
1783年逝于俄国.
1726年（19岁）受聘于圣彼得堡科学院（工作14年）.
在微积分方面，写了《无穷分析引论》、《微分论》和《积分学》三部专著，还引入了许多简单明了的符号.
欧拉的成就:
在数学方面，引进函数定义.
解决了哥尼斯堡七桥问题，从而创立了图论.
初等几何中：三角形中的欧拉线、欧拉圆、多面体欧拉公式等.
世人对欧拉的评价:
鉴于欧拉坚忍不拔的意志、孜孜不倦的精神以及无与伦比的数学贡献，数学史家把阿基米德、牛顿、欧拉和高斯并称为“数学四杰”.由于欧拉身残志坚、百折不饶的精神，数学家纽曼（J.R.Newman）称欧拉为“数学英雄”.