（新版）沪科版八年级数学下册：16.2二次根式的运算教案（共2课时）
文档属性
| 名称 | （新版）沪科版八年级数学下册：16.2二次根式的运算教案（共2课时） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 483.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-03 10:19:03 | ||
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文档简介
16.2 二次根式的运算
第1课时 二次根式的乘法
学习目标 1.掌握二次根式乘法法则，能熟练应用它进行二次根式乘法运算。 2.会逆用二次根式乘法法则，熟练地将二次根式化简。
重点难点 重点: 运用，=·（a≥0，b≥0）进行计算。难点:经历二次根式的乘法法则的探究过程。
课标解读 会计算二次根式的乘法，会用法则进行简单计算。
课前准备 让学生提前预习，写出数1-20的平方数。
学习环节 学习内容 讨论记录
导入新课 1.填空。 （1）×=_______，=______； （2）×=_______，=________． （3）×=________，=_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空。 × ， ×___，×_ _。
师生共同活动． 设计意图
探究学习 1.学生计算后观察上式及其运算结果，看看其中有什么规律？ 2.概括：． （二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变） 将上面的公式逆向运用可得： （积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积） 计算：× ；（2）× ；（3）。4.化简： （1） ；（2） ； （3）。
交流展示 先让学生在小组中讨论发现规律，再让3、4个同学上台总结规律． 先分小组（根据法则）完成计算然后展示．
点拨释疑 1.老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘积等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 ·＝．（a≥0，b≥0）反过来: =·（a≥0，b≥0） 2.形如：.
当堂检测 1.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）；（2）×=4××=4×=4=8.2.计算：（1） ； （2） ； （3）. 3.化简：（1） ； （2） ； （3） .
小结 本节课应掌握：·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及其运用．
作业 1.课内练习 2.预习下节要讲内容
板书设计
教学反思
第2课时 二次根式的除法
学习目标
1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式.(重点、难点)
2．掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算.(重点、难点)
3．掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用．(重点)
教学过程
一、情境导入
计算下列各题，观察有什么规律？
(1)＝________；＝________．
(2)＝________；＝________．
________；________ .
二、合作探究
探究点一：二次根式的除法
计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)÷(－)(a＞0，b>0)．
解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；
(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．
解：(1)＝＝＝；
(2)＝＝＝；
(3)＝＝＝；
(4)÷(－)
＝×(－)＝－＝－.
方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式．
探究点二：最简二次根式
下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
解析：A选项中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B选项是最简二次根式；C选项中含有分母，不是最简二次根式；D选项中被开方数用提公因式法因式分解后得a2＋a2b＝a2(1＋b)含能开得尽方的因数a2，不是最简二次根式．故选B.
方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
探究点三：商的算术平方根的性质
【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值
若＝，则a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a≤2 C．0≤a＜2 D．a≥0
解析：根据题意得解得0≤a＜2.故选C.
方法总结：运用商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．
【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式
化简：
(1)；
(2)(a＞0，b＞0，c＞0)．
解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．
解：(1)＝＝＝；
(2)＝＝.
方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．
探究点四：二次根式除法的应用
已知某长方体的体积为30 cm3，长为 cm，宽为 cm，求长方体的高．
解析：因为“长方体的体积＝长×宽×高”，所以“高＝长方体的体积÷(长×宽)”，代入计算即可．
解：长方体的高为30÷(×)＝30＝30＝(cm)．
方法总结：本题也可以设高为x，根据长方体的体积公式建立方程求解．
教学反思
二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率。
第3课时 二次根式的加减
课 题 第3课时 二次根式的加减
教学 目标 1.会进行二次根式的四则混合运算. 2.会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.
教学重难点 重点：二次根式的四则混合运算. 难点：体验和掌握迁移、转化等数学思想与方法.
教材分析 与教学方法 教材通过一个问题来介绍：二次根式进行简单四则混合运算的方法与步骤，学习中应注意对实例运算规律的总结，从中概况出：可以合并的项的特征是所含的二次根式完全相同，合并的方法与多项式中合并同类项的方法一样。
导 学 内 容 1.复习旧知：二次根式有哪些性质？ 性质1：（）2 = 性质2： = . 性质3： 如果 a≥0,b≥0, 则有= . 性质4： 如果a≥0,b＞0,则有 .2.阅读教材 3.尝试做教材练习题.
探 究 归 纳 化简下列二次根式：= 3= = == 问题：通过化简所得结果你发现了什么？ 同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.如、3 、 、 、化成最简二次根式以后所得结果中都是与一个有理数的乘积，所以它们就是同类二次根式.注意： 在进行二次根式相加减时，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法与合并同类项类似。 在同类二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用。
例 题 讲 解
巩 固 提 高 课 堂 小 结 1. 下列根式中,哪些是最简二次根式? , , , . 2.计算: (1) ； (2) ； ( 3)； (4) (.3.化简: (1) ； (2) . 二次根式加减法的步骤： （1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。 作业： 课后练习及习题
教 学 反 思
第1课时 二次根式的乘法
学习目标 1.掌握二次根式乘法法则，能熟练应用它进行二次根式乘法运算。 2.会逆用二次根式乘法法则，熟练地将二次根式化简。
重点难点 重点: 运用，=·（a≥0，b≥0）进行计算。难点:经历二次根式的乘法法则的探究过程。
课标解读 会计算二次根式的乘法，会用法则进行简单计算。
课前准备 让学生提前预习，写出数1-20的平方数。
学习环节 学习内容 讨论记录
导入新课 1.填空。 （1）×=_______，=______； （2）×=_______，=________． （3）×=________，=_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空。 × ， ×___，×_ _。
师生共同活动． 设计意图
探究学习 1.学生计算后观察上式及其运算结果，看看其中有什么规律？ 2.概括：． （二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变） 将上面的公式逆向运用可得： （积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积） 计算：× ；（2）× ；（3）。4.化简： （1） ；（2） ； （3）。
交流展示 先让学生在小组中讨论发现规律，再让3、4个同学上台总结规律． 先分小组（根据法则）完成计算然后展示．
点拨释疑 1.老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘积等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 ·＝．（a≥0，b≥0）反过来: =·（a≥0，b≥0） 2.形如：.
当堂检测 1.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）；（2）×=4××=4×=4=8.2.计算：（1） ； （2） ； （3）. 3.化简：（1） ； （2） ； （3） .
小结 本节课应掌握：·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及其运用．
作业 1.课内练习 2.预习下节要讲内容
板书设计
教学反思
第2课时 二次根式的除法
学习目标
1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式.(重点、难点)
2．掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算.(重点、难点)
3．掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用．(重点)
教学过程
一、情境导入
计算下列各题，观察有什么规律？
(1)＝________；＝________．
(2)＝________；＝________．
________；________ .
二、合作探究
探究点一：二次根式的除法
计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)÷(－)(a＞0，b>0)．
解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；
(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．
解：(1)＝＝＝；
(2)＝＝＝；
(3)＝＝＝；
(4)÷(－)
＝×(－)＝－＝－.
方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式．
探究点二：最简二次根式
下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
解析：A选项中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B选项是最简二次根式；C选项中含有分母，不是最简二次根式；D选项中被开方数用提公因式法因式分解后得a2＋a2b＝a2(1＋b)含能开得尽方的因数a2，不是最简二次根式．故选B.
方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
探究点三：商的算术平方根的性质
【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值
若＝，则a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a≤2 C．0≤a＜2 D．a≥0
解析：根据题意得解得0≤a＜2.故选C.
方法总结：运用商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．
【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式
化简：
(1)；
(2)(a＞0，b＞0，c＞0)．
解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．
解：(1)＝＝＝；
(2)＝＝.
方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．
探究点四：二次根式除法的应用
已知某长方体的体积为30 cm3，长为 cm，宽为 cm，求长方体的高．
解析：因为“长方体的体积＝长×宽×高”，所以“高＝长方体的体积÷(长×宽)”，代入计算即可．
解：长方体的高为30÷(×)＝30＝30＝(cm)．
方法总结：本题也可以设高为x，根据长方体的体积公式建立方程求解．
教学反思
二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率。
第3课时 二次根式的加减
课 题 第3课时 二次根式的加减
教学 目标 1.会进行二次根式的四则混合运算. 2.会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.
教学重难点 重点：二次根式的四则混合运算. 难点：体验和掌握迁移、转化等数学思想与方法.
教材分析 与教学方法 教材通过一个问题来介绍：二次根式进行简单四则混合运算的方法与步骤，学习中应注意对实例运算规律的总结，从中概况出：可以合并的项的特征是所含的二次根式完全相同，合并的方法与多项式中合并同类项的方法一样。
导 学 内 容 1.复习旧知：二次根式有哪些性质？ 性质1：（）2 = 性质2： = . 性质3： 如果 a≥0,b≥0, 则有= . 性质4： 如果a≥0,b＞0,则有 .2.阅读教材 3.尝试做教材练习题.
探 究 归 纳 化简下列二次根式：= 3= = == 问题：通过化简所得结果你发现了什么？ 同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.如、3 、 、 、化成最简二次根式以后所得结果中都是与一个有理数的乘积，所以它们就是同类二次根式.注意： 在进行二次根式相加减时，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法与合并同类项类似。 在同类二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用。
例 题 讲 解
巩 固 提 高 课 堂 小 结 1. 下列根式中,哪些是最简二次根式? , , , . 2.计算: (1) ； (2) ； ( 3)； (4) (.3.化简: (1) ； (2) . 二次根式加减法的步骤： （1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。 作业： 课后练习及习题
教 学 反 思