高中数学人教新课标A版选修3-1第七讲　千古谜题四 古希腊三大几何问题的解决(共31张PPT)

(共31张PPT)
第七讲 千古谜题
—伽罗瓦的解答
伽罗瓦彻底解决了高次方程可解性 的判别准则.
伽罗瓦才华横溢，但是他的一生却是怀才不遇.
伽罗瓦提出了“群”的概念.
对伽罗瓦一生的评价.
历史留声机
2000多年来，古希腊三大尺规作图的几何问题始终困绕着数学家：
Ⅰ. 三等分任意角

Ⅱ.倍立方

Ⅲ.化圆为方

------把一个已知角三等分

------作一个立方体，使它的体积
是已知立方体的体积的2 倍
------作一个正方形，使它的面
积等于已知圆的面积
2. 尺规作图要求非常苛刻 .
1. 表述很简单、直观 .
2000多年来，古希腊三大尺规作图问题
（1）三等分任意角 （2）倍立方 （3）化圆为方
四. 古希腊三大几何问题的解决
明确古希腊三大几何问题的特点.
了解三大几何问题的由来.
熟悉数学家解决三大几何问题的努力.
通过历史背景了解三大几何问题的特点.
以故事形式讲解几何问题的由来.
古希腊三大几何问题由来已久，数学家们为解决此问题作出了努力.我们要学习他们的刻苦精神 .
三大几何问题的由来及数学家们的努力.
理解解决三大几何问题的难点.
1.三大几何问题的由来
古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难. 问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵 .并且这三大几何问题的由来都伴随着一个故事.
圆和正方形问题很容易使人联想到可否做一个正方形与已知的圆面积相等，这就是化圆为方问题.其实质是求作一个正方形，使其面积和半径为 1 的圆面积相等.
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行. 人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力. 这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题.
相传公元前5世纪，安拉客萨歌拉对别人说：“太阳并非一尊神，而是一个非常大非常大的大火球.”结果被他的仇人以亵渎神灵的罪名给关在牢里.也许是为了打发无聊的铁窗生活，抑或是为了发泄一下自己不满的情绪，于是他提出了一个数学问题：“怎样做出一个正方形，才能使它的面积与某一个已知圆的面积相等呢？”
古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难. 它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺.经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是“不可能用尺规完成的作图题” .这是数学思想的一大飞跃 .
2.解决三大几何问题的早期努力
古希腊几何三大问题直到十九世纪才证明是无解的. 所谓无解是数学家能够证明这些作图问题是办不到的.早期的数学家也对三大几何问题进行了探究.
公元前5世纪下半叶
希波克拉底
化月牙形为方
巧辨派的代表人物安蒂丰
古希腊穷竭法的始祖
化圆为方
倍立方问题
圆锥曲线
柏拉图学派
此外，为了解决三大几何问题，古希腊人还利用多种其他曲线.
巧辩学派为了等分任意角发明了“割圆曲线” .
2000多年来，三大几何问题因其独特的魅力吸引了无数数学家投入其中，虽屡战屡败仍前赴后继 .西方文艺复兴时期的大师们都曾倾注于此，但最终没能解决 .
3.三大几何问题的最后解决
1837年，法国数学家旺策尔给出了三等分任意角及倍立方不可等用尺规作图的证明.

1882年，德国数学家证明了化圆为方的不可能性.
19世纪中叶，数学家证实三大几何问题是不可解的 .

之前，三大几何问题不能解决，不是因为数学家不够睿智，而是因为当时条件的限制 .
在伽罗瓦建立群论之后，把伽罗瓦理论应用到倍立方及三等分角时也很奏效.
伽罗瓦的理论不仅完全回答了哪些方程可以用代数运算求解，而且给出了一般的判别法.
古希腊三大几何问题
（1）三等分任意角 （2）倍立方 （3）化圆为方
希腊三大几何问题的由来.
数学家解决三大几何问题的早期努力.
三大几何问题最后得到了解决.
倍立方
古希腊三大几何问题是指：化圆为方，三等分角和 .
1.你对群的思想有哪些认识？
分析：
解：群具有封闭性，结合性，存在单位元，存在逆元.
2.什么是古希腊三大几何作图问题？它们与高次方程式可解性有怎样的联系？
解：三大几何问题为：倍立方﹑三等分角﹑化圆为方.
利用高次方程的可解性可以判别三大几何实际上是不可解的.