19.3.1矩形
一、选择题：
1.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A.AB=BC B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠1=∠2
第1题图
2.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A.①②③ B.②③④ C.②⑤⑥ D.④⑤⑥
第2题图
3.在□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是( )
A.AB=AD B.OA=OB C.AC=BD D.DC⊥BC
4.下列关于矩形的说法，正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.矩形的对角线互相垂直且平分
D.矩形的对角线相等且互相平分
5.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )
A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=DC
第5题图
6.如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是( )
A.2 B.3 C.4 D.4
第6题图
二、填空题：
7.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__________度时，四边形ABFE为矩形.
第7题图
8.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__________(添加一个条件即可).
第8题图
三、解答题：
9.如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE，求证:四边形BCDE是矩形.
第9题图
10.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE.
第10题图
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.D
5.C
6.A
7.60
8.答案不唯一，如：∠ABC=90°或AC=BD
9.证明：∵AC＝AB，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD-∠CAB＝∠CAE-∠CAB，即∠CAD=∠BAE.
∴△ADC≌△AEB（SAS）.
∴DC＝BE.
又∵DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形.
连接BD，CE.
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD＝CE.
∴四边形BCDE是矩形.
10.(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA=OC.
∵AE=CF，∴OE=OF.
∵DF∥BE，∴∠OEB=∠OFD.
又∵∠EOB=∠FOD，
∴△BOE≌△DOF.
(2)∵△BOE≌△DOF，∴OD=OB.
∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵OD=AC，OD=BD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
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19.3.2菱形
一、选择题：
1.如图，四边形ABCD内有一点E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，若∠C=100°，则∠AED的大小是( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
第1题图
2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的条件是( )
A.AB＝BC B.AC＝BC C.∠B＝60° D.∠ACB＝60°
第2题图
3.如图，在给定的一张平行四边形纸片上做一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，做AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形.
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形.
根据两人的作法可判断( )
第3题图
A.甲正确，乙错误 B.乙正确，甲错误
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
二、填空题：
4.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是__________，学校的一块菱形花圃两对角线的长分别是6 m和8 m，则这个花圃的面积为__________.
第4题图
5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是____________________(写出一个即可).
第5题图
6.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=______.
第6题图
7.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__________(填序号).
第7题图
三、解答题：
8.在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD=BC，求证：四边形EFGH是菱形.
9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC.
第9题图
(1)求证：∠1=∠2；
(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由.
10.如图，在三角形ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形.
第10题图
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.菱形 24 m2
5.答案不唯一，如AB=AD或AB=BC或AC⊥BD等
6.25°
7.③
8.证明：∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF=AD.
同理可得：GH=AD，GF=BC，HE=BC，
又AD=BC，∴EF=GF=GH=HE.
∴四边形EFGH是菱形.
9.(1)证明：∵在△ADC和△ABC中，AD＝AB，AC=AC，DC=BC，
∴△ADC≌△ABC(SSS).
∴∠1=∠2；
(2)四边形BCDE是菱形；
证明：∵DC=BC，∠1=∠2，
∴AC垂直平分BD.
又∵OE=OC，
∴四边形DEBC是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴四边形DEBC是菱形.
10.证明：连接EF，交AD于点O，
∵AD平分∠BAC，∴∠EAO=∠FAO.
∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°.
在△AEO和△AFO中，∠EAO=∠FAO，AO=AO，∠AOE=∠AOF，
∴△AEO≌△AFO(ASA).
∴EO=FO.
∵A点与D点重合，
∴AO=DO.
∴EF，AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形.
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形.
又∵∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠ACD.
∴AD=CD.
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD.
∴四边形ABCD是菱形.
(3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD.
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF.
又∵CF为公共边，
∴△BCF≌△DCF(SAS).
∴∠CBF=∠CDF.
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°.
∴∠ECB+∠CBF=∠EFD+∠EDF=90°.
∴∠EFD=∠BCD.
- 2 -
19.3.3 正方形
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．四条边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A． 对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
3. 正方形四边中点的连线围成的四边形(最准确的说法)一定是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
4. 矩形具有而平行四边形不具有的是( )
A.内角和为360° B.对角相等
C.对角线互相平分 D.对角线相等
5. 下列说法错误的是( )
A.正方形的四条边相等 B.正方形的四个角相等
C.平行四边形对角线互相垂直 D.正方形的对角线相等
6. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相平分 B.内角和为360°
C.对角线相等 D.对角线平分内角
7. 能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A.一组对边平行，另一组对边相等
B.一组对边平行，一组对角互补
C.一组对角相等，一组邻角互补
D.一组对角相等，另一组对角互补
8. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A.对角线相等 B.对角线垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线互相平分
9. 下列说法正确的有( )
①四边都相等的四边形是正方形②有三个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形③四个内角都相等的菱形是正方形④有一个角是直角的平行四边形是正方形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10. 下列命题中，不正确的是( )
A.对角线相等的平行四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
11. 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
12. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形为正方形的是( )
A.AC=BD，AB∥CD，AB=CD B.AD∥BC，∠A=∠C
C.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD D.AO=CO，BO=DO，AB=BC
13. 若正方形的面积为18，则它的边长为________，对角线为___________，周长为______________．
14. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为____________．
第14题图
15. 下列说法正确的有_______________．
①四条边相等的四边形为正方形
②四个角都相等的四边形为正方形
③对角线相等的菱形是正方形
④对角线垂直的矩形是正方形
16. 如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，若再补充一个条件就能使菱形成为正方形，则这个条件是______________________（填一个条件即可）.
第16题图
17. 正方形的面积为4，则它的边长为______，对角线长为___________．
18. 如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F．你认为四边形ABEF是什么特殊四边形？请说出你的理由．
第18题图
19. 已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．
第19题图
参考答案
1---12 CACDC CCDBD DC
13. 6
14. 15°
15. ③④
16. AC=BD（答案不唯一）
17. 2
18. 解：四边形ABEF是正方形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAF=∠B=90°．∵∠B与∠AFE折叠后重合，
∴∠AFE=∠B=90°．∴四边形ABEF是矩形．
∵AB，AF折叠后重合，∴AB=AF．
∴四边形ABEF是正方形.
19. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°.
∴∠ABF=90°．
在△BAF和△DAE中，AB=AD,
∠ABF=∠ADE,
BF=DE,
∴△BAF≌△DAE（SAS）.
∴∠FAB=∠EAD.
∵∠EAD+∠BAE=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°.
∴∠FAE=90°.∴EA⊥AF．
