19．2 平行四边形
第1课时 平行四边形的性质
1．分别过△ABC的3个顶点作对边的平行线，这些平行线相交，可构成____个平行四边形( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．以固定的点A为顶点，线段BC为一边，可以作几个平行四边形(点A在直线BC外)( )
A．0
B．1
C．2
D．3
3．如图，在?ABCD中，AB＝3，AD＝2，则CD的长为( )
第3题图
A．3
B．2
C．1
D．5
4.如图，在?ABCD中，已知AD＝12 cm，AB＝8 cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于( )
第4题图
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
5. 如图所示,,在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，图中全等三角形共有________对
6．在?ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，则?ABCD的周长为________ cm.
7．如图，在?ABCD中，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且AE＝BF.求证：∠ADE＝∠BCF.
第7题图
8.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长.
9．在?ABCD中，∠B＝60°，那么下列各式中，不能成立的是( )
A．∠D＝60°
B．∠A＝120°
C．∠C＋∠D＝180°
D．∠C＋∠A＝180°
10．已知在?ABCD中，若∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是( )
A．160°
B．100°
C．80°
D．60°
11．如图，将?ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1＝________．
第11题图
12．如图，在?ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，且BE＝DF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：AE＝CF.
第12题图
第13题图
13．如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列说法中错误的是( )
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．A，B两点间的距离就是线段AB的长度
D．直线l1与l2之间的距离就是线段CD的长度
14．如图，直线l1∥l2，△ABC的面积为10，则△DBC的面积( )
第14题图
A．大于10 B．小于10
C．等于10 D．不确定
15．如图，∠ABC＝90°，AB＝10 cm，∠D＋∠C＝180°，则AD与BC间的距离为________．
第15题图
16．如图，在?ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2，?ABCD的周长是14，则DM等于( )
第16题图
A．1 B．2 C．3 D．4
17.如图，在?ABCD中，∠B＝60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有( )
第17题图
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
18．在?ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠A的度数为________．
19．如图所示，已知在?ABCD中，BE＝DF.
求证：AE＝CF.
第19题图
20. 如图所示，已知ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE=OF.
21. 如图所示，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？
22．如图，在?ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF，把?ABCD沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G.
求证：(1)∠1＝∠2；
(2)DG＝B′G.
第22题图
23．如图，在?ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中一定成立的是________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)．
①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF.
第23题图
24．张村有一个呈四边形形状的池塘(示意图如图)，在它的四个角A，B，C，D处各栽有一棵大树．该村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保留四棵大树，并要求扩建后的池塘呈平行四边形，请问：村长能否实现这一设想？若能，请你帮村长设计并画出图形；若不能，请说明理由．
第24题图
参考答案
1．C [解析] 如图所示：?ACBD，?ABCF，?ABEC，可构成3个平行四边形．故选C.
第1题答图
2．C
3．A
4．C
5. 4；
6．28 [解析] 根据平行四边形的对边相等这一性质得CD＝AB＝6 cm，AD＝BC＝8 cm，则?ABCD的周长为CD＋AB＋AD＋BC＝28 cm.
7．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC且AD∥BC，
∴∠DAE＝∠CBF.
在△ADE和△BCF中，
∴△ADE≌△BCF(SAS)，
∴∠ADE＝∠BCF.
8. 解：∵ABCD,∴BC=AD=12,CD=AB=13，OB= BD
∵BD⊥AD,∴BD===5
∴OB=
9．D
10．C [解析] 如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
第10题答图
∴∠A＝∠C，AD∥BC.
∵∠A＋∠C＝200°，
∴∠A＝100°，
∴∠B＝180°－∠A＝80°.
故选C.
11．70° [解析] ∵在?ABCD中，∠A＝110°，∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°－∠BCD＝180°－110°＝70°.
12．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)∵△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF.
13．D [解析] 由“夹在两条平行线之间的平行线段相等”可知A项正确；由“两平行线之间的距离处处相等”可知B项正确；由两点间距离的定义可知C项正确．故选D.
14．C
15．10 cm
16．C [解析] ∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM.
∵AB∥CD，
∴∠ABM＝∠BMC，
∴∠BMC＝∠CBM，
∴BC＝MC＝2.
∵?ABCD的周长是14，
∴BC＋CD＝7，
∴CD＝5，
∴DM＝CD－MC＝3.
故选C.
17．B [解析] ∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，∴∠E＝∠B＝60°，∴△BEC是等边三角形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D＝∠B＝60°，∴∠B＝∠EAF＝60°，∴△EFA是等边三角形．∵∠EFA＝∠DFC＝60°，∠D＝∠B＝60°，∴△DFC是等边三角形，∴图中等边三角形共有3个．
18．55°或35° [解析] 情形一：当点E在线段AD上时，如图①所示，∵BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，∴∠ADB＝90°－20°＝70°.∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝(180°－70°)÷2＝55°.情形二：当点E在AD的延长线上时，如图②所示，∵BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，∴∠BDE＝70°.∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝∠BDE＝×70°＝35°.
第18题答图
19．证明：∵BE＝DF，
∴BE－EF＝DF－EF，∴BF＝DE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF.
∵在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴AE＝CF.
20. 证明：∵ABCD,∴OA=OC,DF∥EB∴∠E=∠F,又∵∠EOA=∠FOC
∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF；
21. OE=OF, 在□ABCD中，OB=OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠BEO＝∠DFO，
又∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，∴OE=OF.
22．证明：(1)∵在?ABCD中，DC∥AB，
∴∠2＝∠FEC.
由折叠得∠1＝∠FEC，
∴∠1＝∠2.
(2)∵∠1＝∠2，∴EG＝GF.
∵AB∥DC，∴∠DEG＝∠EGF.
由折叠得EC′∥B′F，
∴∠B′FG＝∠EGF，∴∠B′FG＝∠DEG.
∵DE＝BF，BF＝B′F，∴DE＝B′F.
∵在△DEG和△B′FG中，
∴△DEG≌△B′FG(SAS)，∴DG＝B′G.
23．①②④ [解析] ①∵F是AD的中点，∴AF＝FD.∵在?ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF.∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF＝∠BCD，故此选项正确；
②延长EF，交CD的延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF.∵F为AD中点，∴AF＝FD.在△AEF和△DMF中，∴△AEF≌△DMF(ASA)，∴FE＝MF，∠AEF＝∠M.∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°.∵FM＝EF，∴CF＝EF，故此项正确；
③∵EF＝FM，∴S△EFC＝S△CFM.∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故S△BEC＝2S△CEF错误；
④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，∴∠DCF＝∠DFC＝90°－x，∴∠EFC＝180°－2x，∴∠EFD＝90°－x＋180°－2x＝270°－3x.∵∠AEF＝90°－x，∴∠DFE＝3∠AEF，故此项正确．
第23题答图
24．解：能．如图，连接AC，BD，过点A，C分别作BD的平行线，过点B，D分别作AC的平行线，画出的四条直线所围成的图形即为要求的扩建后的池塘．
第24题答图
第6题图
第5题图
第8题图
第20题图
第21题图
19.2.2平行四边形的判定及中位线
1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ）．
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（ ）．
A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等
C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点
3．如图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）．
A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;
B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;
C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;
D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形
第3题图 第4题图
5．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________．
6．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．
第6题图
7．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．
第7题图
8．如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．
求证：CD=AF．
第8题图
9．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．
第9题图
10．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC交EB于F，求证：EF=FB．
第10题图
11．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．
第11题图
12．如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：MN∥AD且MN=AD．
第12题图
13．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．
第13题图 第14题图
14．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD于E，若OE=3cm，则AD的长为（ ）．
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
15．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
第15题图
16．如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求△DEF的面积．
第16题图
17．如图所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少？
第17题图
18．如图所示，在□ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F分别为AB，CD的中点，EF=1cm，那么对角线BD的长度是多少？你是怎样得到的？
第18题图
19．如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．
试说明：（1）DE∥BC．（2）DE=（BC-AC）．
第19题图
20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．
第20题图
21．（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是________．（添加一个即可）
第21题图 第22题图
22．（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，则S四边形EFGH：S四边形ABCD的值是_________．
23．（南京）已知如图19-1-55所示，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证：（1）△AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．
第23题图
参考答案
1．C 2．C 3．D
4．（1）× （2）× （3）∨ （4）∨ （5）∨ （6）×
5．AD=BC或AB∥CD
6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC．
又∵∠3=∠4，∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
7．证明：∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．
又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=EF．
8．证明：∵FC∥AB，
∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC．
又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE=EF．
∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．
∴CD=AF．
9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴ABDC．
又∵BE=AB，∴BEDC，∴四边形BDCE是平行四边形．
∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F．
同理，∠BDM=∠DMC．
∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．
∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．
10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．
∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，
∴BG AD．
在□ACED中，ADCE，∴CEBG．
∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．
11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，AD=BC．
∵CE=CD，∴ABCE，
∴四边形ABEC为平行四边形．
∴BF=FC，∴OFAB，即AB=2OF．
12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
又∵EF∥AB，∴EF∥CD．
∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．
又∵M，N分别为ABEF和ECDF对角线的交点．
∴M为AE的中点，N为DE的中点，
即MN为△AED的中位线．
∴MN∥AD且MN=AD．
13．4 14．B
15．解：EFGH是平行四边形，连接AC，在△ABC中，∵EF是中位线，∴EFAC．
同理，GHAC．
∴EFGH，∴四边形EFGH为平行四边形．
16．解：∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，
∴EF=AB，DE=AC，DF=BC．
又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，
∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，
而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．
∴△EDF为直角三角形．
∴S△EDF=DE·DF=×3×4=6（cm2）．
17．解：∵M，N分别是AC，BC的中点．
∴MN是△ABC的中位线，∴MN=AB．
∴AB=2MN=2×20=40（m）．
故A，B两点间的距离是40m．
18．解：连接DE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD．
∵DF=CD，AE=AB，
∴DFAE．
∴四边形ADFE是平行四边形．
∴EF=AD=1cm．
∵AB=2AD，∴AB=2cm．
∵AB=2AD，∴AB=2AE，∴AD=AE．
∴∠1=∠4．
∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°，
∴∠1=∠A=∠4=60°．
∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE．
∵AE=BE，∴DE=BE，∴∠2=∠3．
∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°．
∴∠ADB=∠3+∠4=90°．
∴BD==（cm）．
19．解：延长AD交BC于F．
（1）∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠FDC=90°．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．
在△ACD与△FCD中，
∠ADC=∠FDC，DC=DC，∠ACD=∠FCD．
∴△ACD≌△FCD，∴AC=FC，AD=DF．
又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC．
（2）由（1）知AC=FC，DE=BF．
∴DE=（BC-FC）=（BC-AC）．
20．解：AE=CF．
理由：过E作EG∥CF交BC于G，
∴∠3=∠C．
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°．
∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD．
又∵∠1=∠2，BE=BE，
∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE．
∵EF∥BC，EG∥CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF，
∴AE=CF．
21．答案不唯一，如AB=CD或AD∥BC．
22．
23．解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴DF=CD，BE=AB，∴DF=BE，
∴△AFD≌△CEB．
（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD．
由（1）得BE=DF，
∴AE=CE，∴四边形AECF是平行四边形．
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