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【专题讲义】北师大版七年级数学上册
第7讲 有理数的乘法和除法运算专题精讲（提高版）
授课主题 第07讲---有理数的乘法和除法运算
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握有理数的乘法法则以及运算律； 掌握除法运算法则； 提高学生的计算能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架知识概念（一）有理数的乘法1、有理数乘法法则1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）任何数与0相乘，积仍为0.2、倒数如果两个有理数的乘积为1，那么其中的一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数.3、乘法运算律 1)乘法交换律：ab=ba. 2)乘法结合律：(ab)c=a(bc)．3)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac. （二）有理数的除法1、有理数的除法法则1）两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对值 相除 ； 2）0除以任何一个非0的数都得 0 。 注意：0不能作除数2、除以一个数等于乘这个数的倒数. 考点一：计算例1、（1）3×（-4） （2）（-6）×（-2） （3） （4）（-0.5）×（-8） 例2、 例3、（用简便方法计算） 例4、计算：（﹣16.8）÷（﹣3）； ③； ； ④； ⑤﹣18÷（+3.25）÷ ⑥ 考点二：倒 数例1、﹣的倒数为（ ） A． B．﹣ C． 2013 D．﹣2013例2、若a与b互为倒数，则3﹣5ab= ．例3、a，b是两个有理数，完成下面的填空： （1）如果a﹣b=0，那么a与b的关系是 （2）如果a+b=0，那么a与b的关系是 （3）如果a×b=1，那么a与b的关系是 （4）如果 ，那么a与b的关系是 （5）已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，|m|=2，则式子 的值为 ． 考点三：有理数乘除与绝对值综合例1、已知|x|=3，|y|=7，且xy＜0，则x+y的值等于（ ） A． 10 B． 4 C．﹣4 D． 4或﹣4例2、ab＜0，a＞0，|a|＞|b|，则a+b（ ） A．大于0 B．小于0 C．小于或等于0 D．无法确定例3、若|m|=3，|n|=2，且 ＜0，则m+n的值是（ ） A． 1或﹣1 B． 5或﹣5 C． 5或﹣1 D． 1或﹣5例4、如果a＜0时， 的值是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D．不能确定 考点四：含字母式子符号的判断例1、如果ab＜0，那么下列判断正确的是（ ） A． a＜0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C． a≥0，b≤0 D．a＜0，b＞0或a＞0，b＜0 例2、若a+b＜0，且ab＞0，则（ ） A． a、b都为正数 B． a、b都为负数 C． a、b一个为正数，一个为负数 D． a、b中有一个为0例3、如果a＜0，b＜0，则下列各式正确的是（ ） A． a﹣b＜0 B． a+b＞0 C． ab＞0 D． ＜0例4、两个有理数a，b在数轴上的位置如图，下列四个式子中运算结果为正数的式子是 （ ） A． a+b B． a﹣b C． ab D．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、计算： ． 2、 3、计算：（﹣5）×8×（ ）×（﹣1.25） 4、已知：|x|=3，|y|=2，且xy＜0，则x+y的值为等于 ．5、若a＜b＜0，则ab与0的大小关系是（ ） A． ab＜0 B． ab=0 C． ab＞0 D．以上选项都有可能 6、已知三个有理数m，n，p满足m+n=0，n＜m，mnp＜0，则mn+np一定是（ ） A．负数 B．零 C．正数 D．非负数7、若 ，且a，b异号，则c的符号为（ ） A．大于0 B．小于0 C．大于等于0 D．小于等于0 8、已知a．b在数轴上的位置如图，则下面结论正确的是（ ） A． a﹣b＞0 B． a﹣b＜0 C． D． ab＞0 9、已知|x|=4，|y|= ，且xy＜0，则的值等于 ． 10、﹣2的倒数是（ ） A．﹣ B． C．﹣2 D． 2 11、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=3，求的值． 课后反击1、己知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ） A． a＞b B． ab＜0 C． b﹣a＞0 D． a+b＞0 2、已知，如图，则下列式子正确的是（ ） A． ab＞0 B． |a|＞|b| C． a+b＜0 D． a﹣b＜0 3、如果a+b＞0，a＜0，ab＜0．那么（ ） A． a，b异号．且a＞b B． a，b同号，且a＜b C． a，b异号，且|a|＞|b| D．a，b异号，且|a|＜|b| 4、已知a、b、c、d是互不相等的整数，且abcd=6，则a+b+c+d的值等于（ ） A．﹣1或1 B．﹣1或﹣5 C．﹣3或1 D．不能求出 5、已知|a|=3，|b|=4，ab＞0，则a﹣b= ． 6、计算：﹣32×． 7、如果，，那么（ ） A． c＞0 B． ac＜0 C． ac≥0 D． c≤0 8、的倒数是（ ） A． B． C． D． 9、已知a÷b=3，则（a﹣b）÷a的值是（ ） A． B． 1 C． D． 0 10、、计算 （1）（﹣）×（﹣）×0× （2） （3）（﹣﹣）×（﹣24） 11、用简便方法计算： （1） （2）． 13、已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为2，求﹣2mn+﹣x的值． 1、﹣3的倒数是（ ） A． 3 B． ﹣3 C. D．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、运算过程中应先判断积的符号，几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。2、几个数相乘,有一个因数为0，积就为0。3、怎样求负数的倒数?（1）将分子、分母颠倒位置即可 的倒数是 (p≠0,q≠0) （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数 1、注意应用乘法分配律时，需要注意符号的处理，这是学生容易出错的地方； 2、乘除运算莫着急；审清题目是第一； 3、除法变成乘法后；积的符号先确立； 4、计算结果别慌张；考个一百没问题。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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【专题讲义】北师大版七年级数学上册
第7讲 有理数的乘法和除法运算专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第07讲---有理数的乘法和除法运算
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握有理数的乘法法则以及运算律； 掌握除法运算法则； 提高学生的计算能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架知识概念（一）有理数的乘法1、有理数乘法法则1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）任何数与0相乘，积仍为0.2、倒数如果两个有理数的乘积为1，那么其中的一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数. 3、乘法运算律 1)乘法交换律：ab=ba. 2)乘法结合律：(ab)c=a(bc)．3)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac.（二）有理数的除法1、有理数的除法法则1）两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对值 相除 ； 2）0除以任何一个非0的数都得 0 。 注意：0不能作除数除以一个数等于乘这个数的倒数. 考点一：计算例1、（1）3×（-4） （2）（-6）×（-2） （3） （4）（-0.5）×（-8） 【解析】（1）异号得负，原式= -12 （2）同号得正，原式= 12 （3）异号得负，原式= - （4）同号得正，原式= 4 例2、【解析】分析：根据乘法分配律展开，然后根据有理数乘法的运算法则进行计算． 解： 例3、（用简便方法计算） 【解析】分析：提取，逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 解： = = 例4、计算：（﹣16.8）÷（﹣3）； ③；； ④； ⑤﹣18÷（+3.25）÷ ⑥ 【解析】分析：①②③根据有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；④⑤几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算． 解答：①原式=16.8÷3=16.8× =5.6； ②原式=； ③原式= ； ④原式=1.25÷0.5÷ = =4； ⑤原式=18÷3.25÷ = =； ⑥原式=（－）×（-）×（-)×= -×××= - 考点二：倒 数例1、﹣的倒数为（ ） A． B．﹣ C． 2013 D．﹣2013 【解析】分析：根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答． 解：∵（﹣）×（﹣2013）=1，∴﹣的倒数为﹣2013．故选D．例2、若a与b互为倒数，则3﹣5ab= ﹣2 ． 【解析】分析：根据互为倒数的两个数的积为1，直接求出ab的值，从而得到3﹣5ab的值． 解：∵ab=1，∴3﹣5ab=3﹣5×1=﹣2．故答案为﹣2．例3、a，b是两个有理数，完成下面的填空： （1）如果a﹣b=0，那么a与b的关系是 相同 （2）如果a+b=0，那么a与b的关系是 互为相反数 （3）如果a×b=1，那么a与b的关系是 互为倒数 （4）如果 ，那么a与b的关系是 相等，均不为0 （5）已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，|m|=2，则式子 的值为 1或﹣3 ． 【解析】分析：（1）（2）（3）根据相反数和倒数的定义求解即可； （4）两数的比值为1，则两数一定相等，又因为是分数，所以分母不等于0； （5）根据题意先求出a+b、cd以及m的值，然后把它们的值分别代入式子即可． 解答：（1）相同，故答案为相同； （2）互为相反数，故答案为互为相反数； （3）互为倒数，故答案为互为倒数； （4）相等，均不为0，故答案为相等且均不等于0； （5）∵和b互为相反数，c和d互为倒数，|m|=2，∴a+b=0，cd=1，m=±2，当m=2时，则式子=0﹣1+2=1；当m=﹣2时，则式子=0﹣1﹣2=﹣3；故答案为1或﹣3． 考点三：有理数乘除与绝对值综合例1、已知|x|=3，|y|=7，且xy＜0，则x+y的值等于（ ） A． 10 B． 4 C．﹣4 D． 4或﹣4 【解析】分析：首先根据绝对值的性质可得x=±3，y=±7，再根据条件xy＜0可得此题有两种情况∴①x=3，y=﹣7，②x=﹣3，y=7，再分别计算出x+y即可． 解：∵|x|=3，|y|=7，∴x=±3，y=±7， ∵xy＜0，∴①x=3，y=﹣7，x+y=﹣4；②x=﹣3，y=7，x+y=4，故选：D．例2、ab＜0，a＞0，|a|＞|b|，则a+b（ ） A．大于0 B．小于0 C．小于或等于0 D．无法确定 【解析】分析：首先根据ab＜0，可判断a、b为异号，再根据a＞0，可得b＜0，因为|a|＞|b|，也就是正数的绝对值大，根据有理数的加法法则：绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，可得a+b＞0． 解：∵ab＜0，∴a、b为异号，∵a＞0，∴b＜0，∵|a|＞|b|，∴a+b＞0，故选：A． 例3、若|m|=3，|n|=2，且 ＜0，则m+n的值是（ ） A． 1或﹣1 B． 5或﹣5 C． 5或﹣1 D． 1或﹣5 【解析】分析： 根据题意得到m、n的值，再根据＜0可得m、n为异号，再计算出m+n的值即可． 解：∵|m|=3，|n|=2，∴m=±3，n=±2，∵＜0， ∴①m=3，n=﹣2，m+n=1，②m=﹣3，n=2，m+n=﹣1，故选：A．例4、如果a＜0时， 的值是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D．不能确定 【解析】分析：根据绝对值的性质，可知当a＜0时，|a|=﹣a，从而得出的值． 解：∵a＜0，∴|a|=﹣a，∴=﹣1+1=0．故选A． 考点四：含字母式子符号的判断例1、如果ab＜0，那么下列判断正确的是（ ） A． a＜0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C． a≥0，b≤0 D．a＜0，b＞0或a＞0，b＜0【解析】分析：根据有理数的乘法符号法则作答． 解：∵ab＜0，∴a与b异号，∴a＜0，b＞0或a＞0，b＜0．故选D．例2、若a+b＜0，且ab＞0，则（ ） A． a、b都为正数 B． a、b都为负数 C． a、b一个为正数，一个为负数 D． a、b中有一个为0【解析】分析：有条件ab＞0可以得出a、b同号，再由条件a+b＜0通过推理可以得出结论． 解：∵ab＞0，∴a、b同号，∴a、b同为正或a、b同为负，当a、b同为正时，则a+b＞0，与条件不符， 当a、b同为负时，则a+b＜0，故成立，故B答案正确．故选B 例3、如果a＜0，b＜0，则下列各式正确的是（ ） A． a﹣b＜0 B． a+b＞0 C． ab＞0 D． ＜0【解析】分析：已知a＜0，b＜0，可确定它们的和、积、商的符号，差的符号无法确定． 解：A、因为a＜0，b＜0，a﹣b的符号无法确定，错误； B、因为a＜0，b＜0，a+b＜0，错误； C、因为a＜0，b＜0，ab＞0，正确； D、因为a＜0，b＜0，＞0，错误．故选C．例4、两个有理数a，b在数轴上的位置如图，下列四个式子中运算结果为正数的式子是 （ ） A． a+b B． a﹣b C． ab D． 【解析】分析： 根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后根据有理数的加、减、乘、除运算进行符号判断即可． 解：根据题意，a＜0且|a|＜1，b＞且|b|＞1， ∴A、a+b是正数，故本选项正确； B、a﹣b=a+（﹣b），是负数，故本选项错误； C、ab是负数，故本选项错误； D、是负数，故本选项错误．故选A．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、计算： ． 【解析】解： 2、 【解析】解：原式= 3、计算：（﹣5）×8×（ ）×（﹣1.25） 【解析】解：原式=﹣40××1.25=﹣72×1.25=﹣90．4、已知：|x|=3，|y|=2，且xy＜0，则x+y的值为等于 ±1 ． 【解析】解：∵|x|=3，|y|=2，∴x=±3，y=±2， ∵xy＜0，∴xy符号相反，①x=3，y=﹣2时，x+y=1；②x=﹣3，y=2时，x+y=﹣1．5、若a＜b＜0，则ab与0的大小关系是（ ） A． ab＜0 B． ab=0 C． ab＞0 D．以上选项都有可能 【解析】解：∵a＜b＜0，∴ab＞0．故选C． 6、已知三个有理数m，n，p满足m+n=0，n＜m，mnp＜0，则mn+np一定是（ ） A．负数 B．零 C．正数 D．非负数 【解析】解：∵m+n=0，∴m，n一定互为相反数；又∵n＜m，mnp＜0，∴n＜0，p＞0，m＞0， ∴mn＜0，np＜0，∴mn+np一定是负数．故选A．7、若 ，且a，b异号，则c的符号为（ ） A．大于0 B．小于0 C．大于等于0 D．小于等于0 【解析】解：∵a，b异号，∴ab＜0，∵，∴c＞0．故选A． 8、已知a．b在数轴上的位置如图，则下面结论正确的是（ ） A． a﹣b＞0 B． a﹣b＜0 C． D． ab＞0 【解析】解：∵a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，所以A选项正确； a﹣b＜0， ，ab＜0，所以B、C、D三选项错误．故选A． ∴x+y=2+（﹣3）=﹣1或﹣2+3=1． 9、已知|x|=4，|y|= ，且xy＜0，则的值等于 ． 【解析】解：∵|x|=4，|y|=，∴x=±4，y=±；又∵xy＜0，∴x=4，y=﹣或x=﹣4，y=则=﹣8． 10、﹣2的倒数是（ ） A．﹣ B． C．﹣2 D． 2 【解析】解：﹣2的倒数是﹣．故选A． 11、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=3，求的值． 【解析】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，∴a+b=0，cd=1， ∵|m|=3，∴m=±3，∴当m=3时，原式=0﹣1+3=2； 当m=﹣3时，原式=0﹣1﹣3=﹣4．故答案为：2或﹣4． 课后反击1、己知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ） A． a＞b B． ab＜0 C． b﹣a＞0 D． a+b＞0 【解析】解：根据数轴，得b＜a＜0．A、正确；B、两个数相乘，同号得正，错误； C、较小的数减去较大的数，差是负数，错误；D、同号的两个数相加，取原来的符号，错误．故选A． 2、已知，如图，则下列式子正确的是（ ） A． ab＞0 B． |a|＞|b| C． a+b＜0 D． a﹣b＜0 【解析】解：根据数轴可知b＜﹣1＜0＜a＜1．∴ab＜0，|a|＜|b|，a+b＜0，a﹣b＞0．故正确的只有C． 3、如果a+b＞0，a＜0，ab＜0．那么（ ） A． a，b异号．且a＞b B． a，b同号，且a＜b C． a，b异号，且|a|＞|b| D．a，b异号，且|a|＜|b| 【解析】解：∵ab＜0，∴a，b为异号，∵a＜0，∴b＞0，∵a+b＞0，∴|b|＞|a|．故选：D． 4、已知a、b、c、d是互不相等的整数，且abcd=6，则a+b+c+d的值等于（ ） A．﹣1或1 B．﹣1或﹣5 C．﹣3或1 D．不能求出 【解析】解：由题意得：这四个数小于等于6，且互不相等． 再由乘积为6可得，四个数中必有2和﹣3，或﹣2，3． ∴四个数为：1，﹣1，2，﹣3，或1，﹣1，﹣2，3则和为﹣1或1．故选A． 5、已知|a|=3，|b|=4，ab＞0，则a﹣b= ﹣1或1 ． 【解析】若a，b都大于0则：a=3，b=4，a﹣b=﹣1；若a，b都小于0，则a=﹣3，b=﹣4，a﹣b=1．6、计算：﹣32×． 【解析】解：原式=﹣×（32﹣11﹣21）=0． 7、如果，，那么（ ） A． c＞0 B． ac＜0 C． ac≥0 D． c≤0 【解析】解：∵＜0，∴a、b异号，∵＜0，∴b、c异号，∴a、c同号，∴ac＞0．故选A． 8、的倒数是（ ） A． B． C． D． 【解析】解：﹣1=﹣，∵（﹣）×（﹣）=1，∴﹣1的倒数是﹣．故选C． 9、已知a÷b=3，则（a﹣b）÷a的值是（ ） A． B． 1 C． D． 0 【解析】解：∵a÷b=3，即 =3，∴a=3b，∴（a﹣b）÷a=．故选C． 10、、计算 （1）（﹣）×（﹣）×0× （2） （3）（﹣﹣）×（﹣24） 【解析】解：（1）原式=0； （2）原式=（﹣）×（﹣）×（﹣4）=﹣（××4）=﹣； （3）原式=×（﹣24）﹣×（﹣24）﹣×（﹣24）=﹣20+18+8=6； （4）原式=3×（﹣）××（﹣）=3×××= 11、用简便方法计算： （1） （2）． 【解析】解：（1）﹣1.53×0.75+1.53××1.53=1.53×（﹣0.75+0.5+0.8）， =1.53×（1.3﹣0.75）=1.53×0.55=0.8415； （2） = ， = =﹣2+3 =3﹣ =﹣． 13、已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为2，求﹣2mn+﹣x的值．【解析】解：∵a、b互为相反数，∴a+b=0；∵m、n互为倒数，∴mn=1；∵x的绝对值为2，∴x=±2． 当x=2时，原式=﹣2+0﹣2=﹣4； 当x=﹣2时，原式=﹣2+0+2=0． 1、﹣3的倒数是（ ） A． 3 B． ﹣3 C. D． 【解析】乘积为1的两个数互为倒数，1÷（-3）=
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、运算过程中应先判断积的符号，几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。2、几个数相乘,有一个因数为0，积就为0。3、怎样求负数的倒数?（1）将分子、分母颠倒位置即可 的倒数是 (p≠0,q≠0) （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数 1、注意应用乘法分配律时，需要注意符号的处理，这是学生容易出错的地方； 2、乘除运算莫着急；审清题目是第一； 3、除法变成乘法后；积的符号先确立； 4、计算结果别慌张；考个一百没问题。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
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