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【专题讲义】北师大版七年级数学上册
第8讲 有理数的乘法及混合运算专题精讲（提高版）
授课主题 第08讲---有理数的乘方及混合运算
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握有理数的乘方； 掌握有理数的混合运算并能灵活运用。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识梳理 （一）有理数的乘方 1、一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作： 读作：a的n次方（或a的n 次幂）其中a代表相乘的因数,n代表相乘因数的个数，即： （n个a） 2、有理数乘方运算方法：（二）有理数的混合运算 混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算最重要的原则。（三）科学记数法（1）一般地，一个大于10的数可以表示成的形式，其中，是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。注意以下几点:1、科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。其中一个因数为a（），另一个因数为，n的值等于整数部分的位数减1； 2、用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。小于1的正数也可以用科学记数法表示。例如：； 考点一：乘方的意义 例1、表示（ ） A. B． C. D． 考点二：计算例1、（1） （2） （3） （4） 考点三：定义新运算例1、现规定一种新的运算“※”：※，如3※2==8，则3※等于（ ） A． B． 8 C． D． 考点四：偶次幂的非负性例1、若，则的值是（ ） A．﹣1 B． 1 C． 0 D． 2012例2、已知，求值． 考点五：有理数的混合运算例1、计算：（1） （2） 考点六：科学计数法例1、自贡市统计局2016年初发布了2015年我市经济形势：2015年全市地区生产总值（GDP）实现1143.11亿元．数据1143.11亿元用科学记数法表示（保留三个有效数字）（ ） A、1.14×103元 B、1.14×1010元 C、1.14×1011元 D、1.14×1012元例2、在“十二?五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由819亿元增加到1351亿元，年均增长约10%，将1351亿元用科学记数法表示应为（ ） A、1.351×1011 B、13.51×1012 C、1.351×1013 D、0.1351×1012 例3、在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米．数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为（ ） A、9.63×10﹣5 B、96.3×10﹣6 C、0.963×10﹣5 D、963×10﹣4例4、地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为1.1×105km/h，把它写成原数是（ ） A 、1100000km/h B、 110000km/h C、 11000km/h D、 0.000011km/h 考点七：综合题例1、如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得： （1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成 个细胞； （2）这样的一个细胞经过3小时后可分裂成 个细胞； （3）这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成 个细胞．例2、观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，…．根据上述算式中的规律，请你猜想210的末位数字是（ ） A． 2 B． 4 C． 8 D． 6例3、王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时，_____________．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、数学上一般把记为（ ） A． B． C． D． 2、计算：（ ） A.0 B.-54 C.-72 D.-18 3、下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 4、某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 5℃ 4℃ 0℃ 4℃ 最低气温 0℃ -2℃ -4℃ -4℃ A.1月1日 B.1月2日 C.1月3日 D.1月4日 5、生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中（Hn表示第n个营养级，n=1，2，…，6），要使H6获得10千焦的能量，那么需要H1提供的能量约为（ ） A． 104千焦 B． 105千焦 C． 106千焦 D． 107千焦6、我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为（ ） A、13×107kg B、0.13×108kg C、1.3×107kg D、1.3×108kg 7、一种细菌的半径是0.000045米，该数字用科学记数法表示正确的是（ ） A、4.5×105 B、45×106 C、4.5×10﹣5 D、4.5×10﹣48、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5×10﹣3毫米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，把2.5×10﹣3用小数形式表示正确的是（ ） A、0.000025 B、0.00025 C、0.0025 D、0.025 9、-9、6、-3三个数的和比它们绝对值的和小_______。 10、两个有理数之积是1，已知一个数是，则另一个数是_____。 11、计算：（1） （2） （3） 12、若与互为相反数，求的值． 13、水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力．据报道，现已造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果、据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用．若在适宜条件下， 1株水葫芦每5天就能新繁殖1株 （不考虑植株死亡、被打捞等其它因素）． （1）假设江面上现有1株水葫芦，填写下表： 第几天 5 10 15 … 50 … 5n 总株数 2 4 … … （2）假定某流域内水葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益．若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33万株？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦．（要求写出必要的尝试、估算过程！） 课后反击1、计算：的结果是（ ） A.-21 B.35 C.-35 D.-29 2、表示的意义是（ ） A.6个-5相乘的积 B.-5乘以6的积 C.5个-6相乘的积 D.6个-5相加的和 3、2011年8月12日，第26届世界大学生夏季运动会将在深圳开幕．本届大运会的开幕式举办场地和主要分会场深圳湾体育中心总建筑面积达256520m2．数据256520m2用科学记数法（保留三个有效数字）表示为（ ） A、2.565×105m2 B、0.257×106m2 C、2.57×105m2 D、25.7×104m2 4、国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为0.0000001m，则病毒直径0.0000001m用科学记数法表示为（ ）（保留两位有效数字）。 A、0.10×10﹣6m B、1×10﹣7m C、1.0×10﹣7m D、0.1×10﹣6m 5、下列各数对中，数值相等的是（ ） A. B. C. D. 6、下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7、(某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（ ） A． 31 B． 33 C． 35 D． 37 8、如图，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成（ ） A． 17段 B． 32段 C． 33段 D． 34段 9、下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2002个数应是（ ） A． B. C． D．以上答案不对 10、若，则的值为（ ） A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．4 11、一家电脑公司仓库原有电脑100台，一个星期调入、调出的电脑记录是：调入38台，调出42台，调入27台，调出33台，调出40台，则这个仓库现有电脑________台。 12、小刚学习了有理数运算法则后，编写了一个计算程序，当他输入任意一个有理数时，显示屏上出现的结果总等于所输入有理数的平方与1的和，当他第一次输入2，然后又将所得结果再次输入后，显示屏上出现的结果应是______。 13、图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，…，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第六行有 个苹果、第十行有 个．（可用乘方形式表示） 14、喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第 次后可拉出128根面条． 15、“如果（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记为．”则=_______. 16、计算：（1） （2） 17、已知，求的值． 1、掌握有理数乘方的意义。 2、注意负数的奇次幂和偶次幂取号问题。 3、任意一个有理数的偶次幂一定为非负数。 1、如果实数a，b满足，那么等于（ ） A． 1 B．﹣1 C．﹣3 D． 3 2、计算7的正整数次幂：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801…归纳各计算结果中的个位数字规律，可得的个位数字为 ． 3、观察下列等式：31﹣1=2，32﹣1=8，33﹣1=26，34﹣1=80，35﹣1=242，…．通过观察，用你所发现的规律确定32008﹣1的个位数字是 ． 4、定义一种新的运算a﹠b=ab，如2﹠3=23=8，那么请试求（3﹠2）﹠2= ．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
有理数乘方表示的意义； 有理数混合运算的运算法则； 负数的奇次幂和偶次幂。 有理数的乘方和有理数的混合运算属于基础知识点，在进行运算时，要注意底数的正负性和指数的奇偶性，这方面较为容易出错，在计算乘、除、乘方时可以选择优先确定结果的正负性，再进行计算。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
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直击中考
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第8讲 有理数的乘法及混合运算专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第08讲---有理数的乘方及混合运算
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教学目标 掌握有理数的乘方； 掌握有理数的混合运算并能灵活运用。
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一、知识梳理 （一）有理数的乘方 1、一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作： 读作：a的n次方（或a的n 次幂）其中a代表相乘的因数,n代表相乘因数的个数，即： （n个a） 2、有理数乘方运算方法：（二）有理数的混合运算 混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算最重要的原则。（三）科学记数法（1）一般地，一个大于10的数可以表示成的形式，其中，是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。注意以下几点:1、科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。其中一个因数为a（），另一个因数为，n的值等于整数部分的位数减1； 2、用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。小于1的正数也可以用科学记数法表示。例如：； 考点一：乘方的意义 例1、表示（ ） A. B． C. D． 【解析】C考点二：计算例1、（1） （2） （3） （4） 【解析】 1、 2、2 3、－59 4、－1考点三：定义新运算例1、现规定一种新的运算“※”：※，如3※2==8，则3※等于（ ） A． B． 8 C． D． 【解析】A考点四：偶次幂的非负性例1、若，则的值是（ ） A．﹣1 B． 1 C． 0 D． 2012 【解析】B例2、已知，求值． 【解析】33考点五：有理数的混合运算例1、计算：（1） （2）【解析】（1）-20；（2）23考点六：科学计数法例1、自贡市统计局2016年初发布了2015年我市经济形势：2015年全市地区生产总值（GDP）实现1143.11亿元．数据1143.11亿元用科学记数法表示（保留三个有效数字）（ ） A、1.14×103元 B、1.14×1010元 C、1.14×1011元 D、1.14×1012元【解析】C例2、在“十二?五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由819亿元增加到1351亿元，年均增长约10%，将1351亿元用科学记数法表示应为（ ） A、1.351×1011 B、13.51×1012 C、1.351×1013 D、0.1351×1012【解析】A 例3、在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米．数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为（ ） A、9.63×10﹣5 B、96.3×10﹣6 C、0.963×10﹣5 D、963×10﹣4【解析】A例4、地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为1.1×105km/h，把它写成原数是（ ） A 、1100000km/h B、 110000km/h C、 11000km/h D、 0.000011km/h【解析】B考点七：综合题例1、如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得： （1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成 个细胞； （2）这样的一个细胞经过3小时后可分裂成 个细胞； （3）这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成 个细胞． 【解析】（1）16；（2）64；（3） 例2、观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，…．根据上述算式中的规律，请你猜想210的末位数字是（ ） A． 2 B． 4 C． 8 D． 6 【解析】B例3、王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时，_____________． 【解析】
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、数学上一般把记为（ ） A． B． C． D． 【解析】C 2、计算：（ ） A.0 B.-54 C.-72 D.-18 【解析】A 3、下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 4、某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 5℃ 4℃ 0℃ 4℃ 最低气温 0℃ -2℃ -4℃ -4℃ A.1月1日 B.1月2日 C.1月3日 D.1月4日 【解析】D 5、生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中（Hn表示第n个营养级，n=1，2，…，6），要使H6获得10千焦的能量，那么需要H1提供的能量约为（ ） A． 104千焦 B． 105千焦 C． 106千焦 D． 107千焦 【解析】C6、我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为（ ） A、13×107kg B、0.13×108kg C、1.3×107kg D、1.3×108kg【解析】D 7、一种细菌的半径是0.000045米，该数字用科学记数法表示正确的是（ ） A、4.5×105 B、45×106 C、4.5×10﹣5 D、4.5×10﹣4【解析】C 8、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5×10﹣3毫米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，把2.5×10﹣3用小数形式表示正确的是（ ） A、0.000025 B、0.00025 C、0.0025 D、0.025【解析】C9、-9、6、-3三个数的和比它们绝对值的和小_______。 【解析】24 10、两个有理数之积是1，已知一个数是，则另一个数是_____。 【解析】11、计算：（1） （2） 【解析】（1）2； （2）－73； （3）-54 12、若与互为相反数，求的值． 【解析】3 13、水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力．据报道，现已造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果、据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用．若在适宜条件下， 1株水葫芦每5天就能新繁殖1株 （不考虑植株死亡、被打捞等其它因素）． （1）假设江面上现有1株水葫芦，填写下表： 第几天 5 10 15 … 50 … 5n 总株数 2 4 … … （2）假定某流域内水葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益．若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33万株？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦．（要求写出必要的尝试、估算过程！） 【解析】（1）8,1024， （2）当n=15时，，故5n=75（天）课后反击1、计算：的结果是（ ） A.-21 B.35 C.-35 D.-29 【解析】D 2、表示的意义是（ ） A.6个-5相乘的积 B.-5乘以6的积 C.5个-6相乘的积 D.6个-5相加的和 【解析】A 3、2011年8月12日，第26届世界大学生夏季运动会将在深圳开幕．本届大运会的开幕式举办场地和主要分会场深圳湾体育中心总建筑面积达256520m2．数据256520m2用科学记数法（保留三个有效数字）表示为（ ） A、2.565×105m2 B、0.257×106m2 C、2.57×105m2 D、25.7×104m2【解析】C 4、国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为0.0000001m，则病毒直径0.0000001m用科学记数法表示为（ ）（保留两位有效数字）。 A、0.10×10﹣6m B、1×10﹣7m C、1.0×10﹣7m D、0.1×10﹣6m【解析】C5、下列各数对中，数值相等的是（ ） A. B. C. D. 【解析】B 6、下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【解析】B 7、(某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（ ） A． 31 B． 33 C． 35 D． 37 【解析】B 8、如图，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成（ ） A． 17段 B． 32段 C． 33段 D． 34段 【解析】C 9、下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2002个数应是（ ） A． B. C． D．以上答案不对 【解析】C 10、若，则的值为（ ） A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．4 【解析】B 11、一家电脑公司仓库原有电脑100台，一个星期调入、调出的电脑记录是：调入38台，调出42台，调入27台，调出33台，调出40台，则这个仓库现有电脑________台。 【解析】50 12、小刚学习了有理数运算法则后，编写了一个计算程序，当他输入任意一个有理数时，显示屏上出现的结果总等于所输入有理数的平方与1的和，当他第一次输入2，然后又将所得结果再次输入后，显示屏上出现的结果应是______。 【解析】26 13、图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，…，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第六行有 个苹果、第十行有 个．（可用乘方形式表示） 【解析】 14、喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第 次后可拉出128根面条． 【解析】7 15、“如果（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记为．”则=_______. 【解析】-2 16、计算：（1） （2） 【解析】 （1）-90； （2） 17、已知，求的值． 【解析】1 1、掌握有理数乘方的意义。 2、注意负数的奇次幂和偶次幂取号问题。 3、任意一个有理数的偶次幂一定为非负数。 1、如果实数a，b满足，那么等于（ ） A． 1 B．﹣1 C．﹣3 D． 3 【解析】B 2、计算7的正整数次幂：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801…归纳各计算结果中的个位数字规律，可得的个位数字为 ． 【解析】7 3、观察下列等式：31﹣1=2，32﹣1=8，33﹣1=26，34﹣1=80，35﹣1=242，…．通过观察，用你所发现的规律确定32008﹣1的个位数字是 ． 【解析】0 4、定义一种新的运算a﹠b=ab，如2﹠3=23=8，那么请试求（3﹠2）﹠2= ． 【解析】8。
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有理数乘方表示的意义； 有理数混合运算的运算法则； 负数的奇次幂和偶次幂。 有理数的乘方和有理数的混合运算属于基础知识点，在进行运算时，要注意底数的正负性和指数的奇偶性，这方面较为容易出错，在计算乘、除、乘方时可以选择优先确定结果的正负性，再进行计算。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
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（3）
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