课件46张PPT。单元思维导图第六单元 圆考点一 圆的有关概念1.下列说法中,不正确的是 ( )
A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.圆有无数条对称轴
C.圆的每一条直径都是它的对称轴
D.圆的对称中心是它的圆心C2.已知☉O中最长的弦为8 cm,则☉O的半径为 ( )
A.2 cm B.4 cm
C.8 cm D.16 cmB3. [2018·烟台]如图26-1,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为 .?图26-1[答案] (-1,-2)
[解析]如图,连结AB,BC,分别作AB和BC的垂直平分线,交于G点.由图知,点G的坐标为(-1,-2).
知识梳理1.圆的有关概念线段2.确定圆的条件垂直平分线考点二 点与圆的位置关系A图26-2知识梳理drd=r考点三 垂径定理及其推论图26-3[答案] A 2. [2019·衢州]一块圆形宣传标志牌如图26-4所示,点A,B,C在☉O上,CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8 dm,DC=2 dm,则圆形标志牌的半径为 ( )
A.6 dm B.5 dm C.4 dm D.3 dmB图26-4知识梳理平分这条弦不是直径弦所对的弧垂直平分考点四 圆周角与圆内接多边形1. [2019·赤峰]如图26-5,AB是☉O的弦, OC⊥AB交☉O于点C,点D是☉O上一点, ∠ADC=30°,则∠BOC的度数为 ( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°图26-5[答案] D
2. [2019·娄底]如图26-6,C,D两点在以AB为直径的圆上,AB=2, ∠ACD=30°,则AD= .?图26-6[答案] 1
图26-7[答案] 155° 知识梳理直角圆上相交直径相等相等(续表)互补180°(续表)考向一 垂径定理及其推论的应用图26-8例1 [2018·嘉兴]如图26-8,量角器的0度刻度线为AB.将一矩形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边与量角器相切于点C,直尺另一边交量角器于点A,D,量得AD=10 cm,点D在量角器上的读数为60°.则该直尺的宽度为 cm.?【方法点析】利用垂径定理进行计算或证明时,所作的弦心距是一条常规辅助线,而相关的计算往往抓住半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形来解.| 考向精练 |图26-9A考向二 圆心角、弧、弦、弦心距的关系图26-10图26-10【方法点析】在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦、弦心距四组量中,要证其中的一组量相等可通过其他三组量中的一组进行转化.| 考向精练 |图26-11[2019·南京]如图26-11,☉O的弦AB,CD的延长线相交于点P,且AB=CD.
求证:PA=PC.考向三 圆周角相关性质的应用图26-12解:(1)证明:连结AE.
∵∠BAC=90°,∴CF是☉O的直径.
∵AC=EC,∴CF⊥AE.
∵AD为☉O的直径,∴∠AED=90°,
即GD⊥AE,∴CF∥DG.
∵AD为☉O的直径,∴∠ACD=90°,
∴∠ACD+∠BAC=180°,∴AB∥CD,
∴四边形DCFG为平行四边形.图26-12【方法点析】在圆中求角的度数或证明角相等,需牢记“同弧所对的圆周角相等,圆内接四边形对角互补”等性质定理.| 考向精练 |图26-13[答案] C 图26-14图26-14解:(2)证明:∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,
∴△PAN∽△PMB.图26-15[答案] D 图26-16D图26-17[答案] D 4. [2019·湖州]已知一条弧所对的圆周角的度数为15°,则它所对的圆心角的度数是 .?30°5.一条排水管的截面如图26-18所示,已知排水管的半径OA=1 m,水面宽AB=1.2 m,某天下雨后,排水管水面上升了0.2 m,则此时排水管水面的宽CD等于 m.?图26-18[答案] 1.6
[解析]连结OD,OB,作OE⊥AB,垂足为E,与CD交于点F,则OB=1 m, EB=0.6 m,根据勾股定理得OE=0.8 m,而EF=0.2 m, 则OF=0.6 m,在Rt△ODF中, OF=0.6 m,OD=1 m,得FD=0.8 m,因此CD=1.6 m.6. [2019·嘉兴]如图26-19,在☉O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连结OC,过点C作CD⊥OC交☉O于点D,则CD的最大值为 .?图26-19
7.已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图26-20).
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.图26-20课时训练(二十六) 圆的基本性质
|夯实基础|
1.[2019·凉山州]下列命题:①直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;②两点之间线段最短;③相等的圆心角所对的弧相等;④平分弦的直径垂直于弦.其中,真命题的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.[2019·宜昌]如图K26-1,点A,B,C均在☉O上,当∠OBC=40°时,∠A的度数是 ( )
图K26-1
A.50° B.55°
C.60° D.65°
3.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CP,CM分别是AB上的高和中线,如果圆A是以点A为圆心,半径长为2的圆,那么下列判断正确的是 ( )
A.点P,M均在圆A内
B.点P,M均在圆A外
C.点P在圆A内,点M在圆A外
D.点P在圆A外,点M在圆A内
4.[2018·威海]如图K26-2,☉O的半径为5,AB为弦,点C为AB的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的长为 ( )
图K26-2
A.12 B.5
C.532 D.53
5.[2019·天水]如图K26-3,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连结AC,AE.若∠D=80°,则∠EAC的度数为 ( )
图K26-3
A.20° B.25° C.30° D.35°
6.[2019·威海]如图K26-4,☉P与x轴交于点A(—5,0),B(1,0),与y轴的正半轴交于点C,若∠ACB=60°,则点C的纵坐标为 ( )
图K26-4
A.13+3 B.22+3
C.42 D.22+2
7.[2018·杭州]如图K26-5,AB是☉O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DE⊥AB,交☉O于D,E两点,过点D作直径DF,连结AF,则∠DFA= .?
图K26-5
8.[2019·台州]如图K26-6,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连结AE,若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为 .?
图K26-6
9.[2018·绍兴]等腰三角形ABC中,顶角A为40°,点P在以A为圆心,BC长为半径的圆上,且BP=BA,则∠PBC的度数为 .?
10.如图K26-7,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的☉O交AB于点D,交BC于点E.
(1)求证:BE=CE;
(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.
图K26-7
11.[2019·安徽]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图K26-8,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.
(参考数据:sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)
图K26-8
12.[2019·绍兴]在屏幕上有如下内容:
如图K26-9,△ABC内接于圆O,直径AB的长为2,过点C的切线交AB的延长线于点D.
张老师要求添加条件后,编制一道题目,并解答.
(1)在屏幕内容中添加条件∠D=30°,求AD的长,请你解答.
(2)以下是小明,小聪的对话:
小明:我加的条件是BD=1,就可以求出AD的长.
小聪:你这样太简单了,我加的是∠A=30°,连结OC,就可以证明△ACB与△DCO全等.
参考此对话,在屏幕内容中添加条件,编制一道题目(可以添线、添字母),并解答.
图K26-9
|拓展提升|
13.[2019·乐山]如图K26-10,抛物线y=14x2-4与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连结OQ.则线段OQ的最大值是 ( )
图K26-10
A.3 B.412 C.72 D.4
14.[2019·宁波]如图K26-11①,☉O经过等边三角形ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连结DE,BF⊥EC交AE于点F.
(1)求证:BD=BE;
(2)当AF∶EF=3∶2,AC=6时,求AE的长;
(3)设AFEF=x,tan∠DAE=y.
①求y关于x的函数表达式;
②如图②,连结OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值.
图K26-11
【参考答案】
1.A 2.A 3.C
4.D [解析]如图,连结OA,OC,OC交AB于点M.根据垂径定理可知OC垂直平分AB,因为∠ABC=30°,故∠AOC=60°,在Rt△AOM中,sin60°=AMOA=AM5=32,故AM=532,即AB=53.故选D.
5.C [解析]∵四边形ABCD是菱形,∠D=80°,
∴∠ACB=12∠DCB=12(180°-∠D)=50°.
∵四边形AECD是圆内接四边形,
∴∠AEB=∠D=80°,
∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°.
6.B [解析]连结PA,PB,PC,过点P分别作PF⊥AB,PE⊥OC,垂足为F,E.
由题意可知:四边形PFOE为矩形,
∴PE=OF,PF=OE.
∵∠ACB=60°,∴∠APB=120°.
∵PA=PB,∴∠PAB=∠PBA=30°.
∵PF⊥AB,∴AF=BF=3,∴PE=OF=2.
∵tan30°=PFAF,cos30°=AFAP,
∴PF=3,AP=23,
∴OE=3,PC=23.
在Rt△PEC中,CE=PC2-PE2=22,
∴OC=CE+EO=22+3.
7.30° [解析]∵AB⊥DE,且C为OA中点,∴OC=AC=12DO,∴∠DOC=60°.∴∠DFA=30°.
8.52° [解析]∵圆内接四边形ABCD,
∴∠B+∠D=180°,
∵∠B=64°,∴∠D=116°,
又∵点D关于AC的对称点是点E,
∴∠D=∠AEC=116°,
又∵∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠BAE=52°.
9.30°或110° [解析]分两种情况:(1)如图,BP=BA=AC,AP=BC,∴四边形APBC为平行四边形,∴∠BAC=∠ABP=40°,∠ABC=∠ACB=70°,∴∠PBC=∠ABP+∠ABC=40°+70°=110°.
(2)如图,∵AP=BC,BP=AC,AB=AB,
∴△BAP≌△ABC,∠PBA=∠BAC=40°,
∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=70°-40°=30°.
10.解:(1)证明:如图①,连结AE.
∵AC为☉O的直径,
∴∠AEC=90°,∴AE⊥BC.
又∵AB=AC,∴BE=CE.
(2)如图②,连结DE.
∵四边形ACED为☉O的内接四边形,
∴∠BED=∠BAC.
又∵∠B=∠B,∴△BED∽△BAC,
∴BEBA=BDBC.
∵BE=CE=3,∴BC=6.
又∵BD=2,∴3BA=26,∴BA=9,∴AC=9.
11.解:连结CO并延长,交AB于点D,∴CD⊥AB,且D为AB中点,所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长.
在Rt△AOD中,∵AD=12AB=3,∠OAD=41.3°,
∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64,OA=ADcos41.3°≈30.75=4,
∴CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64(米).
答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.
12.解:(1)连结OC,如图.
∵CD与☉O相切,
∴∠OCD=90°,
又∵∠D=30°,
∴OD=2OC=2,
∴AD=OA+OD=3.
(2)一类:通过几何、代数方法的综合运用,解得所编制题目的答案.
如:加条件CP是直径,连结PD,设BD=x,PD=y,求y关于x的关系式.解答略.
二类:通过三角形全等,三角形相似,解得所编制题目的答案.
如:加条件∠ABC=60°,连结OC,求证:△ACB≌△DCO.解答略.
如:加条件∠ABC=60°,求BC的长.解答略.
13.C [解析] 连结BP,如图,
当y=0时,14x2-4=0,
解得x1=4,x2=-4,
则A(-4,0),B(4,0),
∵Q是线段PA的中点,
∴OQ为△ABP的中位线,
∴OQ=12BP,当BP最大时,OQ最大,
而BP过圆心C时,PB最大,如图,点P运动到P'位置时,BP最大,
∵BC=32+42=5,
∴BP'=5+2=7,
∴线段OQ的最大值是72.
14.[解析] (1)利用等边三角形的性质和圆周角定理,得到∠BED=∠BDE,由等角对等边,得到结论;(2)作AG⊥EC于点G,由三线合一求出AG,BG长,利用平行线分线段成比例,求得EB,进而通过勾股定理得到AE的长;(3)①作EH⊥AD于点H,构造直角三角形,利用比例关系,写出EH,AH的代数式,进而求得y关于x的表达式;②作OM⊥EC于点M,构造相似,得到比例式,表示出两个三角形的面积,根据10倍关系,得到方程,即可解得y的值.
解:(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,∵∠DEB=∠BAC=60°,∠D=∠C=60°,∴∠DEB=∠D,∴BD=BE.
(2)如图,过点A作AG⊥EC于点G,
∵△ABC为等边三角形,AC=6,
∴BG=12BC=12AC=3.
在Rt△ABG中,AG=3BG=33.
∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴AFEF=BGEB.
∵AF∶EF=3∶2,
∴BE=23BG=2,
∴EG=BE+BG=2+3=5,
∴在Rt△AEG中,AE=AG2+EG2=213.
(3)①如图,过点E作EH⊥AD于点H,
∵∠EBD=∠ABC=60°,
∴在Rt△BEH中,EHEB=sin60°=32,
∴EH=32BE,BH=12BE.
∵BGEB=AFEF=x,
∴BG=xBE,
∴AB=BC=2BG=2xBE,
∴AH=AB+BH=2xBE+12BE=2x+12BE.
Rt△AHE中,tan∠EAD=EHAH=32BE(2x+12)BE=34x+1,∴y=34x+1.
②如图,过点O作OM⊥EC于点M,
设BE=a,∵BGEB=AFEF=x,
∴CG=BG=xBE=ax,
∴EC=CG+BG+BE=a+2ax,
∴EM=12EC=12a+ax,
∴BM=EM-BE=ax-12a,
∵BF∥AG,
∴△EBF∽△EGA,
∴BFAG=BEEG=aa+ax=11+x.
∵AG=3BG=3ax,
∴BF=11+xAG=3ax1+x,
△OFB的面积=BF·BM2=12×3axx+1ax-12a,
△AEC的面积=EC·AG2=12×3ax(a+2ax),
∵△AEC的面积是△OFB的面积的10倍,
∴10×12×3axx+1ax-12a=12×3ax(a+2ax),
∴2x2-7x+6=0,
解得x1=2,x2=32,
∴y=39或37.
