人教版九年级数学上册22．2：二次函数与一元二次方程 学案（解析版）

二次函数与一元二次方程
知识集结
知识元
利用二次函数图象与 x 轴的交点求方程的解
知识讲解
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根，
反之一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标.
?
例题精讲
利用二次函数图象与 x 轴的交点求方程的解
例1.
若二次函数的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程的实数根为（　　）
A．x1=0，x2=4 B．x1=﹣2，x2=6
C．， D．x1=﹣4，x2=0
【答案】A
【解析】
题干解析:
二次函数的图象经过点（﹣2，0），得到4a+1=0，求得a=﹣，代入方程即可得到结论．
解：∵二次函数的图象经过点（﹣2，0），
∴4a+1=0，∴a=﹣，
∴方程a（x﹣2）2+1=0为：方程﹣（x﹣2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，故选A．
例2.
已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解是 .

【答案】
-1，3
【解析】
题干解析:观察图象可得，二次函数的图象开口向下，对称轴为x=1，其中一个交点为（3,0），利用对称可得另一交点为（-1,0），所以方程的解为-1，3.
例3.
已知二次函数，
（1）当m为何值时，函数的图象与x轴有2个交点？
（2）如函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围；
（3）当函数的图象与x轴相切时，求m的值.
【答案】
（1）;（2）;（3）.
【解析】
题干解析:（1）由二次函数的图象与x轴的交点的个数与其所对应的一元二次方程的根的个数的关系，来确定Δ的取值范围，进而求出m的取值范围.（1）有两个交点;（2）有交点；（3）相切只有一个交点.
利用二次函数图象与 x 轴的交点个数判断方程的根的个数
知识讲解
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数的判别即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的根情况的判别：①判别式法；②直接看方程法；③平移法.?
例题精讲
利用二次函数图象与 x 轴的交点个数判断方程的根的个数
例1.
抛物线y=kx2﹣6x+9与x轴有两个交点，则k的取值范围（　　）
A．k＜1且k≠0 B．k≠0
C．k＜1 D．k＞1
【答案】A
【解析】
题干解析:
解：根据题意得△=（﹣6）2﹣4k×9＞0，解得k＜1．
由于该函数为二次函数，则k≠0．∴k＜1且k≠0．故选A．
例2.
若函数的图象与x轴只有一个公共点，求m的值.
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:∵函数的图象与x轴只有一个公共点∴方程有两个相等的实根，即Δ==0，解得m1=-1，m2=3又∵a=(m+1)≠0∴m≠-1∴m=3
例3.
已知抛物线，
(1) 若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值；
(2) 若抛物线与直线只有一个交点，求m的值；
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:（1）∵函数的图象与x轴只有一个公共点∴方程有两个相等的实根，即Δ=，解得m=0（2）抛物线与直线只有一个交点，得方程组消去y，整理，得∵有唯一交点，∴，解得
二次函数的图象与系数的关系
知识讲解
考查抛物线与二次函数系数之间的关系，注意数形结合的思想的应用.
例题精讲
二次函数的图象与系数的关系
例1.
已知：抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B左侧），顶点为M，平移该抛物线，使M平移后的对应点M’落在x轴上，点B平移后的对应点B’落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
题干解析:
当y=0，则
，解得
∴A（1,0）B（3,0）

∴M点坐标为（2，-1）
∵平移抛物线，使点M平移后的对应点M’落在x轴上，点B平移后的对应点B’落在y轴上，
∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度，
∴平移后的解析式为：,选A。
已知二次函数的图象是由的图象经过平移而得到，若图象与x轴交于A、C（﹣1，0）两点，与y轴交于D（0，），顶点为B，则四边形ABCD的面积为（ ??）??
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【解析】
题干解析:
待定系数法求二次函数解析式.由题意得，，∴，
又∵抛物线过C（﹣1，0），D（0，），
∴，c=，∴b=3，
∴；?
则=﹣3, =﹣2，所以顶点B的坐标为（﹣3，﹣2），；?
令y=0，得，，解得x1=﹣1，x2=﹣5，
则A点坐标为（﹣5，0），AC=﹣1﹣（﹣5）=4；
如图：

S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD =9，故选A.
例3.
若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是　 　．
【答案】
m＞9
【解析】
题干解析:解：∵抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，∴△=b2﹣4ac＜0，∴（﹣6）2﹣4×1?m＜0，解得m＞9，∴m的取值范围是m＞9．故答案为：m＞9．　
利用二次函数的图象与 x 轴的交点求相应一元二次方程的近似解
知识讲解
根据二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，求相应的一元二次方程的近似解，应用的典型技巧是与x轴上的交点的两侧的点的纵坐标正负性不同，再通过不断地逼近逐步精确解的近似值.
?
例题精讲
利用二次函数的图象与 x 轴的交点求相应一元二次方程的近似解
例1.
根据下列表格的对应值：
x 2.51 2.52 2.53 2.54
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09

判断方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的一个解x的取值范围（ ）.
A．2.5 B．2.51 C．2.52 D．2.53
【答案】C
【解析】
题干解析:
令y=0，则x的取值范围大致在2.52-2.53之间.
例2.
根据下列表格中代数式ax2+bx+c与x的对应值，判断方程的一个根x的大致范围是( )
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.06

A．6B．6.17C．6.18D．6.19【答案】C
【解析】
题干解析:
略
例3.
为估算方程的解，填写下表：
x -2 -1 0 1 2 3 4
0 -5 -8 -9 -8 -5 0

由此判断方程的解是_____________.
【答案】
-2或4
【解析】
题干解析:略
利用二次函数的图象求相应一元二次不等式
知识讲解
掌握二次函数的性质与一元二次不等式之间的关系，先求出图象与x轴的交点，然后找出当y>0或y<0时，自变量x的范围，锻炼大家的数形结合的思想方法。
二次函数的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，方程的两实根为x1,x2,
当a>0时，不等式>0的解集是xx2;
不等式<0的解集是x1 例题精讲
利用二次函数的图象求相应一元二次不等式
例1.
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为（﹣2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的范围是（　　）

A．x＞4或x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4
C．﹣2＜x＜3 D．0＜x＜3
【答案】B
【解析】
题干解析:
解：∵y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），∴y＜0时x的范围是﹣2＜x＜4，故选B．
例2.
已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围　 　．
【答案】
k≥﹣且k≠0
【解析】
题干解析:解：∵二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，∴，∴k≥﹣且k≠0．故答案为k≥﹣且k≠0．
例3.
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0？
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．

【答案】
解：（1）图中可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3；（2）不等式ax2+bx+c＞0时，通过图中可以看出：当1＜x＜3时，y的值＞0，当x＜1或x＞3时，y＜0．（3）图中可以看出对称轴为x=2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小
【解析】
题干解析:（1）观察图形可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），即可解题；（2）根据抛物线y=ax2+bx+c，求得y＞0或y＜0的x取值范围即可解题；（3）图中可以看出抛物线对称轴，即可解题.
利用二次函数的图象比较函数值的大小
知识讲解
将不等式的两边分别看成两个函数解析式，利用函数的图象比较大小，若函数图象在上方，则函数值较大.
例题精讲
利用二次函数的图象比较函数值的大小
例1.
已知函数与函数的图象大致如图，若则自变量x的取值范围是（ ）

A．－＜x＜2 B．x＞2或x＜－
C．－2＜x＜ D．x＜－2或x＞
【答案】C
【解析】
题干解析:
观察图象可以发现，位于点A、B之间的部分，有成立，而此时，x的取值范围有选项A、选项C两种选择，进一步观察图象又可以发现A到y轴的距离大于B到y轴的距离，所以答案只能是－2＜x＜；此外本题也可以通过解方程组求出A、B两点的坐标，然后再判断.
例2.
如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线y=mx+n经A（-4，0）、C（0，3）两点．
（1）写出方程ax2+bx+c=0的解；
（2）若ax2+bx+c＞mx+n，写出x的取值范围．

【答案】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-4，0）、B（1，0），∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=-4，x2=1；（2）由图可知，ax2+bx+c＞mx+n时，-4＜x＜0．
【解析】
题干解析:本题考查二次函数与不等式的关系，是基础题，利用数形结合的思想是解题的关键．
当堂练习
单选题
练习1.
1.若二次函数的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程的实数根为（　　）
A．x1=0，x2=4 B．x1=﹣2，x2=6

C．， D．x1=﹣4，x2=0
练习2.
2.“如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程的两根，且0＜a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b
练习3.
根据下列表格中代数式与x的对应值，判断方程的一个根x的大致范围是( )
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.06

A．6B．6.17C．6.18D．6.19练习4.
已知函数与函数的图象大致如图，若则自变量x的取值范围是（ ）

A．－＜x＜2 B．x＞2或x＜－
C．－2＜x＜ D．x＜－2或x＞
练习5.
如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则不等式的解集是（??????）

A．x＞1 B．x＜－1
C．0＜x＜1 D．－1＜x＜0
练习6.
抛物线y=kx2﹣6x+9与x轴有两个交点，则k的取值范围（　　）
A．k＜1且k≠0 B．k≠0
C．k＜1 D．k＞1
填空题
练习1.
二次函数和一次函数的图象如图所示，则
时，x的取值范围是( )

练习2.
若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是　 　．
解答题
练习1.
已知二次函数，
（1）当m为何值时，函数的图象与x轴有2个交点？
（2）如函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围；
（3）当函数的图象与x轴相切时，求m的值.
练习2.
如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A、B两点．
（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；
（2）根据图象写出使y1＞y2的x的取值范围．



练习3.
已知二次函数y1=x2+2x+m﹣5．
（1）如果该二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如果该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），求它的表达式和点C的坐标；
（3）如果一次函数y2=px+q的图象经过点A、C，请根据图象直接写出y2＜y1时，x的取值范围．




单选题：AACCD A
填空题： m>9
解答题
练习1：【答案】
（1）;（2）;（3）.
【解析】
题干解析:（1）由二次函数的图象与x轴的交点的个数与其所对应的一元二次方程的根的个数的关系，来确定Δ的取值范围，进而求出m的取值范围.（1）有两个交点;（2）有交点；（3）相切只有一个交点.

练习2：【答案】
解：（1）由图象可知：B（2，4）在二次函数y2=ax2上，∴4=a×22，∴a=1，则二次函数y2=x2，又A（﹣1，n）在二次函数y2=x2上，∴n=（﹣1）2，∴n=1，则A（﹣1，1），又A、B两点在一次函数y1=kx+b上，∴，解得：，则一次函数y1=x+2，答：一次函数y1=x+2，二次函数y2=x2；（2）根据图象可知：当﹣1＜x＜2时，y1＞y2．
【解析】
题干解析:（1）把B坐标代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式，把A横坐标代入二次函数解析式即可求得点A坐标；把A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求得一次函数的解析式；（2）应从交点看一次函数的值大于二次函数的值时x的取值．

练习3：【答案】
解：（1）∵二次函数y1=x2+2x+m﹣5的图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴22﹣4（m﹣5）＞0，解得：m＜6；（2）∵二次函数y1=x2+2x+m﹣5的图象经过点（1，0），∴1+2+m﹣5=0，解得：m=2，∴它的表达式是y1=x2+2x﹣3，∵当x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）；（3）由图象可知：当y2＜y1时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞0．
【解析】
题干解析:（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点得出判别式△＞0，得出不等式，解不等式即可；（2）二次函数y1=x2+2x+m﹣5的图象经过把点B坐标代入二次函数解析式求出m的值，即可得出结果；点B（1，0）；（3）由图象可知：当y2＜y1时，比较两个函数图象的位置，即可得出结果．