苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：25对数函数(基础)

对数函数及其性质

【学习目标】
1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；
2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；
3．了解反函数的概念，知道指数函数与对数函数互为反函数．
【典型例题】
类型一、对数函数的概念
例1.下列函数中，哪些是对数函数？
（1）；
（2）
（3）；
（4）；
（5）．
【答案】（5）
【解析】（1）中真数不是自变量，不是对数函数．
（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．
（3）中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数．
（4）中底数是自变量，二非常数，所以不是对数函数．
（5）中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数．
【总结升华】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件．
类型二、对数函数的定义域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.
例2. 求下列函数的定义域：
(1)； (2).
【答案】（1）；（2）．
【解析】由对数函数的定义知：，，解出不等式就可求出定义域.
(1)因为，即，所以函数；
(2)因为，即，所以函数.
【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．
举一反三：
【变式1】求函数的定义域.
【答案】(1，)(，2]
【解析】因为， 所以，
所以函数的定义域为(1，)(，2].
类型三、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.
例3. 比较下列各组数中的两个值大小：
(1)；
(2)；
(3)与；
(4) 与．
(5)（）．
【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。
【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略．
【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.
(1)解法1：画出对数函数的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，；
解法2：由函数在R+上是单调增函数，且3.6<8.9，所以；
(2)与第(1)小题类似，在R+上是单调减函数，且1.9<3.5，所以；
(3)函数和的图象如图所示．当时，的图象在的图象上方，这里，．
(4)
(5) 注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当时，在(0，+∞)上是增函数，且4.2<4.8，所以，
当时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，
解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，
令，则，令，则
当时，在R上是增函数，且4.2<4.8，
所以，b1当时，在R上是减函数，且4.2<4.8
所以，b1>b2，即.
【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：
（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．
（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．
（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．

例4．利用对数函数的性质比较、、的大小．
【答案】
【解析】，，，只需比较与的大小即可



【总结升华】本题也可以使用一个常用的结论：类似于的一个结论，，得出三个数的大小．
举一反三：
【变式1】（2019年福建三明月考）设，，，则（ ）
A． a＜b＜c B． a＜c＜b C． b＜c＜a D． b＜a＜c
【思路点拨】直接判断对数值的范围，利用对数函数的单调性比较即可．
【答案】D
【解析】∵，，
，
．
∴b＜a＜c．
故选：D．
【总结升华】本题考查对数函数的单调性，对数值的大小比较，用单调性比较大小是函数单调性的一个重要应用．
例5．（2019年安徽亳州月考）已知函数在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（）
A． （－∞，4） B． （－4，4] C． （－∞，－4）∪[2，+∞） D． [－4，2）
【思路点拨】由题意知函数是由和复合而来，由复合函数单调性结论，只要t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且f（x）＞0即可．
【答案】B
【解析】令，由题意知：
t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且t（x）＞0
又a∈R+解得：－4＜a≤4
则实数a的取值范围是（－4，4]
故选B．
【总结升华】本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本．
举一反三：
【变式1】求函数的值域和单调区间．
【答案】；减区间为，增区间为．
【解析】设，则，∵ y=为增函数，
的值域为．
再由：的定义域为
在上是递增而在上递减，而为增函数
∴ 函数y=的减区间为，增区间为.
类型四、函数的奇偶性
例6. 判断下列函数的奇偶性.
(1) (2).
【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。
【答案】（1）奇函数；（2）奇函数．
【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.
(1)由
所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称
又
所以函数是奇函数；
【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
(2)由
所以函数的定义域为R关于原点对称
又
即f(-x)=-f(x)；所以函数.
【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.
类型五、利用函数图象解不等式
例7．若不等式，当时恒成立，求实数a的取值范围．
【思路点拨】画出函数的图象与函数的图象，然后借助图象去求借。
【答案】
【解析】 要使不等式在时恒成立，即函数的图在内恒在函数图象的上方，而图象过点．由右图可知，，显然这里0＜a＜1，∴函数递减．又，∴，即．∴所求的a的取值范围为．
【总结升华】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．本例中，利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．
在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．
举一反三：
【变式1】 当x∈（1，2）时，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】1＜a≤2
【解析】设，，要使当x∈（1，2）时，不等式恒成立，只需在（1，2）上的图象在的下方即可．当0＜a＜1时，由图象知显然不成立．当a＞1时，如图2-2-5所示，要使在（1，2）上，的图象在的下方，
只需，
即，，∴1＜a≤2．
类型六：对数函数性质的综合应用
例8．（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）已知函数的值域为，求实数的取值范围；
（3）的定义域为，求实数的取值范围．
【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.的定义域为R，即关于的不等式的解集为R，这是不等式中的常规问题.
的值域为R与恒为正值是不等价的，因为这里要求取遍一切实数，即要求取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使能取遍一切正数的条件是.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
（1）的定义域为R，
恒成立，，．
（2）的值域为R，
取遍一切正数，，．
（3）由题意，问题可等价转化为不等式的解集为，记作图形，如图所示，只需过点，，即满足，且即可，解得．所以由图象可以看出若，则，即，得：，所以。
【总结升华】如果函数的定义域为某个区间D，则函数在这个区间D的任何子集内部都有意义；如果函数在区间E上有意义，而的定义域为D，则必有．
举一反三：
【变式1】已知函数.
（1）若函数的定义域为R，求实数的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数的取值范围.
【答案】（1）a＞1；（2）0≤a≤1．
【解析】（1）的定义域为R，即：关于x的不等式的解集为R，
当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；
当a≠0时，有 a>1.∴ a的取值范围为a>1.
（2）f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或0≤a≤1，
∴ a的取值范围为0≤a≤1.
【巩固练习】
1．若，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
2．（2019 福建莆田月考）函数的定义域为（ ）
A．（0，e] B．（－∞，e] C．（0，10] D．（－∞，10]
3．函数的图象关于（ ）
A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称
4．函数的大致图象是（ ）
5．设，，，则（　　　）．
A． B． C． D．
6．图中曲线是对数函数y=logax的图象，已知a值取，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )
A． B．
C． D．
7．函数的值域为( )
A． B． C． D．
8．下列函数中，在上为增函数的是( )
A． B．
C． D．
9．（2019年江苏淮安月考）函数（a＞0且a≠1）必过定点 ．
10．已知，则、、0、1间的大小关系是 。
11．已知函数，则 ．
12．函数是 (奇、偶)函数．
13．（2019 安徽郎溪返校考）已知函数其中
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为，求的值。
14． 已知函数（）
（1）若函数的反函数是其本身，求的值；
（2）当时，求函数的最大值。
15．设
（1）判断f(x)的单调性，并给出证明；
（2）若f(x)的反函数为f-1(x)，证明f-1(x)=0有唯一解；
（3）解关于x的不等式．
【答案与解析】
1． 【答案】D
【解析】由，当时，为增函数，所以，得；当时，为减函数，所以，得，故选D。
2．【答案】A
分析：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
【解析】∵函数，
∴1－lnx≥0，
即lnx≤1；
解得0＜x≤e，
∴函数y的定义域为（0，e]．
故选：A．
点评：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，求出使解析式有意义的不等式的解集．
3． 【答案】C
【解析】=，为奇函数，故其图象关于原点对称。　
4． 【答案】D　
【解析】易知为奇函数，又时，，所以选D。
5． 【答案】D　
【解析】因为，，所以
，所以，故选Ｄ．
6． 【答案】A
【解析】在第一象限内，，从顺时针方向看图象，逐渐增大，；在第四象限内，，从顺时针方向看图象，逐渐增大，；所以相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为．选A．
7． 【答案】A　
【解析】因为，所以=，故选A。
8． 【答案】A　
【解析】复合函数的单调性是由内函数、外函数的单调性决定的，两个函数的单调性“同增异减”，即内外函数的单调性相同，复合函数单调增；内外函数的单调性相反，复合函数单调减。
9．【答案】（0，2）
分析：根据函数 过定点（1，0），得函数（a＞0且a≠1）必过定点（0，2）．
【解析】由于函数过定点（1，0），
则在函数中，
令2x+1=1，可得x=0，此时，
故函数（a＞0且a≠1）必过定点（0，2）．
故答案为 （0，2）．
点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点．
10．【答案】
【解析】 ，。又在（0,1）内递增且函数值小于0，。
11．【答案】1
【解析】由得，。
12． 【答案】奇
【解析】为奇函数．
13．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由 解得
∴ 函数的定义域为
（2）函数可化为
∵－3＜x＜1 ，∴
∵a∈（0，1），∴函数的最小值为
由 ，得 ，∴
14． 【答案】（1）2 （2）
【解析】（1）函数的反函数，
由题意可得，。
（2）由题意可知，解得，则的定义域为。
=。
，当且仅当时等号成立。
。
当时，函数在处取得最大值。
15．【解析】（1）由 得-1设-1 　　 ，
又因为(1-x1)(1+x2)-(1-x2)(1+x1)
=(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)>0，
(1-x1)(1+x2)>0， (1+x1)(1-x2)>0，
所以
所以，又易知，
∴ f(x1)-f(x2)>0 ， 即f(x1)>f(x2)． 故f(x)在(-1，1)上是减函数．
（2）因为，所以， 即f-1(x)=0有一个根．
假设f-1(x)=0还有一个根，则f-1(x0)=0，
即，这与f(x)在(-1，1)内单调递减相矛盾．
故是方程f-1(x)=0的唯一解．
3)因为，所以．
又f(x)在(-1，1)上单调递减，所以．
解得．