苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：27幂函数及图象变换(基础)

幂函数及图象变换

【学习目标】
1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.
2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。
3．掌握初等函数图象变换的常用方法．
【典型例题】
类型一、求函数解析式
例1.已知是幂函数，求、的值．
【答案】
【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组．
由题意得解得
即为所求．
【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．
举一反三：
【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
答案：（4）、（5）是幂函数．
类型二、幂函数的图象
例2.给定一组函数的解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，如右图的一组函数图象．请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内．
【答案】⑥④③②⑦①⑤
【解析】根据幂函数的图象特征确定相应的图象．
由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知，而第一个图象关于原点对称，即为奇函数；第二个图象关于轴对称，即为偶函数；第三个图象在轴左侧无图象，即在上无意义，因而这三个图象应分别填⑥④③．
由第四、五、六个图象在第一象限的图象特征可知，而第四个图象关于轴对称，即为偶函数；第五个图象关于原点对称，即为奇函数；第六个图象在轴左侧无图象，即函数在上无意义，因而这三个图象应分别填②⑦①．
最后一个图象对应的幂指数大于1，故填⑤．
【总结升华】确定这类图象对应的函数解析式的顺序是：先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．
举一反三：
【变式1】已知幂函数的图象如图所示，则（ ）
A.均为奇数，且 B.为偶数，为奇数，且
C. 为奇数，为偶数，且 D. 为奇数，为偶数，且
【答案】D．由函数图象关于轴对称知，函数为偶函数，故为偶数，为奇数．由函数图象在第一象限为减函数知．
【变式2】函数的图象是（ ）
【答案】B
【解析】已知函数解析式和图象，可以用取点验证的方法判断．
取，则，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．
类型三、幂函数的性质
例3.比较下列各组数的大小.
(1)与； (2)与.
【答案】（1）；（2）。
【解析】(1)由于幂函数()单调递减且，∴.
(2)由于这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)
因此，，，而(x>0)单调递减，且，
∴ .即.
【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.
(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.
举一反三：
【变式1】比较，，的大小.
【答案】
【解析】先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.
在上单调递增，且，
.
作出函数与在第一象限内的图象，
易知.
故.
类型四、求参数的范围
例4. 讨论函数在时，随着的增大其函数值的变化情况。
【解析】（1）当即或时，为常数函数；
（2）当，即或 时，此时函数为常数函数；
（3）当即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小；
（4）当即或时，函数为增函数，函数值随的增大而增大；
（5）当即时，函数为增函数，函数值随的增大而增大；
（6）当即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小。
【总结升华】当所研究的函数中含有参数时，要对参数进行讨论，此题中系数和指数上都含有参数，要分别进行讨论，除特殊情况外，要对参数和指数分为同号和异号讨论。
举一反三：
【变式1】若，求实数a的取值范围.
解法1：∵， 考察的图象，得以下四种可能情况:
(1) (2) (3) (4)
分别解得:(1). (2)无解. (3). (4).
∴a的取值范围是.
解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，
∴　要使， 即， 解得:.
【总结升华】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.
类型五、幂函数的应用
例5. 求出函数的单调区间，并比较与的大小。
【答案】在上是增函数，在上是减函数
【解析】==，因此将幂函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得带函数的图象，由此可知，在上是增函数，在上是减函数。
在上找出点关于直线的对称点。
由，
。
【总结升华】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型。解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题。当一个函数的图象有对称轴时，对于定义域内的任意两个值、，要比较和的大小，需要把、两个数值转化到同一个单调区间内。
举一反三：
【变式1】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性．
【答案】，奇函数，在上单调递增
【解析】（1）是正偶数，
是正奇数．
函数的定义域为．
（2）是正奇数，
，且定义域关于原点对称．
是上的奇函数．
（3），且是正奇数，
函数在上单调递增．
类型六、基本初等函数图象变换
例6．作出下列函数的图象：
(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.
【解析】(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3).

【总结升华】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图法来作出函数图象即可。
一般地，函数（为实数）的图象是由函数的图象沿轴向右（或向左）平移个单位（此时为的图象），再沿轴向上（或向下）平移个单位而得。
含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函数的图象与的图象，在时相同，而在时，关于轴对称。
举一反三：

【变式1】作出的图象。
【解析】
先画出的图象，然后
如下图：
【变式2】作函数的图象。
【解析】作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后适当地变换，分步骤完成。
第一步：作的图象甲。
第二步：将的图象沿轴向左平移1个单位，得的图象乙。
第三步：将的图象在轴下方的部分作关于轴的对称变换，得的图象丙。
第四步：将的图象沿轴向上平移2个单位，便得到所求函数的图象丁。
巩固练习
一、选择题
1．下列函数中，是幂函数的个数是（ ）．
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函数的定义域是( )
A.[0，+∞） B.(-∞，0) C.(0，+∞) D.R
3.函数的图象是( )
4.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是( )
A. B. C. D.
5.幂函数，其中m∈N，且在(0，+∞)上是减函数，又，则m=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.若幂函数的图象在0A.<1 B.>1 C.0<<1 D.<0
7.下列结论中正确的个数有( )
(1)幂函数的图象一定过原点； 　　 (2) 当<0时,幂函数是减函数；
(3)当>0时，幂函数是增函数；(4)函数既是二次函数，又是幂函数.
A.0 B.1 C.2 D.3
8. 三个数，，的大小顺序是( )
A.c二、填空题
9.若幂函数的图象经过点，则的值是 .
10.若幂函数的图象不过原点，则的值为 .
11.若，则实数a的取值范围是 .
12．函数的单调递减区间为 .
三、解答题
13.比较下列各组中两个值大小
(1) (2)
14. 已知函数和的图象关于原点对称，且．
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式函数．
答案与解析
一、选择题
1．B 根据幂函数的定义判断，是幂函数．
2.C 函数，所以函数的定义域是．
3.C 函数，因为，所以这个函数为偶函数，图象关于轴对称，可能是或，又，所以当时，图象应在直线的下方，故选C．
4. A 函数，所以函数是偶函数，又，所以函数在区间上单调递减，故选A．
5.B 因为函数，其中m∈N，且在(0，+∞)上是减函数，所以，即，又函数是偶函数，故．
6.B 幂函数，考察指数函数的增减性知，．
7.A 幂函数，当时，图象一定过原点，当时，图象一定不过原点,故(1)不对．当时，幂函数图象在上是减函数，故（2）不对．当时，幂函数图象在上是增函数，故（3）不对．函数是二次函数，不是幂函数，故（4）不对．
8. A ,易知，又函数在上单调递增，所以，故选A．
二、填空题
9. 设，则，即，得．
10.-6 由，解得或．又当时，指数不合题意；当时，，所以．
11. 由题意知解得．
12.和 将函数的单调区间向左平移一个单位即可．
三、解答题
13.解：(1)

(2)函数上增函数且
14. 解析：（1）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为，则，即，因为点在函数的图象上，所以，即．
（2）由，得
当时，，由函数的图象可知，此不等式无解．
当时，，由函数的图象，解得．
原不等式的解集为