苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：29函数与方程(基础)
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：29函数与方程(基础) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 289.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-05 12:55:26 | ||
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文档简介
函数与方程
【学习目标】
(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；
(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；
(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.
【经典例题】
类型一、求函数的零点
例1．已知函数．
（1）解方程(x+3)(x+1)(x―2)=0；
（2）画出函数的图象（简图），并求出函数的零点；
（3）讨论函数在零点两侧的函数值的正负．
【解析】（1）方程有三个根x1=―3，x2=―1，x3=2．
（2）函数的图象如右图，零点为―3，―1，2．
（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正．
【总结升华】（1）方程(x+3)(x+1)(x―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x+3=0或x+1=0或x―2=0，所以x=―3或x=―1或x=2；
（2）可以用描点的方法画出函数图象的简图；
（3）在x轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负．
举一反三：
【变式1】已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n
【答案】 B
【解析】由函数，我们可以看到a、b为的零点，且，如右图，则应有a＜m＜n＜b，故选B．
例2. 求下列函数的零点.
(1)；
(2).
【答案】（1）；（2）-1，1．
【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.
(1)由得，所以函数的零点是；
(2)由，令得x=1，-1，故函数的零点是-1，1.
【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.
举一反三：
【变式1】求函数：(1)；(2)的零点.
【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2．
【解析】(1)由求根公式解得
(2)方程可化为
由知
所以函数的零点为-3，1；函数的零点为-3，1，2.
【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.
类型二、函数零点的存在性定理
例3．已知函数，问：方程在区间内有没有实数根？为什么？
【答案】没有实数根
【解析】先求出及的值，进而确定和的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定在上有实数根．
，
且函数的图象是连续曲线，
在区间内有实数根
【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程在区间内有实数根，不一定有．
举一反三：
【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：
（1）
（2）；
【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在．
【解析】（1）
故在上存在零点．
（2）
故在区间上存在零点．
【变式2】若函数，则下列判断正确的是（ ）
A．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定有解
B．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定无解
C．函数f（x）是奇函数
D．函数f（x）是偶函数
【答案】A
类型三、一元二次方程根的分布
例4． 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0．
（1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求的取值范围．
（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】 （1）条件说明函数的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知，
，∴．
∴．
（2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有．
∴．
∴．
【点评】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用．
举一反三：
【变式1】 关于x的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0，求a为何值时：
（1）方程有一根；
（2）方程有一正一负根；
（3）方程两根都大于1；
（4）方程有一根大于1，一根小于1．
【答案】（1）或（2）（3）不存在实数（4）
【解析】（1）当a=0时，方程变为―2x―1=0，即，符合题意；
当时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以，解得．综上可知，当或时，关于的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0有一根．
（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得．又解得．
（3）方程两根都大于1，图象大致如图
所以必须满足
或两不等式组均无解．
所以不存在实数，使方程两根都大于1．
（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图
所以必须满足或解得．
类型四、用二分法求函数的零点的近似值
例5.求函数的一个正数零点(精确到0.1).
【答案】1.7
【解析】由于，可取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
[1，2]
1.5
-2.625
[1.5，2]
1.75
0.2344
[1.5，1.75]
1.625
-1.3027
[1.625，1.75]
1.6875
-0.5618
[1.6875，1.75]
1.71875
-0.1709
由上表计算可知，区间[1.6875，1.75]的长度1.75-1.6875=0.0625<0.1，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.
【总结升华】应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.
举一反三：
【变式1】若函数的一个正数零点附近的函数值
用二分法计算，其参考数据如下：
f（1）=－2
f（1.5）=0.625
f（1.25）=－0.984
f（1.375）=－0.260
f（1.4375）=0. 162
f（1.40625）=－0. 054
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
【变式2】用二分法求函数的一个正零点（精确到）
【答案】2.24
【解析】⑴由，可知函数的一个正零点在区间中；
⑵取的区间中点；
⑶计算；
⑷由于，则有零点的新区间为
⑸取的区间中点；
⑹计算；
⑺由于，则有零点的新区间为；
⑻取的区间中点；
⑼计算；
⑽由于，则有零点的新区间为；
⑾取的区间中点；
⑿计算；
⒀由于，则有零点的新区间为；
⒁取的区间中点
⒂计算；
⒃由于，则有零点的新区间为；
⒄取的区间中点；
⒅计算；
⒆由于，
⒇由于，则有零点的新区间为；又因为零点要求精确到，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数的一个正零点为：2.24.
类型五、用二分法解决实际问题
例6.某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．
（1）求2010年每台电脑的生产成本；
（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）
【答案】 （1）3200；（2）11%
【解析】 （1）设2010年每台电脑的生产成本为P元，根据题意，得P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P=3200（元）．
故2010年每台电脑的生产成本为3200元．
（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得5000(1－x)4=3200（0＜x＜1），令f(x)=5000(1―x)4―3200，作出x，f (x)的对应值表：
x
0
0.1
0.15
0.2
0.3
0.45
f (x)
1800
80.5
－590
－1153
－2000
－2742
观察上表，可知f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x0．取区间（0.1，0.15）的中点x1=0.125，可得f (0.125)≈－269．因为f (0.125)·f (0.1)＜0，所以x0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x2=0.1125，可得f (0.1125)≈－98．因为f (0.1)·f (0.1125)＜0，所以x0∈(0.1，0.1125)．
同理可得，x0∈(0.1，0.10625)，x0∈(0.103125，0.10625)，x0∈(0.104687，0.10625)，x0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．
举一反三：
【变式1】 如右图所示，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
（1）求出盒子的体积y（cm3）以x（cm）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
（2）如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？（精确到0.1 cm）
【答案】（1）y=x(15－2x)2 0＜x＜7.5 （2）0.8 cm或4.7 cm
【解析】（1）由题意，盒子的体积y以x为自变量的函数解析式y=x(15－2x)2，其定义域为，即0＜x＜7.5．
（2）原问题可转化为当y=150时，求方程x(15―2x)2=150的近似解．
设g(x)=x(15―2x)2―150，由于g(0)·g(1)＜0且g(4)·g(5)＜0．所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.8125－0.875|=0.0625＜0.1；在区间（4，5）内的近似解为4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.626－4.6875|=0.0625＜0.1．所以截去的小正方形的边长是0.8 cm或4.7 cm．
【巩固练习】
1．函数的零点是（ ）．
A.-1,4 B. -4,1 C.,1 D.，-1
2．函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
3．若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. ，且 D. ，且
4.已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（ ）
A. B. C. D.
5. 关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ ）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y=f（x）在[a，b]内的所有零点得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f（x）在[a，b]内的零点；
C．应用“二分法”求方程的近似解，y=f（x）在[a，b]内有可能无零点；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f（x）=0在[a，b]内的精确解．
6.若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )
A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根
8. 若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0；
B．若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b），使得f（c）=0；
C．若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0；
D．若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b），使得f（c）=0．
9.函数的零点是__________.
10．若至多只有一个零点，则的取值范围是 ．
11．已知抛物线的图象经过第一、二、四象限，则直线不经过第 象限．
12.三次方程在下列连续整数____________之间有根.
①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与3
13. 已知函数的一个零点为1．
（1）求函数的其他零点；
（2）求时的取值范围．
14．用二分法求在区间的一个实根(精确到0.01).
【答案与解析】
1. 【答案】B
【解析】令，解得，故选B．
2. 【答案】D
【解析】依题意知且，解得，且．
3. 【答案】C
【解析】依题意，，，解得且．
4. 【答案】C
【解析】由题意，可知，故在上必存在零点．
故选C.
5. 【答案】D.
【解析】 由“二分法”求方程的近似解基本思想可得。
6. 【答案】B
【解析】由方程的判别式小于0，可得，故选B.
7. 【答案】C
【解析】在[-1，1]上是增函数且
在上有唯一实根
在[-1，1] 上有唯一实根.故选C.
8. 【答案】C.
【解析】由零点存在性定理知C正确．
9. 【答案】
【解析】由得，所以函数的零点是.
10．【答案】
【解析】 依题意，或综上．
11．【答案】
【解析】二 由抛物线在第一、二、四象限知，所以，即不经过第二象限．
12. 【答案】①②④
【解析】 令
x
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
-1
1
-1
-1
7
29
在内均有根.
13.【解析】（1）依题意，设
所以解得令，即，解得．
所以函数的其他零点是．
（2）函数的三个零点将轴分成四个区间：．
作出函数的示意图如右图，观察图象得时，的取值范围是．
14．【答案】1.32
【解析】设
．
∴在内有实数解.
取为初始运算区间，用二分法逐次计算列表如下：
区间
中点
中点函数值
[1，1.5]
1.25
-0.296875
[1.25，1.5]
1.375
0.224609
[1.25，1.375]
1.3125
-0.051514
[1.3125，1.375]
1.34375
0.082611
[1.3125，1.34375]
1.328125
0.014576
[1.3125，1.328125]
1.3203125
-0.018711
[1.3203125，1.328125]
1.32421875
-0.002128
∵1.328125-1.3203125=0.0078155<0.01
∴所求根的近似值为
【学习目标】
(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；
(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；
(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.
【经典例题】
类型一、求函数的零点
例1．已知函数．
（1）解方程(x+3)(x+1)(x―2)=0；
（2）画出函数的图象（简图），并求出函数的零点；
（3）讨论函数在零点两侧的函数值的正负．
【解析】（1）方程有三个根x1=―3，x2=―1，x3=2．
（2）函数的图象如右图，零点为―3，―1，2．
（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正．
【总结升华】（1）方程(x+3)(x+1)(x―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x+3=0或x+1=0或x―2=0，所以x=―3或x=―1或x=2；
（2）可以用描点的方法画出函数图象的简图；
（3）在x轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负．
举一反三：
【变式1】已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n
【答案】 B
【解析】由函数，我们可以看到a、b为的零点，且，如右图，则应有a＜m＜n＜b，故选B．
例2. 求下列函数的零点.
(1)；
(2).
【答案】（1）；（2）-1，1．
【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.
(1)由得，所以函数的零点是；
(2)由，令得x=1，-1，故函数的零点是-1，1.
【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.
举一反三：
【变式1】求函数：(1)；(2)的零点.
【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2．
【解析】(1)由求根公式解得
(2)方程可化为
由知
所以函数的零点为-3，1；函数的零点为-3，1，2.
【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.
类型二、函数零点的存在性定理
例3．已知函数，问：方程在区间内有没有实数根？为什么？
【答案】没有实数根
【解析】先求出及的值，进而确定和的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定在上有实数根．
，
且函数的图象是连续曲线，
在区间内有实数根
【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程在区间内有实数根，不一定有．
举一反三：
【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：
（1）
（2）；
【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在．
【解析】（1）
故在上存在零点．
（2）
故在区间上存在零点．
【变式2】若函数，则下列判断正确的是（ ）
A．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定有解
B．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定无解
C．函数f（x）是奇函数
D．函数f（x）是偶函数
【答案】A
类型三、一元二次方程根的分布
例4． 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0．
（1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求的取值范围．
（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】 （1）条件说明函数的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知，
，∴．
∴．
（2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有．
∴．
∴．
【点评】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用．
举一反三：
【变式1】 关于x的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0，求a为何值时：
（1）方程有一根；
（2）方程有一正一负根；
（3）方程两根都大于1；
（4）方程有一根大于1，一根小于1．
【答案】（1）或（2）（3）不存在实数（4）
【解析】（1）当a=0时，方程变为―2x―1=0，即，符合题意；
当时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以，解得．综上可知，当或时，关于的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0有一根．
（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得．又解得．
（3）方程两根都大于1，图象大致如图
所以必须满足
或两不等式组均无解．
所以不存在实数，使方程两根都大于1．
（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图
所以必须满足或解得．
类型四、用二分法求函数的零点的近似值
例5.求函数的一个正数零点(精确到0.1).
【答案】1.7
【解析】由于，可取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
[1，2]
1.5
-2.625
[1.5，2]
1.75
0.2344
[1.5，1.75]
1.625
-1.3027
[1.625，1.75]
1.6875
-0.5618
[1.6875，1.75]
1.71875
-0.1709
由上表计算可知，区间[1.6875，1.75]的长度1.75-1.6875=0.0625<0.1，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.
【总结升华】应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.
举一反三：
【变式1】若函数的一个正数零点附近的函数值
用二分法计算，其参考数据如下：
f（1）=－2
f（1.5）=0.625
f（1.25）=－0.984
f（1.375）=－0.260
f（1.4375）=0. 162
f（1.40625）=－0. 054
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
【变式2】用二分法求函数的一个正零点（精确到）
【答案】2.24
【解析】⑴由，可知函数的一个正零点在区间中；
⑵取的区间中点；
⑶计算；
⑷由于，则有零点的新区间为
⑸取的区间中点；
⑹计算；
⑺由于，则有零点的新区间为；
⑻取的区间中点；
⑼计算；
⑽由于，则有零点的新区间为；
⑾取的区间中点；
⑿计算；
⒀由于，则有零点的新区间为；
⒁取的区间中点
⒂计算；
⒃由于，则有零点的新区间为；
⒄取的区间中点；
⒅计算；
⒆由于，
⒇由于，则有零点的新区间为；又因为零点要求精确到，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数的一个正零点为：2.24.
类型五、用二分法解决实际问题
例6.某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．
（1）求2010年每台电脑的生产成本；
（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）
【答案】 （1）3200；（2）11%
【解析】 （1）设2010年每台电脑的生产成本为P元，根据题意，得P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P=3200（元）．
故2010年每台电脑的生产成本为3200元．
（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得5000(1－x)4=3200（0＜x＜1），令f(x)=5000(1―x)4―3200，作出x，f (x)的对应值表：
x
0
0.1
0.15
0.2
0.3
0.45
f (x)
1800
80.5
－590
－1153
－2000
－2742
观察上表，可知f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x0．取区间（0.1，0.15）的中点x1=0.125，可得f (0.125)≈－269．因为f (0.125)·f (0.1)＜0，所以x0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x2=0.1125，可得f (0.1125)≈－98．因为f (0.1)·f (0.1125)＜0，所以x0∈(0.1，0.1125)．
同理可得，x0∈(0.1，0.10625)，x0∈(0.103125，0.10625)，x0∈(0.104687，0.10625)，x0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．
举一反三：
【变式1】 如右图所示，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
（1）求出盒子的体积y（cm3）以x（cm）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
（2）如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？（精确到0.1 cm）
【答案】（1）y=x(15－2x)2 0＜x＜7.5 （2）0.8 cm或4.7 cm
【解析】（1）由题意，盒子的体积y以x为自变量的函数解析式y=x(15－2x)2，其定义域为，即0＜x＜7.5．
（2）原问题可转化为当y=150时，求方程x(15―2x)2=150的近似解．
设g(x)=x(15―2x)2―150，由于g(0)·g(1)＜0且g(4)·g(5)＜0．所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.8125－0.875|=0.0625＜0.1；在区间（4，5）内的近似解为4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.626－4.6875|=0.0625＜0.1．所以截去的小正方形的边长是0.8 cm或4.7 cm．
【巩固练习】
1．函数的零点是（ ）．
A.-1,4 B. -4,1 C.,1 D.，-1
2．函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
3．若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. ，且 D. ，且
4.已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（ ）
A. B. C. D.
5. 关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ ）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y=f（x）在[a，b]内的所有零点得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f（x）在[a，b]内的零点；
C．应用“二分法”求方程的近似解，y=f（x）在[a，b]内有可能无零点；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f（x）=0在[a，b]内的精确解．
6.若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )
A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根
8. 若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0；
B．若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b），使得f（c）=0；
C．若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0；
D．若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b），使得f（c）=0．
9.函数的零点是__________.
10．若至多只有一个零点，则的取值范围是 ．
11．已知抛物线的图象经过第一、二、四象限，则直线不经过第 象限．
12.三次方程在下列连续整数____________之间有根.
①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与3
13. 已知函数的一个零点为1．
（1）求函数的其他零点；
（2）求时的取值范围．
14．用二分法求在区间的一个实根(精确到0.01).
【答案与解析】
1. 【答案】B
【解析】令，解得，故选B．
2. 【答案】D
【解析】依题意知且，解得，且．
3. 【答案】C
【解析】依题意，，，解得且．
4. 【答案】C
【解析】由题意，可知，故在上必存在零点．
故选C.
5. 【答案】D.
【解析】 由“二分法”求方程的近似解基本思想可得。
6. 【答案】B
【解析】由方程的判别式小于0，可得，故选B.
7. 【答案】C
【解析】在[-1，1]上是增函数且
在上有唯一实根
在[-1，1] 上有唯一实根.故选C.
8. 【答案】C.
【解析】由零点存在性定理知C正确．
9. 【答案】
【解析】由得，所以函数的零点是.
10．【答案】
【解析】 依题意，或综上．
11．【答案】
【解析】二 由抛物线在第一、二、四象限知，所以，即不经过第二象限．
12. 【答案】①②④
【解析】 令
x
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
-1
1
-1
-1
7
29
在内均有根.
13.【解析】（1）依题意，设
所以解得令，即，解得．
所以函数的其他零点是．
（2）函数的三个零点将轴分成四个区间：．
作出函数的示意图如右图，观察图象得时，的取值范围是．
14．【答案】1.32
【解析】设
．
∴在内有实数解.
取为初始运算区间，用二分法逐次计算列表如下：
区间
中点
中点函数值
[1，1.5]
1.25
-0.296875
[1.25，1.5]
1.375
0.224609
[1.25，1.375]
1.3125
-0.051514
[1.3125，1.375]
1.34375
0.082611
[1.3125，1.34375]
1.328125
0.014576
[1.3125，1.328125]
1.3203125
-0.018711
[1.3203125，1.328125]
1.32421875
-0.002128
∵1.328125-1.3203125=0.0078155<0.01
∴所求根的近似值为