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【专题讲义】北师大版七年级数学上册
第6讲 有理数的乘法和除法运算专题精讲（培优版）
授课主题 第06讲---有理数的乘法和除法运算
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握有理数的乘法法则以及运算律； 掌握除法运算法则； 提高学生的计算能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架知识概念（一）有理数的乘法1、有理数乘法法则1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）任何数与0相乘，积仍为0.2、倒数如果两个有理数的乘积为1，那么其中的一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数.3、乘法运算律1)乘法交换律：ab=ba. 2)乘法结合律：(ab)c=a(bc)． 3)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac. （二）有理数的除法1、有理数的除法法则1）两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对值 相除 ； 2）0除以任何一个非0的数都得 0 。 注意：0不能作除数2、除以一个数等于乘这个数的倒数. 考点一：计算与定义新运算例1、（用简便方法计算） 例2、若“!”是一种数学运算符号，并且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，则5!=______=______，的值=______．例3、阅读理解： 计算×﹣×时，若把与（分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为A，为B， 则原式=B（1+A）﹣A（1+B）=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=．请用上面方法计算： ① ②． 例4、要使为整数，a只需为（ ） A．奇数 B．偶数 C．5的倍数 D．个位是5的数考点二：倒数例1、若a与b互为倒数，则3﹣5ab= 例2、当a= 时的倒数仍是．例3、a，b是两个有理数，完成下面的填空： （1）如果a﹣b=0，那么a与b的关系是 （2）如果a+b=0，那么a与b的关系是 （3）如果a×b=1，那么a与b的关系是 （4）如果 ，那么a与b的关系是 （5）已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，|m|=2，则式子 的值为 ．例4、a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是=﹣1，﹣1的差倒数是=．已知a1=，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2011=______．考点三：与绝对值综合例1、ab＜0，a＞0，|a|＞|b|，则a+b（ ） A．大于0 B．小于0 C．小于或等于0 D．无法确定例2、若a≠0，b≠0，则代数式的取值共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、计算： 2、四个整数的积abcd=9，且a≠b≠c≠d，那么a+b+c+d的值为（ ） A.0 B.4 C.8 D.不能确定3、①如果a，b，c是有理数且abc≠0，计算代数式的值； ②如果有理数a+b+c=0且abc≠0，计算代数式的值 4、已知：|x|=3，|y|=2，且xy＜0，则x+y的值为等于 ．5、已知三个有理数m，n，p满足m+n=0，n＜m，mnp＜0，则mn+np一定是（ ） A．负数 B．零 C．正数 D．非负数 6、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=3，求的值． 7、3个有理数a、b、c两两不等，中有______个是负数.课后反击1、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=3，求的值． 2、已知，如图，则下列式子正确的是（ ） A． ab＞0 B． |a|＞|b| C． a+b＜0 D． a﹣b＜0 3、已知a、b、c、d是互不相等的整数，且abcd=6，则a+b+c+d的值等于（ ） A．﹣1或1 B．﹣1或﹣5 C．﹣3或1 D．不能求出 4、计算 （1）（﹣）×（﹣）×0× （2） （3）（﹣﹣）×（﹣24） （4）﹣32× 5、用简便方法计算： （1） （2）． 6、已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为2，求﹣2mn+﹣x的值． 7、如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） （1）你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ （2）你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ （3）当小明输入3；；﹣201这三个数时，这三次输出的结果分别是：______． （4）有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，你判断一下，小明可能输入的是什么数？ 1、﹣3的倒数是（ ） A． 3 B． ﹣3 C. D．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、运算过程中应先判断积的符号，几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。2、几个数相乘,有一个因数为0，积就为0。3、怎样求负数的倒数?（1）将分子、分母颠倒位置即可 的倒数是 (p≠0,q≠0) （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数 1、注意应用乘法分配律时，需要注意符号的处理，这是学生容易出错的地方； 2、乘除运算莫着急；审清题目是第一； 3、除法变成乘法后；积的符号先确立； 4、计算结果别慌张；考个一百没问题。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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【专题讲义】北师大版七年级数学上册
第6讲 有理数的乘法和除法运算专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第06讲---有理数的乘法和除法运算
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握有理数的乘法法则以及运算律； 掌握除法运算法则； 提高学生的计算能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架二、知识概念（一）有理数的乘法1、有理数乘法法则1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）任何数与0相乘，积仍为0.2、倒数：如果两个有理数的乘积为1，那么其中的一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数.3、乘法运算律1)乘法交换律：ab=ba. 2)乘法结合律：(ab)c=a(bc)． 3)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac.（二）有理数的除法1、有理数的除法法则1）两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对值 相除 ； 2）0除以任何一个非0的数都得 0 。 注意：0不能作除数除以一个数等于乘这个数的倒数. 考点一：计算与定义新运算例1、（用简便方法计算） 【解析】分析：提取，逆运用乘法分配律进行计算即可得解。 解： =例2、若“!”是一种数学运算符号，并且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…， 则5!=______=______，的值=______．【解析】 根据运算的定义，可以把写成的形式，然后即可求解． 解：5!=5×4×3×2×1=120， ==99×100=9900， 故答案为：5×4×3×2×1，120，9900． 例3、阅读理解： 计算×﹣×时，若把与（分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为A，为B， 则原式=B（1+A）﹣A（1+B）=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=．请用上面方法计算： ① ②．【解析】（1）根据题意设（++++）为A，（+++++）为B，原式变形后计算即可求出值；（2）根据题意设（+++++…+）为A，（++++++…+）为B，原式变形后计算即可求出值． 解：（1）设（++++）为A，（+++++）为B， 原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=； （2）设（+++++…+）为A，（++++++…+）为B， 原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=． 例4、要使为整数，a只需为（ ） A．奇数 B．偶数 C．5的倍数 D．个位是5的数【解析】如果为整数，则（a﹣5）2为4的倍数，可确定a的取值． 解：∵为整数， ∴（a﹣5）2为4的倍数， ∴a﹣5是偶数， 则a可取任意奇数． 故选A．考点二：倒数例1、若a与b互为倒数，则3﹣5ab= ﹣2 ． 【解析】分析：根据互为倒数的两个数的积为1，直接求出ab的值，从而得到3﹣5ab的值． 解：∵ab=1，∴3﹣5ab=3﹣5×1=﹣2．故答案为﹣2． 例2、当a= 时的倒数仍是．【解析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数列出计算即可得解． 解：∵的倒数仍是， ∴×=1， 解得a=1或a=﹣3． 故答案为：1或﹣3．例3、a，b是两个有理数，完成下面的填空： （1）如果a﹣b=0，那么a与b的关系是 相同 （2）如果a+b=0，那么a与b的关系是 互为相反数 （3）如果a×b=1，那么a与b的关系是 互为倒数 （4）如果 ，那么a与b的关系是 相等，均不为0 （5）已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，|m|=2，则式子 的值为 1或﹣3 ． 【解析】分析：（1）（2）（3）根据相反数和倒数的定义求解即可； （4）两数的比值为1，则两数一定相等，又因为是分数，所以分母不等于0； （5）根据题意先求出a+b、cd以及m的值，然后把它们的值分别代入式子即可． 解答：（1）相同，故答案为相同； （2）互为相反数，故答案为互为相反数； （3）互为倒数，故答案为互为倒数； （4）相等，均不为0，故答案为相等且均不等于0； （5）∵和b互为相反数，c和d互为倒数，|m|=2，∴a+b=0，cd=1，m=±2，当m=2时，则式子=0﹣1+2=1；当m=﹣2时，则式子=0﹣1﹣2=﹣3；故答案为1或﹣3． 例4、a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是=﹣1，﹣1的差倒数是=．已知a1=，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2011=______． 【解析】根据定义求得a1，a2，a3，a4…的值，观察规律，即可猜想结果． 解：a1=﹣ a2==； a3==4； a4==﹣， 因而一下三个一次循环，故a2011=﹣,故答案是：﹣考点三：与绝对值综合例1、ab＜0，a＞0，|a|＞|b|，则a+b（ ） A．大于0 B．小于0 C．小于或等于0 D．无法确定 【解析】分析：首先根据ab＜0，可判断a、b为异号，再根据a＞0，可得b＜0，因为|a|＞|b|，也就是正数的绝对值大，根据有理数的加法法则：绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，可得a+b＞0． 解：∵ab＜0，∴a、b为异号，∵a＞0，∴b＜0，∵|a|＞|b|，∴a+b＞0，故选：A．例2、若a≠0，b≠0，则代数式的取值共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】本题可分4种情况分别讨论，解出此时的代数式的值，然后综合得到所求的值． 解：由分析知：可分4种情况： ①a＞0，b＞0，此时ab＞0 所以++=1+1+1=3； ②a＞0，b＜0，此时ab＜0 所以++=1﹣1﹣1=﹣1； ③a＜0，b＜0，此时ab＞0 所以++=﹣1﹣1+1=﹣1； ④a＜0，b＞0，此时ab＜0 所以++=﹣1+1﹣1=﹣1； 综合①②③④可知：代数式++的值为3或﹣1． 故选A．∴A、a+b是正数，故本选项正确； B、a﹣b=a+（﹣b），是负数，故本选项错误； C、ab是负数，故本选项错误； D、是负数，故本选项错误．故选A．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、计算： 【解析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果． 解：原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2． 2、四个整数的积abcd=9，且a≠b≠c≠d，那么a+b+c+d的值为（ ） A.0 B.4 C.8 D.不能确定【解析】将9写成四个互不相等的整数的积的形式，只能是9=-3×3×（-1）×1，从而确定a、b、c、d，求出它们的和． 解：∵四个整数的积abcd=9，且a≠b≠c≠d， 又∵-3×3×（-1）×1=9， ∴a+b+c+d=-3+3+（-1）+1=0． 故选A 3、①如果a，b，c是有理数且abc≠0，计算代数式的值； ②如果有理数a+b+c=0且abc≠0，计算代数式的值【解析】①对a、b、c中正数的个数进行讨论，即可求解； ②数a+b+c=0且abc≠0时，a、b、c中至少有1个正数，有1个负数，利用①即可直接写出答案． 解：①当a、b、c中没有负数时，都是正数，则原式=1+1+1+1=4； 当a、b、c中只有负数时，不妨设a是负数，则原式=﹣1+1+1﹣1=0； 当a、b、c中有2个负数时，不妨设a、b是负数，则原式=﹣1﹣1+1+1=0； 当a、b、c都是负数时，则原式=﹣1﹣1﹣1﹣1=﹣4， 总是代数式的值是4或﹣4或0； ②当有理数a+b+c=0且abc≠0时，a、b、c中至少有1个正数，有1个负数． 则代数式的值是：04、已知：|x|=3，|y|=2，且xy＜0，则x+y的值为等于 ±1 ． 【解析】解：∵|x|=3，|y|=2，∴x=±3，y=±2， ∵xy＜0，∴xy符号相反，①x=3，y=﹣2时，x+y=1；②x=﹣3，y=2时，x+y=﹣1． 5、已知三个有理数m，n，p满足m+n=0，n＜m，mnp＜0，则mn+np一定是（ ） A．负数 B．零 C．正数 D．非负数 【解析】解：∵m+n=0，∴m，n一定互为相反数；又∵n＜m，mnp＜0，∴n＜0，p＞0，m＞0， ∴mn＜0，np＜0，∴mn+np一定是负数．故选A．6、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=3，求的值． 【解析】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，∴a+b=0，cd=1， ∵|m|=3，∴m=±3，∴当m=3时，原式=0﹣1+3=2； 当m=﹣3时，原式=0﹣1﹣3=﹣4．故答案为：2或﹣4． 7、3个有理数a、b、c两两不等，则中有______个是负数． 【解析】根据题意，a、b、c两两不等，可设a＞b＞c，易得a﹣b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，进而可得，的符号，进而可得答案． 解：根据题意，a、b、c两两不等， 可设a＞b＞c， 易得a﹣b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0， 则中有2个是负数，故答案为2．课后反击1、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=3，求的值． 【解析】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，∴a+b=0，cd=1， ∵|m|=3，∴m=±3，∴当m=3时，原式=0﹣1+3=2； 当m=﹣3时，原式=0﹣1﹣3=﹣4．故答案为：2或﹣4． 2、已知，如图，则下列式子正确的是（ ） A． ab＞0 B． |a|＞|b| C． a+b＜0 D． a﹣b＜0 【解析】解：根据数轴可知b＜﹣1＜0＜a＜1．∴ab＜0，|a|＜|b|，a+b＜0，a﹣b＞0．故正确的只有C． 3、已知a、b、c、d是互不相等的整数，且abcd=6，则a+b+c+d的值等于（ ） A．﹣1或1 B．﹣1或﹣5 C．﹣3或1 D．不能求出 【解析】解：由题意得：这四个数小于等于6，且互不相等． 再由乘积为6可得，四个数中必有2和﹣3，或﹣2，3． ∴四个数为：1，﹣1，2，﹣3，或1，﹣1，﹣2，3则和为﹣1或1．故选A． 4、计算 （1）（﹣）×（﹣）×0× （2） （3）（﹣﹣）×（﹣24） （4）﹣32× 【解析】解：（1）原式=0； （2）原式=（﹣）×（﹣）×（﹣4）=﹣（××4）=﹣； （3）原式=×（﹣24）﹣×（﹣24）﹣×（﹣24）=﹣20+18+8=6； （4）原式==﹣×（32﹣11﹣21）=0． 5、用简便方法计算： （1） （2）． 【解析】解：（1）﹣1.53×0.75+1.53××1.53=1.53×（﹣0.75+0.5+0.8）， =1.53×（1.3﹣0.75）=1.53×0.55=0.8415； （2） = ， = =﹣2+3 =3﹣ =﹣． 6、已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为2，求﹣2mn+﹣x的值．【解析】解：∵a、b互为相反数，∴a+b=0；∵m、n互为倒数，∴mn=1；∵x的绝对值为2，∴x=±2． ①当x=2时，原式=﹣2+0﹣2=﹣4； ② 当x=﹣2时，原式=﹣2+0+2=0． 7、如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） （1）你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ （2）你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ （3）当小明输入3；；﹣201这三个数时，这三次输出的结果分别是：______． （4）有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，你判断一下，小明可能输入的是什么数？【解析】（1）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0； （2）由已知输出的各数可找出规律； （3）先判断出3、、﹣201与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （4）设输入的数为x，分2＜x＜7、0＜x＜2、当x＜0及x＞7四种情况进行讨论，按输入程序进行解答． 解：（1）∵输出数为0，0的相反数及绝对值均为0，当输入5的倍数时也输出0． ∴应输入0或5n（n为自然数）； （2）由（1）中输出的各数均为非负数可知，输出的数应为非负数； （3）∵3＞2， ∴输入3时的程序为：（3﹣5）=﹣2＜0， ∴﹣2的相反数是2＞0，2的倒数是， ∴当输入3时，输出； 当输入时，＜2， ∴其相反数是﹣，其绝对值是， ∴当输入时，输出； 当输入﹣201时，﹣201＜2， ∴其相反数是201＞0，其倒数是， ∴当输入﹣201时，输出； 故答案为：，，； （4）由输出的数为2， 设输入的数为x， ①当2＜x＜7时，（x﹣5）＜0，其相反数是5﹣x＞0，其倒数是=2， 解得x=； ②当0＜x＜2时，其相反数是﹣x＜0，其绝对值是x=2，故x=2； ③当x＜0时，其相反数为﹣x＞0，其倒数是﹣=2，x=﹣． ④当x＞7时，按①的程序可知x=+…2n． 总上所述，x的可能值为：，2，﹣…，即x=+…2n．1、﹣3的倒数是（ ） A． 3 B． ﹣3 C. D． 【解析】乘积为1的两个数互为倒数，1÷（-3）=
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、运算过程中应先判断积的符号，几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。2、几个数相乘,有一个因数为0，积就为0。3、怎样求负数的倒数?（1）将分子、分母颠倒位置即可 的倒数是 (p≠0,q≠0) （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数 1、注意应用乘法分配律时，需要注意符号的处理，这是学生容易出错的地方； 2、乘除运算莫着急；审清题目是第一； 3、除法变成乘法后；积的符号先确立； 4、计算结果别慌张；考个一百没问题。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
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