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【专题讲义】北师大版七年级数学上册
第14讲 一元一次方程专题精讲（培优版）
授课主题 第14讲 --- 一元一次方程的应用
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 了解一元一次方程应用题的典型例题，以及其中的解题思路 熟练提炼应用题等量关系，根据等量关系，设立未知数，列方程求解。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架 二、知识概念 （一）形积变化问题 1、形状发生了变化，而体积没变。此时，等量关系为变化前后体积相等； 2、形状、面积发生了变化，而周长没变。此时，等量关系为变化前后周长相等； 3、形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系 4、形积问题中常见的公式运用： 长方体体积=长×宽×高；圆柱体积=π 长方形周长=2×（长+高），长方形面积=长×宽 （二）打折销售问题1、打折销售相关概念： ①成本价：即进价，商店进货时的价格；②标价：在商店出售时所标明的价格； ③售价：商品出售时的实际价格； ④利润率：商品的利润与成本价的比值。 ⑤折数：打折，表示为按原价的出售，另外，像打七五折，是按原价的出售，以此类推，打九五折，就是按原价的出售。 2、与打折销售有关的公式： ①利润=售价-成本（进价） ②利润率=利润÷成本价×100% ③售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率） ④售价=标价×打折数 （三）行程问题 1、相遇问题，它的特点是相向而行，这类问题一般画出示意图帮助分析题意。这类问题的等量关系一般是：双方所走路程之和=全部路程，这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。 2、追及问题，它的特点是同向而行，等量关系一般是：双方路程之差=原来双方相距的路程。这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。 3、航行问题：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度 逆水速度=船在的静水中速度-水流速度 （四）解决实际问题一般步骤 考点一： 形积问题例1、用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131×131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π） 例2、准备两张同样大小的正方形纸片 （1）取准备好的一张正方形纸片，将它的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图），再折合成一个无盖的长方体盒子．做成的长方体盒子的底面的边长为6cm，容积为108cm3，那么原正方形纸片的边长为多少？ （2）取准备好的另一张正方形纸片，这张纸片恰好可做成圆柱形食品罐侧面的包装纸（不计接口部分），这个食品罐的体积是多少？（结果保留π） 例3、用直径为120mm的圆钢铸造成5.9kg工件，每立方厘米的圆钢重7.8g，这样需截取圆钢的长是多少mm？解题时，设需要截面圆钢的长为xmm，那么下面列方程正确的是（ ） A．7.8×1202?π?x=5.9 B． C． D．考点二： 打折销售问题例1、在某市场，甲、乙两人各销售100件某种衬衫，甲本着薄利多销的原则，不久全部售完；乙最初售价每件比甲贵18元，卖出一半后因十分滞销，不得已按最初销售价对折销售，虽勉强售完，但多花了时间，且最后卖得的总钱数比甲所得少10%，求甲每件衬衫的售价 例2、某公司生产一种产品，每件产品成本价是400元，销售价为510元，第一季度销售了5000件． （1）求该产品第一季度的销售总利润（销售利润=销售价﹣成本价）是多少元？ （2）为进一步扩大市场，公司决定降低生产成本，经过市场凋研，在降低生产成本后，第二季度这种产品每件销售价降低了4%，销售量比第一季度提高了10%，销售总利润比第一季度提高了20%．求该产品每件的成本价降低了多少元？ 例3、某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏10元，而按标价的七五折出售将赚50元，问： （1）每件服装的标价是多少元？ （2）每件服装的成本是多少元？ （3）为保证不亏本，最多能打几折？ 考点三：行程问题例1、如图所示，甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒钟跑6米，甲的速度是乙的倍 （1）如果甲、乙在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ （2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 例2、一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？若能，火车的长度是多少？若不能，请说明理由 例3、A、B两地相距400km，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车以每小时100km速度匀速行驶1h后，休息了1h，然后按原速继续行驶到B地，乙车以每小时80km的速度匀速行驶到A地 （1）当乙车经过甲车休息的地方时，乙车行驶的时间是 h； （2）当甲、乙两车相遇时，求乙车行驶的时间； （3）当甲、乙两车相距40km时，求乙车行驶的时间网版权所有 考点四、解决实际问题例1、学校准备组织教师和优秀学生参加夏令营，其中教师22名，现有甲、乙两家旅行社，两家全票价都是200元，但优惠方式不同：甲旅行社表示教师免费，学生按八折收费； 乙旅行社表示教师和学生一律按七五折收费 （1）当参加夏令营的学生人数为x人时，请你用含x的式子分别表示甲、乙旅行社的收费标准． （2）学校领导经过核算后认为甲、乙旅行社的收费一样，请你算出有多少名学生参加夏令营． 例2、某市自2015年1月1日起对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 一户居民一个月的用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 a+0.3 已知2016年10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；2016年9月份老李家交电费157元． （1）表中a的值为 ； （2）求老李家2016年9月份的用电量； （3）若2016年8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，求老李家2016年8月份的用电量网版权所有 例3、某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品公司每天需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元． （1）这个公司要加工多少件新产品？ （2）在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种即省钱，又省时间的加工方案
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、用一根直径为10厘米的圆柱形铁柱铸造12只直径为10厘米的铅球，问应截取多长的铁柱？（球的体积V=） 2、实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm， （1）开始注水1分钟，丙的水位上升 cm． （2）求出开始注入多少分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm？菁优网版权所有 3、某品牌服装折扣店将某件衣服按进价提高50%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元．设这件衣服的进价为x元，根据题意，所列的方程应为 4、某商场在元旦期间，开展商品促销活动．将某型号的电视机按进价提高35%后，打9折另送50元路费的方式销售，结果每台电视机仍获利208元，问每台电视机的进价是多少元？ 5、某校七年级社会实践小组去某商场调查商品的销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售 （1）每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？ （2）某公司给员工发福利，在该商场促销钱购买了20件该品牌的衬衫发给员工，后因为有新员工加入，又要购买5件该衬衫，购买这5件衬衫时恰好赶上该商场进行促销活动，求该公司购买这25件衬衫的平均价格 6、A、B两列火车长分别是120m和144m，A车比B车每秒多行5m （1）两列相向行驶，从相遇到两车全部错开需8秒，问两车的速度各是多少？ （2）在（1）的条件下，若同向行驶，A车的车头从B车的车尾追及到A车全部超出B车，需要多少秒？ 7、A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米 （1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？ （2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？ （3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？ 8、只列方程，不解方程：一队战士用4km/h的速度行军训练，在队尾的通讯员以6km/h的速度跑至队首将命令传给队长，然后立即按原速度赶回队尾，共用7.2min，求这列队伍的长（传令时间不计） 9、2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表： 数量（张） 1﹣50 51﹣100 101张及以上 单价（元/张） 60元 50元 40元 如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元． （1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？ （3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？菁优网版权所有课后反击1、将50个底面半径为4cm，高为20cm的圆柱形铁料熔化后浇铸成长方体，且长方体底面是边长为4cm的正方形，长方体的高为10cm．已知熔化、浇铸过程中，材料会有1.8%的损耗，问最终能铸得多少个上述长方体？（π取3.14） 2、某水果零售商店在杨梅销售季节分两批次从批发市场共购进杨梅60箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款600元 （1）求第一、二次各购进杨梅多少箱； （2）若商店对这60箱杨梅先按每箱60元销售了25箱，其余的每箱打八折销售完．求商店销售完全部杨梅所获得的利润．（注：按整箱出售，利润=销售总收人﹣进货总成本）菁优网版权所有 3、某商店在某一时间以毎件100元的价格卖出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损20%，求该商店卖出这两件衣服的盈亏情况 4、某船从A港顺流而下到达B港口，然后逆流返回，在到达A、B间的C港口时，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/小时，水流速度为2千米/小时，A、C两港口相距6千米，求A、B两港口间的距离 5、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发．步行者比汽车提前半小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行这部分人．出发地到目的地的距离是50公里．问：步行者在出发后经多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）？ 6、某家具店出售桌子和椅子，单价分别为300元一张和60元一把，该家具店制定了两种优惠方案： （1）买一张桌子送两把椅子； （2）按总价的87.5%付款．某单位购买5张桌子和若干把椅子（不少于10把），如果已知要购买x把椅子，讨论该单位购买同样多的椅子时，选择哪一种方案更省钱？ 7、某服装厂生产一批西装，每2米宽面布可以裁上衣3件或裁裤子4条，现有宽面布245米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用宽面布多少米？ 1、下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）。 用水量 单价 剩余部分 （1）某用户用水10立方米，公交水费23元，求的值； （2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？ 2、今年5月，在中国武汉举办了汤姆斯杯羽毛球团体赛．在27日的决赛中，中国队占胜韩国队夺得了冠军．某羽毛球协会组织一些会员到现场观看了该场比赛．已知该协会购买了每张300元和每张400元的两种门票共8张，总费用为2700元．请问该协会购买了这两种门票各多少张？
S(Summary-Embedded)——归纳总结
一、打折销售问题1、打折销售相关概念： ①成本价：即进价，商店进货时的价格；②标价：在商店出售时所标明的价格； ③售价：商品出售时的实际价格； ④利润率：商品的利润与成本价的比值。 ⑤折数：打折，表示为按原价的出售，另外，像打七五折，是按原价的出售，以此类推，打九五折，就是按原价的出售。 2、与打折销售有关的公式： ①利润=售价-成本（进价） ②利润率=利润÷成本价×100% ③售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率） ④售价=标价×打折数二、行程问题 1、相遇问题，它的特点是相向而行，这类问题一般画出示意图帮助分析题意。这类问题的等量关系一般是：双方所走路程之和=全部路程，这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。 2、追及问题，它的特点是同向而行，等量关系一般是：双方路程之差=原来双方相距的路程。这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。 3、航行问题：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度 逆水速度=船在的静水中速度-水流速度 1、解决实际问题一般步骤 本节课我学到了 我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
直击中考
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名师点拨
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【专题讲义】北师大版七年级数学上册
第14讲 一元一次方程专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第14讲 --- 一元一次方程的应用
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 了解一元一次方程应用题的典型例题，以及其中的解题思路 熟练提炼应用题等量关系，根据等量关系，设立未知数，列方程求解。
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一、知识框架 二、知识概念 （一）形积变化问题 1、形状发生了变化，而体积没变。此时，等量关系为变化前后体积相等； 2、形状、面积发生了变化，而周长没变。此时，等量关系为变化前后周长相等； 3、形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系 4、形积问题中常见的公式运用： 长方体体积=长×宽×高；圆柱体积=π 长方形周长=2×（长+高），长方形面积=长×宽 （二）打折销售问题1、打折销售相关概念： ①成本价：即进价，商店进货时的价格；②标价：在商店出售时所标明的价格； ③售价：商品出售时的实际价格； ④利润率：商品的利润与成本价的比值。 ⑤折数：打折，表示为按原价的出售，另外，像打七五折，是按原价的出售，以此类推，打九五折，就是按原价的出售。 2、与打折销售有关的公式： ①利润=售价-成本（进价） ②利润率=利润÷成本价×100% ③售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率） ④售价=标价×打折数 （三）行程问题 1、相遇问题，它的特点是相向而行，这类问题一般画出示意图帮助分析题意。这类问题的等量关系一般是：双方所走路程之和=全部路程，这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。 2、追及问题，它的特点是同向而行，等量关系一般是：双方路程之差=原来双方相距的路程。这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。 3、航行问题：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度 逆水速度=船在的静水中速度-水流速度 （四）解决实际问题一般步骤 考点一： 形积问题例1、用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131×131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π）【解析】根据玻璃杯中的水的下降的体积等于铁盒中的水的体积相等建立方程求出其解即可． 解：设玻璃杯中水的高度下降了x mm，根据题意，得 π?（）2x=131×131×81 解得：x= 答：玻璃杯中水的高度下降了mm 例2、准备两张同样大小的正方形纸片 （1）取准备好的一张正方形纸片，将它的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图），再折合成一个无盖的长方体盒子．做成的长方体盒子的底面的边长为6cm，容积为108cm3，那么原正方形纸片的边长为多少？ （2）取准备好的另一张正方形纸片，这张纸片恰好可做成圆柱形食品罐侧面的包装纸（不计接口部分），这个食品罐的体积是多少？（结果保留π） 【解析】（1）长方体盒子容积=底面积×高，盒子的高为小正方形的边长，盒子的底面为纸片边长减去四个角的小正方形的边长的2倍求得 （2）圆柱体积=底面圆的面积×高，利用：底面圆的周长=正方形边长求得底面圆的半径，再利用求得的半径求出底面圆的面积，从而求得圆柱体积 解：（1）设原正方形纸片的边长为x cm 由底面积×高=体积得： 解得：x=12 即：原正方形纸片的边长为12cm （2）由（1）可知一张正方形纸片的边长为12cm ∴ 即：食品罐的体积约为cm3例3、用直径为120mm的圆钢铸造成5.9kg工件，每立方厘米的圆钢重7.8g，这样需截取圆钢的长是多少mm？解题时，设需要截面圆钢的长为xmm，那么下面列方程正确的是（ ） A．7.8×1202?π?x=5.9 B． C． D．【解析】解：设需要截面圆钢的长为xmm×?π?x=5900考点二： 打折销售问题例1、在某市场，甲、乙两人各销售100件某种衬衫，甲本着薄利多销的原则，不久全部售完；乙最初售价每件比甲贵18元，卖出一半后因十分滞销，不得已按最初销售价对折销售，虽勉强售完，但多花了时间，且最后卖得的总钱数比甲所得少10%，求甲每件衬衫的售价【解析】解：设每件衬衫甲售x元，乙最初售（x+18）元，则由题意得： 50（x+18）+50××（x+18）=（1﹣10%）×100x 解得：x=90，即甲每件衬衫的售价为90元 答：甲每件衬衫的售价为90元 例2、某公司生产一种产品，每件产品成本价是400元，销售价为510元，第一季度销售了5000件． （1）求该产品第一季度的销售总利润（销售利润=销售价﹣成本价）是多少元？ （2）为进一步扩大市场，公司决定降低生产成本，经过市场凋研，在降低生产成本后，第二季度这种产品每件销售价降低了4%，销售量比第一季度提高了10%，销售总利润比第一季度提高了20%．求该产品每件的成本价降低了多少元？【解析】解：（1）5000×（510﹣400）=550000（元）． 答：该产品第一季度的销售总利润是550000元； （2）设该产品每件的成本价降低了x元，根据题意得 [510×（1﹣4%）﹣（400﹣x）]?5000?（1+10%）=550000?（1+20%） 解得 x=30.4 答：该产品每件的成本价降低了30.4元例3、某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏10元，而按标价的七五折出售将赚50元，问： （1）每件服装的标价是多少元？ （2）每件服装的成本是多少元？ （3）为保证不亏本，最多能打几折？ 【解析】根据同一件衣服进价是相等的，这一等量关系列方程解答。 解：（1）设每件服装的标价是x元， 由题意得：60%x+10=75%x﹣50 解得：x=400 所以，每件衣服的标价为400元 （2）每件服装的成本是：60%×400+10=250（元） （3）为保证不亏本，设最多能打y折，由题意得： 400×=250 解得：y=6.25 所以，为了保证不亏本，最多可以打6.25折 答：每件服装的标价为400元，每件衣服的成本价是250元，为保证不亏本，最多能打6.25折 考点三：行程问题例1、如图所示，甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒钟跑6米，甲的速度是乙的倍 （1）如果甲、乙在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ （2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？【解析】解：（1）设经过x秒甲、乙两人首次相遇，则有： 6×x+6x=400﹣8 解得x=28 答：经过28秒甲、乙两人首次相遇． （2）设经过y秒甲、乙两人首次相遇，则有： 6×y=6y+400﹣8 解得：y=196 答：经过196秒甲、乙两人首次相遇 例2、一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？若能，火车的长度是多少？若不能，请说明理由【解析】设火车的长度是x米，经过隧道，火车走的路程是车长加上隧道长度。灯光照在火车上的时间就是火车走过车长路程的时间。由题意可列方程求解． 解：设火车的长度是x米= 解得x=300 火车的长度是300米例3、A、B两地相距400km，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车以每小时100km速度匀速行驶1h后，休息了1h，然后按原速继续行驶到B地，乙车以每小时80km的速度匀速行驶到A地 （1）当乙车经过甲车休息的地方时，乙车行驶的时间是 h； （2）当甲、乙两车相遇时，求乙车行驶的时间； （3）当甲、乙两车相距40km时，求乙车行驶的时间网版权所有 【解析】解：（1）设乙车行驶的时间是xh，根据题意得： 80x=400﹣100×1 解得：x= 答：当乙车经过甲车休息的地方时，乙车行驶的时间是 （2）设乙车行驶了xh，甲、乙两车相遇，根据题意得： 100（x﹣1）+80x=400 解得：x= 答：乙车行驶了h，甲、乙两车相遇 （3）设乙车行驶的时间是yh，甲、乙两车相距40km，根据题意得： ① 相遇前：100（y﹣1）+80y=400﹣40， 解得：y= ② 相遇后：100（y﹣1）+80y=400+40， 解得：y=3 答：乙车行驶的时间是h或3h，甲、乙两车相距40km 考点四、解决实际问题例1、学校准备组织教师和优秀学生参加夏令营，其中教师22名，现有甲、乙两家旅行社，两家全票价都是200元，但优惠方式不同：甲旅行社表示教师免费，学生按八折收费； 乙旅行社表示教师和学生一律按七五折收费 （1）当参加夏令营的学生人数为x人时，请你用含x的式子分别表示甲、乙旅行社的收费标准． （2）学校领导经过核算后认为甲、乙旅行社的收费一样，请你算出有多少名学生参加夏令营．【解析】 解：（1）甲旅行社的收费为：200×80%x， 乙旅行社的收费为：200×75%（x+22）； （2）设参加夏令营的学生人数为x人，根据题意得 200×80%x=200×75%（x+22）； 解得x=330 答：有330名学生参加夏令营 例2、某市自2015年1月1日起对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 一户居民一个月的用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 a+0.3 已知2016年10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；2016年9月份老李家交电费157元． （1）表中a的值为 ；（2）求老李家2016年9月份的用电量； （3）若2016年8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，求老李家2016年8月份的用电量网版权所有 【解析】解：（1）∵老李家用电200度，交电费120元， ∴200a=120， 解得a=0.6 故答案为0.6 （2）设老李家2016年9月份的用电量为x度． ∵240×0.6=144（元），240×0.6+160×0.65=248（元），144＜157＜248， ∴老李家2016年9月份的用电量超过240度，但不超过400度． 由题意得，240×0.6+0.65（x﹣240）=157， 解得x=260． 答：老李家2016年9月份的用电量为260度； （3）∵0.7＞0.65， ∴老李家2016年8月份的用电量超过400度． 设老李家2016年8月份的用电量为y度，由题意得 240×0.6+160×0.65+0.9（y﹣400）=0.7y， 解得y=560 答：老李家2016年8月份的用电量为560度 例3、某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品公司每天需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元． （1）这个公司要加工多少件新产品？ （2）在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种即省钱，又省时间的加工方案．【解析】 解：（1）设这个公司要加工x件新产品，由题意得：﹣=20，解得：x=960 答：这个公司要加工960件新产品． （2）① 由红星厂单独加工：需要耗时为=60天，需要费用为：60×（5+80）=5100元； ② 由巨星厂单独加工：需要耗时为=40天，需要费用为：40×（120+5）=5000元； ③ 由两场厂共同加工：需要耗时为=24天，需要费用为：24×（80+120+5）=4920元 所以，由两厂合作同时完成时，既省钱，又省时间
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、用一根直径为10厘米的圆柱形铁柱铸造12只直径为10厘米的铅球，问应截取多长的铁柱？（球的体积V=）【解析】根据圆柱和铅球的体积相同，可得出方程。 解：设应截取xcm长的铁柱，由题意得， π×（）2 x=12×π×（）3 解得：x=80 答：应截取80cm的铁柱 2、实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm， （1）开始注水1分钟，丙的水位上升 cm． （2）求出开始注入多少分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm？菁优网版权所有【解析】解：（1）∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1， ∵注水1分钟，乙的水位上升cm， ∴得到注水1分钟，丙的水位上升cm×4=cm； （2）设开始注入t分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有两种情况： ① 甲的水位不变时；由题意得，t﹣1=0.5，解得：t=， ∵×=6＞5， ∴此时丙容器已向乙容器溢水， ∵5÷=分钟，×=，即经过分钟时丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升， ∴+2×（t﹣）﹣1=0.5，解得：t=； ② 当乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时， ∵乙的水位到达管子底部的时间为；+（5﹣）÷÷2=分钟， ∴5﹣1﹣2×（t﹣）=0.5，解得：t=， 综上所述开始注入或分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm． ③ 设开始注入a分钟的水量后，甲的水位比乙高0.5cm，由题意得 1﹣0.5=a，a= 答：开始注入，，40分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm 3、某品牌服装折扣店将某件衣服按进价提高50%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元．设这件衣服的进价为x元，根据题意，所列的方程应为 ．【解析】解：设这件衣服的进价为x元，根据题意得： x（1+50%）×80%=240， 故答案为：x（1+50%）×80%=2404、某商场在元旦期间，开展商品促销活动．将某型号的电视机按进价提高35%后，打9折另送50元路费的方式销售，结果每台电视机仍获利208元，问每台电视机的进价是多少元？【解析】解：设每台电视机的进价是x元．根据题意得： 0.9（1+35%）x﹣50=x+208， 解得：x=1200 答：每台电视机的进价是1200元 5、某校七年级社会实践小组去某商场调查商品的销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售 （1）每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？ （2）某公司给员工发福利，在该商场促销钱购买了20件该品牌的衬衫发给员工，后因为有新员工加入，又要购买5件该衬衫，购买这5件衬衫时恰好赶上该商场进行促销活动，求该公司购买这25件衬衫的平均价格【解析】 解：（1）设每件衬衫降价x元，根据题意可得： （120﹣80）×400+（500﹣400）（120﹣x﹣80）=80×500×45%， 解得：x=20， 答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标； （2）由题意可得：[20×120+5×（120﹣20）]÷25=116（元）， 答：该公司购买这25件衬衫的平均价格是116元． 6、A、B两列火车长分别是120m和144m，A车比B车每秒多行5m （1）两列相向行驶，从相遇到两车全部错开需8秒，问两车的速度各是多少？ （2）在（1）的条件下，若同向行驶，A车的车头从B车的车尾追及到A车全部超出B车，需要多少秒？网版 【解析】解：（1）设B车的速度为xm/s，则A车的速度为（x+5）m/s 由题意可得：8〔x+（x+5）〕=120+144， 解得x=14 则x+5=19． 答：A车、B车的速度分别为19m/s，14m/s； （2）设A、B两车同向行驶，A车的车头从B车的车尾追及到A车全部超出B车，需要t秒 ， 依题意得：19t=14t+120+144， 解得t=52.8 答：若A、B两车同向行驶，A车的车头从B车的车尾追及到A车全部超出B车，需要52.8秒 7、A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米 （1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？ （2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？ （3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？网版 【解析】解：（1）设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇， 根据题意得：14x+18x=64， 解得：x=2 答：两人同时出发相向而行，需经过2小时两人相遇； （2）设两人同时出发相向而行，需y小时两人相距16千米， ① 当两人没有相遇他们相距16千米， 根据题意得：14y+18y+16=64， 解方程得：y=1.5（小时）； ② 当两人已经相遇他们相距16千米， 依题意得14y+18y=64+16， ∴y=2.5 答：若两人同时出发相向而行，则需1.5或2.5小时两人相距16千米； （3）设甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则z小时后乙超过甲10千米， 根据题意得：18z=14z+64+10， 解方程得：z=18.5 答：若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则18.5小时后乙超过甲10千米 8、只列方程，不解方程：一队战士用4km/h的速度行军训练，在队尾的通讯员以6km/h的速度跑至队首将命令传给队长，然后立即按原速度赶回队尾，共用7.2min，求这列队伍的长（传令时间不计）．【解析】分为两个阶段：跑至队首，以排头为目的，相当于追及问题，路程之差即为队长；回到队尾，以队尾为目的，相当于相遇问题，路程之即为队长。两个阶段的时间之和为7.2min。以此为等量关系可列方程： 解：设这支队伍的长度为x千米+= 9、2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表： 数量（张） 1﹣50 51﹣100 101张及以上 单价（元/张） 60元 50元 40元 如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元． （1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？ （3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？菁优网版权所有【解析】解：（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票需40×102=4080（元）， 则比各自购买门票共可以节省：5500﹣4080=1420（元）； （2）设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102﹣x）人． 依题意得：50x+60×（102﹣x）=5500， 解得：x=62． 则乙单位人数为：102﹣x=40． 答：甲单位有62人，乙单位有40人； （3）方案一：各自购买门票需50×60+40×60=5400（元）； 方案二：联合购买门票需（50+40）×50=4500（元）； 方案三：联合购买101张门票需101×40=4040（元）； 综上所述：因为5400＞4500＞4040． 故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱课后反击1、将50个底面半径为4cm，高为20cm的圆柱形铁料熔化后浇铸成长方体，且长方体底面是边长为4cm的正方形，长方体的高为10cm．已知熔化、浇铸过程中，材料会有1.8%的损耗，问最终能铸得多少个上述长方体？（π取3.14）【解析】根据熔化、浇铸过程中，材料会有1.8%的损耗可得等量关系：熔化前的体积×（1﹣1.8%）=熔化后的体积，依此列出方程。 解：设最终能铸得x个上述长方体，根据题意得 50×3.14×42×20×（1﹣1.8%）=42×10x 解得x≈308 答：最终能铸得308个长方体。 2、某水果零售商店在杨梅销售季节分两批次从批发市场共购进杨梅60箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款600元 （1）求第一、二次各购进杨梅多少箱； （2）若商店对这60箱杨梅先按每箱60元销售了25箱，其余的每箱打八折销售完．求商店销售完全部杨梅所获得的利润．（注：按整箱出售，利润=销售总收人﹣进货总成本）网【解析】 解：（1）设第一次购进杨梅x箱，则第二次购进杨梅（60﹣x）箱，依题意有 40（60﹣x）﹣50x=600， 解得x=20， 60﹣x=60﹣20=40． 答：第一次购进杨梅20箱，则第二次购进杨梅40箱． （2）60×25+60×0.8×（60﹣25）﹣50×20﹣40×40 =1500+1680﹣1000﹣1600 =580（元） 答：商店销售完全部杨梅所获得的利润为580元 3、某商店在某一时间以毎件100元的价格卖出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损20%，求该商店卖出这两件衣服的盈亏情况．有【解析】根据售价=进价×（1+利润率），求出两件衣服的进价。 解：设盈利衣服的进价为a，亏损衣服的进价为b，则 a（1+25%）=100，解得：a=80； b（1﹣20%）=100，解得：b=125； 200﹣（80+125）=﹣5 答：该商店卖出这两件衣服亏损5元 4、某船从A港顺流而下到达B港口，然后逆流返回，在到达A、B间的C港口时，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/小时，水流速度为2千米/小时，A、C两港口相距6千米，求A、B两港口间的距离【解析】等量关系为：顺水速度×时间=溺水速度×时间+6，列方程求解即可． 解：设顺流航行的时间为x小时，则逆流航行的时间为（7﹣x）小时，由题意得： （8+2）x=（8﹣2）（7﹣x）+6 解得：x=3，则A、B两港口间的距离为：（8+2）×3=30（千米） 一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发．步行者比汽车提前半小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行这部分人．出发地到目的地的距离是50公里．问：步行者在出发后经多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）？ 【解析】这属于相遇问题，这类问题的等量关系一般是：双方所走路程之和=全部路程， 这道题中等量关系为：步行者走的路程+汽车从目的地回头所走的路程=出发地到目的地的距离，列方程求解即可 解：设步行者在出发后经x小时与回头接他们的汽车相遇，由题意得： 60（x﹣）-50+5x =50 解得：x=2 答：步行者在出发后经2小时与回头接他们的汽车相遇。 6、某家具店出售桌子和椅子，单价分别为300元一张和60元一把，该家具店制定了两种优惠方案： （1）买一张桌子送两把椅子； （2）按总价的87.5%付款．某单位购买5张桌子和若干把椅子（不少于10把），如果已知要购买x把椅子，讨论该单位购买同样多的椅子时，选择哪一种方案更省钱？【解析】解：设需要购买x（x≥10）把椅子，需要花费的总钱数为y元． 第一种方案：y1=300×5+60（x﹣10）=1500+60x﹣600=900+60x； 第二种方案：y2=（300×5+60x）×87.5%=1312.5+52.5x； 两种方案花的钱数相等时， 900+60x=1312.5+52.5x， 解得x=55， 当买55把椅子时，两种方案花的钱数相等； 大于55把时，选择第二种方案； 小于55把时，选择第一种方案 7、某服装厂生产一批西装，每2米宽面布可以裁上衣3件或裁裤子4条，现有宽面布245米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用宽面布多少米？【解析】利用每2米宽面布可以裁上衣3件或裁裤子4条，可得出每件上衣和裤子所用的布料数量，又通过“裤子和上衣的数量相等”这一关系，进而列出方程。 解：设裁上衣用x米布，则： 解得：x=140， 故245﹣x=105 答：裁上衣用宽面布140米，裁裤子用宽面布105米 1、下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）。 用水量 单价 剩余部分 （1）某用户用水10立方米，公交水费23元，求的值； （2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？ 【解析】（1）由题意，10a=23,解得a=2.3 (2)设用户用水量为x立方米，用水量为22立方米时，水费为22×2.3=50.6＜71，故x＞22 依题意则有：22×2.3+（x-22）×(2.3+1.1)=71 解得x=28 答：该用户用水28立方米 2、今年5月，在中国武汉举办了汤姆斯杯羽毛球团体赛．在27日的决赛中，中国队占胜韩国队夺得了冠军．某羽毛球协会组织一些会员到现场观看了该场比赛．已知该协会购买了每张300元和每张400元的两种门票共8张，总费用为2700元．请问该协会购买了这两种门票各多少张？【解析】设每张300元的门票买了x张，则每张400元的门票买了（8﹣x）张，由题意，得 300x+400（8﹣x）=2700 解得：x=5 ∴买400元每张的门票张数为：8﹣5=3张． 答：每张300元的门票买了5张，每张400元的门票买了3张
S(Summary-Embedded)——归纳总结
一、打折销售问题1、打折销售相关概念： ①成本价：即进价，商店进货时的价格；②标价：在商店出售时所标明的价格； ③售价：商品出售时的实际价格； ④利润率：商品的利润与成本价的比值。 ⑤折数：打折，表示为按原价的出售，另外，像打七五折，是按原价的出售，以此类推，打九五折，就是按原价的出售。 2、与打折销售有关的公式： ①利润=售价-成本（进价） ②利润率=利润÷成本价×100% ③售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率） ④售价=标价×打折数二、行程问题 1、相遇问题，它的特点是相向而行，这类问题一般画出示意图帮助分析题意。这类问题的等量关系一般是：双方所走路程之和=全部路程，这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。 2、追及问题，它的特点是同向而行，等量关系一般是：双方路程之差=原来双方相距的路程。这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。 3、航行问题：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度 逆水速度=船在的静水中速度-水流速度 1、解决实际问题一般步骤 本节课我学到了 我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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