【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第四章：因式分解
一.选择题：（每小题3分共36分）
1．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x＋2）（x–2）＝x2－4 B．.x2－4＋3x＝（x＋2）（x–2）＋3x
C．x2－3x－4＝（x－4）（x＋1） D．x2＋2x－3＝（x＋1）2－4
3．把多项式分解因式，得，则的值是（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
4．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
5．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A．(3－x)(3＋x)＝9－x2
B．m3－mn2＝m(m＋n)(m－n)
C．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)
D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z
6．若a﹣b＝3，ab＝1，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（ ）
A．9 B．4 C．3 D．12
7．若，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定
9．下列多项式中不能用公式分解的是（ ）
A．a2+a+ B．﹣a2+b2﹣2ab C．﹣a2+25b2 D．﹣4+b2
10．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )
A．a2-1
B．a2+a
C．a2+a-2
D．(a+2)2-2(a+2)+1
11．已知，则a2－b2－2b的值为
A．4 B．3 C．1 D．0
12．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（每小题3分共12分）
13．因式分解：m2n+2mn2+n3＝_____．
14．因式分解：______．
15．因式分解：_______________________．
16．在实数范围内因式分解：____________
三、解答题：（共52分）
17．分解因式：
（1）5x2+10x+5
（2）4a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）
18．分解因式：①
②
19．把下列多项式分解因式：
（1）；
（2）
20．如图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，已知大小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5πcm2 ， 请你求出大小两个圆盘的半径．
21．将如图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，再据此图写出一个多项式的因式分解．
22．阅读下列解题过程
已知a、b、c为△ABC为三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4①
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)②
∴c2＝a2＋b2③
∴△ABC是直角三角形
回答下列问题：
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号________．
(2)错误原因为________．
(3)本题正确结论是什么，并说明理由．
23．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”
(1)28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
(3)两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗？为什么？
【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第四章：因式分解
一.选择题：（每小题3分共36分）
1．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解A、，故此选项错误；
B、，无法分解因式，故此选项错误；
C、，无法分解因式，故此选项错误；
D、，正确，
故选D．
2．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x＋2）（x–2）＝x2－4 B．.x2－4＋3x＝（x＋2）（x–2）＋3x
C．x2－3x－4＝（x－4）（x＋1） D．x2＋2x－3＝（x＋1）2－4
【答案】C
解：A、是整式的乘法，不是因式分解；
B、右边不是因式的积的形式，不是因式分解；
C、把多项式化成因式的积的形式，是因式分解；
D、右边不是因式的积的形式，不是因式分解．
故选C．
3．把多项式分解因式，得，则的值是（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
【答案】D
解根据题意得：x2+ax+b=(x+1)(x?3)=x2?2x?3，
可得a=?2，b=?3，
则a+b=?5，
故选D.
4．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
【答案】A
解∵①2x2﹣x=x(2x-1)，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=(x﹣3)2，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4不能因式分解，④﹣4x2﹣1+4x=-(2x-1)2；
∴①和③含有相同的因式(2x-1).
故选A.
5．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A．(3－x)(3＋x)＝9－x2
B．m3－mn2＝m(m＋n)(m－n)
C．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)
D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z
【答案】B
解A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积，故B正确；
C、是乘法交换律，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积，故D错误；
故选：B．
6．若a﹣b＝3，ab＝1，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（ ）
A．9 B．4 C．3 D．12
【答案】A
解∵a-b=3,ab=1,
∴ab-2ab+ab=ab(a-2ab+b)
=ab(a-b)=1 3=9
故答案为:A
7．若，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
解∵a+b=3，
∴a2-b2+6b=(a+b)(a-b)+6b=3(a-b)+6b=3a-3b+6b=3a+3b=3(a+b)=9，
故选C.
8．若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定
【答案】B
解：∵（a－b）2－c2＝（a－b＋c）（a－b－c），a，b，c是三角形的三边，
∴a＋c－b＞0，a－b－c＜0，
∴（a－b）2－c2的值是负数．
故选B．
9．下列多项式中不能用公式分解的是（ ）
A．a2+a+ B．﹣a2+b2﹣2ab C．﹣a2+25b2 D．﹣4+b2
【答案】B
解：A、原式＝（a+）2，不合题意；
B、原式不能用公式分解，符合题意；
C、原式＝（5b+a）（5b﹣a），不合题意；
D、原式＝（b+2）（b﹣2），不合题意．
故选：B．
10．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )
A．a2-1
B．a2+a
C．a2+a-2
D．(a+2)2-2(a+2)+1
【答案】C
解：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C；故答案选C．
11．已知，则a2－b2－2b的值为
A．4 B．3 C．1 D．0
【答案】C
解
故答案选：C．
12．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
解：原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）
=[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]
=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]
=×（1+4+1）
=3，
故选D.
二、填空题：（每小题3分共12分）
13．因式分解：m2n+2mn2+n3＝_____．
【答案】n（m+n）2
解：m2n+2mn2+n3
＝n（m2+2mn+n2）
＝n（m+n）2．
故答案为：n（m+n）2
14．因式分解：______．
【答案】a(a2+2)
解 a(a2+2)
15．因式分解：_______________________．
【答案】
解：
16．在实数范围内因式分解：____________
【答案】
解令
∴，
∴
故答案为：
三、解答题：（共52分）
17．分解因式：
（1）5x2+10x+5
（2）4a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）
【答案】（1）5（x+1）2；（2）（x﹣y）（2a+3b）（2a﹣3b）
解：（1）5x2+10x+5
＝5（x2+2x+1）
＝5（x+1）2；
（2）4a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）
＝（x﹣y）（4a2﹣9b2）
＝（x﹣y）（2a+3b）（2a﹣3b）．
18．分解因式：①
②
【答案】①；②
解：①原式=
=
=
②原式=
=
=
=
19．把下列多项式分解因式：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）.
解：（1）
=
=
（2）
=
=
=
20．如图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，已知大小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5πcm2 ， 请你求出大小两个圆盘的半径．
【答案】大圆盘的半径为3cm，一个小圆盘的半径为1cm
解设大圆盘的半径为Rcm，一个小圆盘的半径为rcm，根据题意，得： πR2﹣4πr2=5π，
即（R+2r）（R﹣2r）=5．
因为R，r均为正整数，所以R+2r，R﹣2r也为正整数，
所以： ，解得 ，
答：大圆盘的半径为3cm，一个小圆盘的半径为1cm.
21．将如图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，再据此图写出一个多项式的因式分解．
解：拼接如图：
长方形的面积为：还可以表示面积为：
∴我们得到了可以进行因式分解的公式：
22．阅读下列解题过程
已知a、b、c为△ABC为三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4①
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)②
∴c2＝a2＋b2③
∴△ABC是直角三角形
回答下列问题：
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号________．
(2)错误原因为________．
(3)本题正确结论是什么，并说明理由．
【答案】③ 有可能为0
解（1）③
（2）有可能为0，
（3）本题正确结论是：△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形，
理由是：由上面解题第②步可知，当a≠b时，c2=a2+b2 ,这时△ABC为直角三角形；
当a＝b时，△ABC为等腰三角形，
当a≠b时，△ABC为直角三角形.
23．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”
(1)28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
(3)两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗？为什么？
【答案】(1)28和2012是神秘数（2）是4的倍数（3）8k不能整除8k+4
解（1）设设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，则根据题意得：
(2m+2)2-(2m)2=28，
8m+4=28，
m=3，
∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，
∴28是“神秘数”.
(2m+2)2-(2m)2=2012，
8m+4=2012，
m=501，
∴2m=1002
∴2012是“神秘数”.
（2）是；理由如下：
∵(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，
∴由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.
（3）由（2）可知“神秘数”可表示为4(2n-1)，
∵2n-1是奇数，
∴4(2n-1)是4的倍数，但一定不是8的倍数，
设两个连续的奇数为2n-1和2n+1，
则(2n+1)2-(2n-1)2=8n.
∴连续两个奇数的平方差是8的倍数，
∴连续两个奇数的平方差不是“神秘数”.
