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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第6讲 探索直线平行的条件专题精讲（提高版）
授课主题 第06讲---探索直线平行的条件
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 能够正确判断同位角、内错角、同旁内角； 利用直线平行的条件判断两条直线平行； 建立平面图形基本推理和思考能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架 二、知识概念 （一）同位角、内错角、同旁内角1、同位角：如右图所示，具有∠1和∠6这样位置关系的角称为同位角，同位角还有∠2和∠5。同位角的特征：①在被截两直线的同一方；②在截线的同侧。 2、内错角：如右图所示，具有∠1和∠3这样位置关系的角称为内错角，内错角还有∠2和∠4。内错角的特征：①在被截两直线之间；②在截线的两侧。 3、同旁内角：具有∠1和∠4这样位置关系的角称为同旁内角，同旁内角还有∠2和∠3。同旁内角的特征：①在被截两直线之间；②在截线的同侧。 （二）两条直线平行的条件 两条直线平行的条件1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简称为：同位角相等，两直线平行。 两条直线平行的条件2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简称为：内错角角相等，两直线平行。 两条直线平行的条件3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简称为：同旁内角互补，两直线平行。（三）平行线基本公理①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 ②平行于同一条直线的两条直线平行 考点一： 同位角、内错角、同旁内角例1、如图，下列说法不正确的是（ ） A．∠1和∠2是同旁内角 B．∠1和∠3是对顶角 C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是内错角例2、如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（ ） A．∠1与∠2是邻补角 B．∠1与∠3是对顶角 C．∠2与∠4是同位角 D．∠3与∠4是内错角 例3、下列说法正确的是（ ） A．若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补 B．相等的角是对顶角 C．有一条公共边并且和为180°的两个角互为邻补角 D．若三条直线两两相交，则共有6对对顶角例4、若∠α与∠β同旁内角，且∠α=50°时，则∠β的度数为（ ） A．50° B．130° C．50°或130° D．无法确定例5、如图，与∠1互为同旁内角的角共有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4例6、如图，有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的八个角．请你任意选择其中的三个角（不可选择未标注的角），尝试找到它们的关系，并选择其中一组予以证明 考点二：两条直线平行的条件 例1、如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（ ） A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7例2、如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°例3、如图，能判定EC∥AB的条件是（ ） A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE例4、如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个 （1）∠B+∠BCD=180° （2）∠1=∠2 （3）∠3=∠4 （4）∠B=∠5 A．1 B．2 C．3 D．4例5、学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ） ① 两直线平行，同位角相等；② 两直线平行，内错角相等； ③ 同位角相等，两直线平行；④ 内错角相等，两直线平行． A．① ② B．② ③ C．③ ④ D．① ④ 例6、如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1=∠2，求证：DC∥AB． 例7、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD交CD于点E，CF平分∠BCD交AB于点F，求证：AE∥CF． 例8、将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）： （1）① 若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为 ； ② 若∠ACB=140°，求∠DCE的度数； （2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由． （3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 考点三： 平行线基本公理例1、过一点画已知直线的平行线（ ） A．有且只有一条 B．不存在 C．有两条 D．不存在或有且只有一条例2、下列说法正确的是（ ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．不相交的两条直线叫平行线 D．邻补角的平分线互相垂直例3、如果a∥b，a∥c，那么b与c的位置关系是（ ） A．不一定平行 B．一定平行 C．一定不平行 D．以上都有可能例4、下面说法正确的个数为（ ） （1）过直线外一点有一条直线与已知直线平行； （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角； （4）同一平面内不平行的两条直线一定相交 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击 1、如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（ ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角2、图中，用数字表示的∠1、∠2、∠3、∠4各角中，错误的判断是（ ） A．若将AC作为第三条直线，则∠1和∠3是同位角 B．若将AC作为第三条直线，则∠2和∠4是内错角 C．若将BD作为第三条直线，则∠2和∠4是内错角 D．若将CD作为第三条直线，则∠3和∠4是同旁内角 3、如图，下列判断正确的是（ ） A．∠2与∠5是对顶角 B．∠2与∠4是同位角 C．∠3与∠6是同位角 D．∠5与∠3是内错角4、在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ） A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图④中，展开后测得∠1+∠2=180° 5、如图，在下列条件中：①∠1=∠2；②∠BAD=∠BCD；③∠ABC=∠ADC且∠3=∠4；④∠BAD+∠ABC=180°，能判定AB∥CD的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个6、下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（ ） A． B． C． D． 7、如图，∠BAP+∠APD=180°，∠AOE=∠1，∠FOP=∠2 （1）若∠l=55°，求∠2的度数； （2）求证：AE∥FP 8、MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1=140°，∠2=50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由． 课后反击1、如图，下列判断正确的是（ ） A．∠2与∠5是对顶角 B．∠2与∠4是同位角 C．∠3与∠6是同位角 D．∠5与∠3是内错角2、如图，与∠1互为同旁内角的角共有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．43、如图，属于内错角的是（ ） A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠4 D．∠3和∠44、如图，下列条件中： ①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5 则一定能判定AB∥CD的条件有 （填写所有正确的序号） 5、下列说法： ① 若a与c相交，则a与b相交； ② 若a∥b，b∥c，那么a∥c； ③ 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④ 在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个6、下列说法正确的个数有（ ）个． ① 如果a∥b，b∥c 则a∥c ② 两点之间，直线最短 ③ 26°45′的补角是153°15′ ④ 我们平时说的西南方向是指西偏南45°或南偏西45° ⑤ 如果C是AB的三等分点，则AC=AB． A．2 B．3 C．4 D．5 7、已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1=∠2，∠3=∠C，求证：AB∥MN． 8、如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°．求证： （1）AB∥EF． （2）AB∥ND． 1、如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150°，∠BCD=30°，则（ ） A．AB∥BC B．BC∥CD C．AB∥DC D．AB与CD相交2、如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
（一）两条直线平行的条件 两条直线平行的条件1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简称为：同位角相等，两直线平行。 两条直线平行的条件2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简称为：内错角角相等，两直线平行。 两条直线平行的条件3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简称为：同旁内角互补，两直线平行。 平行线基本公理①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 ②平行于同一条直线的两条直线平行 本节课我学到了 我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
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第6讲 探索直线平行的条件专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第06讲---探索直线平行的条件
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 能够正确判断同位角、内错角、同旁内角； 利用直线平行的条件判断两条直线平行； 建立平面图形基本推理和思考能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架 二、知识概念 （一）同位角、内错角、同旁内角1、同位角：如右图所示，具有∠1和∠6这样位置关系的角称为同位角，同位角还有∠2和∠5。同位角的特征：①在被截两直线的同一方；②在截线的同侧。 2、内错角：如右图所示，具有∠1和∠3这样位置关系的角称为内错角，内错角还有∠2和∠4。内错角的特征：①在被截两直线之间；②在截线的两侧。 3、同旁内角：具有∠1和∠4这样位置关系的角称为同旁内角，同旁内角还有∠2和∠3。同旁内角的特征：①在被截两直线之间；②在截线的同侧。（二）两条直线平行的条件 两条直线平行的条件1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简称为：同位角相等，两直线平行。 两条直线平行的条件2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简称为：内错角角相等，两直线平行。 两条直线平行的条件3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简称为：同旁内角互补，两直线平行。（三）平行线基本公理①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 ②平行于同一条直线的两条直线平行 考点一： 同位角、内错角、同旁内角例1、如图，下列说法不正确的是（ ） A．∠1和∠2是同旁内角 B．∠1和∠3是对顶角 C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是内错角【解析】A例2、如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（ ） A．∠1与∠2是邻补角 B．∠1与∠3是对顶角 C．∠2与∠4是同位角 D．∠3与∠4是内错角【解析】D 例3、下列说法正确的是（ ） A．若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补 B．相等的角是对顶角 C．有一条公共边并且和为180°的两个角互为邻补角 D．若三条直线两两相交，则共有6对对顶角【解析】D 例4、若∠α与∠β同旁内角，且∠α=50°时，则∠β的度数为（ ） A．50° B．130° C．50°或130° D．无法确定 【解析】D例5、如图，与∠1互为同旁内角的角共有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4【解析】C 例6、如图，有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的八个角．请你任意选择其中的三个角（不可选择未标注的角），尝试找到它们的关系，并选择其中一组予以证明 【解析】根据三角形的外角和为360°，三角形的内角和为180°以及三角形外角和定理即可写出三个角之间的数量关系 解：如∠2+∠4+∠6=360°，∠1+∠5+∠7=180°，∠2=∠5+∠7，∠3=∠1+∠8 已知如图：有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的八个角 求证：∠1+∠5+∠7=180° 证明：∵∠DAC+∠7+∠5=180° 又∵∠1=∠DAC ∴∠1+∠5+∠7=180° 考点二：两条直线平行的条件 例1、如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（ ） A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7【解析】B例2、如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°【解析】C例3、如图，能判定EC∥AB的条件是（ ） A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE【解析】D例4、如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个 （1）∠B+∠BCD=180° （2）∠1=∠2 （3）∠3=∠4 （4）∠B=∠5 A．1 B．2 C．3 D．4【解析】C例5、学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ） ① 两直线平行，同位角相等；② 两直线平行，内错角相等； ③ 同位角相等，两直线平行；④ 内错角相等，两直线平行． A．① ② B．② ③ C．③ ④ D．① ④ 【解析】由作图过程可知，∠1=∠2，为内错角相等；∠1=∠4，为同位角相等； 可知小敏画平行线的依据有：③ 同位角相等，两直线平行；④ 内错角相等，两直线平行，故选C 例6、如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1=∠2，求证：DC∥AB． 【解析】证明：∵DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线， ∴∠∠ADC，∠2=∠ABC ∵∠ABC=∠ADC ∴∠3=∠2 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴DC∥AB例7、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD交CD于点E，CF平分∠BCD交AB于点F，求证：AE∥CF． 【解析】证明：∵∠B=∠D=90°， ∴∠DAB+∠DCB=180°，∠CFB+∠FCB=90° ∵AE平分∠BAD交CD于点E，CF平分∠BCD交AB于点F ∴∠EAB+∠FCB=∠DAB+∠DCB=90° ∴∠CFB=∠EAB ∴AE∥CF 例8、将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）： （1）① 若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为 ； ② 若∠ACB=140°，求∠DCE的度数； （2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由． （3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．【解析】（1） ① ∵∠ECB=90°，∠DCE=45° ∴∠DCB=90°﹣45°=45° ∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+45°=135° 故答案为：135° ② ∵∠ACB=140°，∠ACD=90° ∴∠DCB=140°﹣90°=50° ∴∠DCE=90°﹣50°=40° （2）∠ACB+∠DCE=180° ∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB ∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180° （3）存在， 当∠ACE=30°时，AD∥BC， 当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE， 当∠ACE=120°时，AD∥CE， 当∠ACE=135°时，BE∥CD， 当∠ACE=165°时，BE∥AD．考点三： 平行线基本公理例1、过一点画已知直线的平行线（ ） A．有且只有一条 B．不存在 C．有两条 D．不存在或有且只有一条【解析】D 例2、下列说法正确的是（ ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．不相交的两条直线叫平行线 D．邻补角的平分线互相垂直【解析】D例3、如果a∥b，a∥c，那么b与c的位置关系是（ ） A．不一定平行 B．一定平行 C．一定不平行 D．以上都有可能【解析】B例4、下面说法正确的个数为（ ） （1）过直线外一点有一条直线与已知直线平行； （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角； （4）同一平面内不平行的两条直线一定相交 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】B
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（ ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角【解析】B 2、图中，用数字表示的∠1、∠2、∠3、∠4各角中，错误的判断是（ ） A．若将AC作为第三条直线，则∠1和∠3是同位角 B．若将AC作为第三条直线，则∠2和∠4是内错角 C．若将BD作为第三条直线，则∠2和∠4是内错角 D．若将CD作为第三条直线，则∠3和∠4是同旁内角【解析】B3、如图，下列判断正确的是（ ） A．∠2与∠5是对顶角 B．∠2与∠4是同位角 C．∠3与∠6是同位角 D．∠5与∠3是内错角【解析】A4、在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ） A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图④中，展开后测得∠1+∠2=180°【解析】C 5、如图，在下列条件中：①∠1=∠2；②∠BAD=∠BCD；③∠ABC=∠ADC且∠3=∠4；④∠BAD+∠ABC=180°，能判定AB∥CD的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解析】C 6、下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（ ） A． B． C． D．【解析】B 7、如图，∠BAP+∠APD=180°，∠AOE=∠1，∠FOP=∠2． （1）若∠l=55°，求∠2的度数； （2）求证：AE∥FP【解析】（1）∵∠AOE=∠1，∠FOP=∠2 又∵∠AOE=∠FOP（对顶角相等） ∴∠1=∠2 ∵∠1=55° ∴∠2=55° （2）证明：∵∠BAP+∠APD=180° ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2 ∴∠EAO=∠FPC ∴AE∥PF 8、MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1=140°，∠2=50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．【解析】延长MF交CD于点H ∵∠1=90°+∠CFH，∠1=140°，∠2=50° ∴∠CHF=140°﹣90°=50° ∴∠CHF=∠2 ∴AB∥CD 课后反击1、如图，下列判断正确的是（ ） A．∠2与∠5是对顶角 B．∠2与∠4是同位角 C．∠3与∠6是同位角 D．∠5与∠3是内错角【解析】A2、如图，与∠1互为同旁内角的角共有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4【解析】C 3、如图，属于内错角的是（ ） A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠4 D．∠3和∠4 【解析】D4、如图，下列条件中： ①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5 则一定能判定AB∥CD的条件有 （填写所有正确的序号）【解析】① ③ ④5、下列说法： ① 若a与c相交，则a与b相交； ② 若a∥b，b∥c，那么a∥c； ③ 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④ 在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解析】A6、下列说法正确的个数有（ ）个． ① 如果a∥b，b∥c 则a∥c ② 两点之间，直线最短 ③ 26°45′的补角是153°15′ ④ 我们平时说的西南方向是指西偏南45°或南偏西45° ⑤ 如果C是AB的三等分点，则AC=AB． A．2 B．3 C．4 D．5【解析】B 7、已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1=∠2，∠3=∠C，求证：AB∥MN．【解析】证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC∴EF∥DM ∴∠2=∠CDM ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠CDM ∴MN∥CD ∴∠C=∠AMN ∵∠3=∠C ∴∠3=∠AMN ∴AB∥MN8、如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°．求证： （1）AB∥EF． （2）AB∥ND．【解析】（1）证明：∵∠1=60°，∠2=60° ∴∠2=∠1 ∴AB∥EF （2）证明：∵AB∥EF，∠MAE=45° ∴∠AEF=∠MAE=45° ∵∠FEG=15° ∴∠AEG=45°+15°=60° ∵EG平分∠AEC ∴∠CEG=∠AEG=60° ∴∠FEC=60°+15°=75° ∵∠NCE=75° ∴∠FEC=∠NCE=75° ∴EF∥ND ∵AB∥EF ∴AB∥ND 1、如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150°，∠BCD=30°，则（ ） A．AB∥BC B．BC∥CD C．AB∥DC D．AB与CD相交【解析】C2、如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由． 【解析】OA∥BC，OB∥AC ∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2 ∴OB∥AC ∵∠2=50°，∠3=130°， ∴∠2+∠3=180°， ∴OA∥BC
S(Summary-Embedded)——归纳总结
（一）两条直线平行的条件 两条直线平行的条件1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简称为：同位角相等，两直线平行。 两条直线平行的条件2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简称为：内错角角相等，两直线平行。 两条直线平行的条件3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简称为：同旁内角互补，两直线平行。 平行线基本公理①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 ②平行于同一条直线的两条直线平行 本节课我学到了 我需要努力的地方是
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