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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第9讲 认识三角形专题精讲（提高版）
温故知新
变量相关的定义
1、变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。
2、自变量和因变量。
（1）在某一变化过程中，有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，另一个变量也有唯一一个数值与其对应，通常把前一个变量叫做自变量，后一个变量叫做因变量。
（2） 自变量和因变量的区别和联系。联系：两者都是某一变化过程中的变量，两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化，比如当路程一定时，时间随速度的变化而变化，这时速度为自变量，时间为因变量。而当速度一定时，路程随时间的变化而变化，这时时间为自变量，路程为因变量。
区别：因变量随自变量的变化为变化。
常量：在变化过程中数值始终不变的量。
智慧乐园
生活中还有哪些三角形形状的物体呢，简单举例
知识要点一
三角形
（一）三角形的定义及分类
（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形有三边条、三个内角和三个顶点。“三角形”可以用符号“△”表示，如图中顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，三个字母之间并无顺序关系。△ABC 的三边，有时也用来表示。如图，顶点A、B、C所对的边分别是BC、AC、AB，分别用来表示。
（2）三角形的分类：按角分类
（3）三角形内角的和等于180°，这个定理可以结合右边的图形，利用平行线的性质证明。
（二）直角三角形
（1）通常我们用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”。直角所对的边叫做直角三角形的斜边，夹直角的两条边叫做直角边。
（2）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，用几何语言表示：在Rt△ABC中，∠ C=90°，则∠ A+∠B=90°
典例分析
例1、如图，图中以AB为边的三角形的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例2、下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的内角中至少有两个锐角 B．三角形的内角中至少有两个钝角
C．三角形的内角中至少有一个直角 D．三角形的内角中至少有一个钝角
例3、已知：如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______
例4、△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．
例5、△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为____ __
例6、如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形 B．∠1=∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2=∠A
例6、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
举一反三
1、如图中三角形的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2、图中三角形的个数是（ ）
A．8个 B．9个 C．10个 D．11个
3、如图，△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是（ ）
A．76° B．81° C．92° D．104°
4、如图，已知△ADC中，∠A=30°，∠ADC=110°，BE⊥AC，垂足为E，求∠B的度数
5、如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD=100°，∠AGF=20°，求∠B的度数
知识要点二
三角形三边关系及三角形的“三线”
(一）三角形三边关系
（1）三角形中，如图，有两边相等的三角形叫做等腰三角形。三条边都相等的三角形是等边三角形。
（2）在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。总结一句就是三角形中，任意一边小于另外两边之和，大于另外两边之差。
（二）三角形的“三线”
（1）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。如图，AD是△ABC的BC边上的中线。一个三角形有三条中线，并且交于一点，这点称为三角形的重心。如图，三条中线交于点O，O点即为△ABC的重心。
三角形的中线性质：①中线平分一条边；②无论三角形什么形状，它的重心都在三角形的内部；
③三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形。
（2）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角线的角平分线交于三角形内部一点。
（3）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的高线交于三角形内部一点，直角三角形的高线交于三角形直角顶点，钝角三角形的高线交于三角形外部一点。
典例分析
例1、下列各组线段能组成一个三角形的是( )．
A．3cm，3cm，6cm B．2cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，12cm D．4cm，7cm，11cm
例2、若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是( )
A．6＜l＜15 B．6＜l＜16
C．11＜l＜13 D．10＜l＜16
例3、三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．角平分线 B．中位线 C．高 D．中线
例4、下列说法中，其中正确的有（ ）
①三条线段组成的图形叫做三角形；
②三角形的角平分线是射线；
③三角形的三条高所在的直线相交于一点，这一点不在三角形的内部，就在三角形的外部；
④三角形的三条中线相交于一点，且这点一定在三角形的内部．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
例5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B= ．
例6、已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数
举一反三
1、若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围。
2、已知：如图，P是△ABC内一点．请想一个办法说明AB＋AC＞PB＋PC
3、如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C．0.25cm2 D．0.5cm2
4、已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF
课堂闯关
初出茅庐
1、如图，AD是△ABC边BC的中线，E、F分别是AD、BE的中点，若△BFD的面积为6，则△ABC的面积等于（ ）
A．18 B．24 C．48 D．36
2、已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（ ）
A．3 B．10 C．6.5 D．3或6.5
3、△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
4、在△ABC中，∠A=∠B=∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，
求∠DCE的度数
5、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．
（1）求∠DCE的度数．
（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC
优学学霸
1、已知：如图△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，S△BGD=8，S△AGE=3，则△ABC的面积是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
2、△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．
（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．
（2）若∠B ＜ ∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，说明理由．
3、小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F
（1）M为边AC上一点，则BD、MF的位置是 ．请你进行证明．
（2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 ．请你进行证明．
（3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是 ．请你进行证明．
考场直播
1、如图，已知在△ABC中，两条角平分线BE和CD相交于点F，若∠BFC=116°，求∠A的度数．
2、一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）
A．90° B．100° C．130° D．180°
自我挑战
1、在△ABC中，AB=4，AC=7，则△ABC的周长L的取值范围是
2、如图，在△ABC中，∠ADC=110°，AD、CD分别平分∠BAC，∠ACB，则∠ABC=
3、在△ABC中，∠ABC=∠C，∠A=80°，进行如下操作：
①以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；
②分别以E、F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点M；
③作射线BM交AC于点D，
则∠BDC的度数为（ ）
A．100° B．65° C．75° D．105°
在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=
∠B﹣∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、如图，O为△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，分别过点B、C作PB⊥BO，PC⊥CO，若∠A=70°，求出∠P的度数．
6、如图，已知△ABC中，∠B=60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，且∠DAE=10°，求∠C的度数．
学霸说：
（1）任意一个三角形，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角。
（2）判断一个三角形的形状，只需看最大内角是什么角即可。
学霸说：
（1）由三角形的中线找到等量关系进行代换，可以得到线段、面积之间的倍数关系。
（2）根据解题需要，三角形的角平分线可以表示为相等关系、倍数关系和分数关系，应灵活运用。
套路揭密：
（1）求角度中，角平分线能够为我们带来角的相等、倍数等关系，高线能够带来角互余的关系，然后在三角形中利用内角和定理，就可以很轻松求出角度。
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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第9讲 认识三角形专题精讲（解析版）
参考答案
温故知新
变量相关的定义
1、变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。
2、自变量和因变量。
（1）在某一变化过程中，有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，另一个变量也有唯一一个数值与其对应，通常把前一个变量叫做自变量，后一个变量叫做因变量。
（2） 自变量和因变量的区别和联系。联系：两者都是某一变化过程中的变量，两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化，比如当路程一定时，时间随速度的变化而变化，这时速度为自变量，时间为因变量。而当速度一定时，路程随时间的变化而变化，这时时间为自变量，路程为因变量。
区别：因变量随自变量的变化为变化。
常量：在变化过程中数值始终不变的量。
智慧乐园
生活中还有哪些三角形形状的物体呢，简单举例
知识要点一
三角形
（一）三角形的定义及分类
（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形有三边条、三个内角和三个顶点。“三角形”可以用符号“△”表示，如图中顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，三个字母之间并无顺序关系。△ABC 的三边，有时也用来表示。如图，顶点A、B、C所对的边分别是BC、AC、AB，分别用来表示。
（2）三角形的分类：按角分类
（3）三角形内角的和等于180°，这个定理可以结合右边的图形，利用平行线的性质证明。
（二）直角三角形
（1）通常我们用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”。直角所对的边叫做直角三角形的斜边，夹直角的两条边叫做直角边。
（2）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，用几何语言表示：在Rt△ABC中，∠ C=90°，则∠ A+∠B=90°
典例分析
例1、【解析】A
例2、【解析】A
例3、【解析】△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，
ABC和BCD都是等腰三角形。
又∠A＝∠ABD，
可设∠A=x，C=2x，根据三角形内角和180度，可解得x=36°
例4、【解析】60°
例5、【解析】根据三角形内角和可求出三个内角为30°，60°，90°.则邻补角分别为150°，120°，90°
答案：5∶4∶3
例6、【解析】B
例7、【解析】A
举一反三
1、【解析】C
2、【解析】B
3、【解析】A
4、【解析】∵△ADC中，∠A=30°，∠ADC=110°
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠ADC=40°
∵BE⊥AC
∴∠BEC=90°
∴∠B=90°﹣∠C=50°
5、【解析】∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=×∠ACD=×100°=50°
∵FG∥CE
∴∠AFG=∠ACE=50°
在△AFG中，∠BAC=∠AFG+∠AGF=50°+20°=70°
又∵∠ACB=180°﹣∠ACD=180°﹣100°=80°
∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣70°﹣80°=30°
典例分析
例1、【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知选 C
例2、【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得第三边长度的取值范围是3-7,所以周长的最小值是3+3+5=11；最大值是3+5+7=15。故选D
例3、【解析】D
例4、【解析】D
例5、【解析】∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠EAD+∠2，
∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°，
Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣30°﹣10°=50°
例6、【解析】①在△ABC中，∵∠ABC=40°，∠C=60°
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°
∵AE是的角平分线
∴∠EAC=∠BAC=40°
∵AD是△ABC的高
∴∠ADC=90°
∴在△ADC中，∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=180°﹣90°﹣60°=30°
∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣30°=10°
②∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC=40°
∴∠FBC=∠ABC=20°
又∵∠C=60°
∴∠AFO=80°
∴∠AOF=180°﹣80°﹣40°=60°
∴∠BOE=∠AOF=60°
举一反三
1、【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得 3＜x＜17
2、【解析】延长BP交AC于D．
∵在△ABD中，AB＋AD＞BD＝BP＋PD，①
在△DPC中，DP＋DC＞PC，②
由①、②，
∴AB＋(AD＋DC)＋DP＞BP＋PC＋DP
即AB＋AC＞PB＋PC．
3、【解析】如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=EC，高相等
∴S△BEF=S△BEC
同理得，S△EBC=S△ABC
∴S△BEF=S△ABC，且S△ABC=4
∴S△BEF=1，即阴影部分的面积为1．故选B
4、证明：∵∠ACB=90°
∴∠1+∠3=90°
∵CD⊥AB
∴∠2+∠4=90°
又∵BE平分∠ABC
∴∠1=∠2
∴∠3=∠4
∵∠4=∠5
∴∠3=∠5 即∠CFE=∠CEF
课堂闯关
初出茅庐
1、【解析】C
2、【解析】（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2=10
此时3+3=6＜10，不能组成三角形
（2）当3是底边时，腰长为×（16﹣3）=6.5
此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形
所以腰长为6.5．故选C
3、【解析】B
4、【解析】∵∠A=∠B=∠ACB
∴∠B=2∠A，∠ACB=3∠A
∵∠A+∠B+∠ACB=180°
∴∠A+2∠A+3∠A=180°，解得∠A=30°
∴∠ACB=90°
∵CD是△ABC的高
∴∠ACD=90°﹣30°=60°
∵CE是∠ACB的角平分线
∴∠ACE=×90°=45°
∴∠DCE=∠ACD﹣∠ACE=60°﹣45°=15°
5、【解析】∵∠B=30°，CD⊥AB于D
∴∠DCB=90°﹣∠B=60°
∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°
∴∠ECB=∠ACB=45°
∴∠DCE=∠DCB﹣∠ECB=60°﹣45°=15°
（2）∵∠CEF=135°，∠ECB=∠ACB=45°
∴∠CEF+∠ECB=180°
∴EF∥BC
优学学霸
1、【解析】三角形BDG和CDG中，BD=2DC．根据这两个三角形在BC边上的高相等
那么S△BDG=2S△GDC，因此S△GDC=4
同理S△AGE=S△GEC=3，S△BEC=S△BGC+S△GEC=8+4+3=15
∴三角形ABC的面积=2S△BEC=30，故选B
2、【解析】（1）∵∠B=30°，∠C=70°
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=40°
∵AD是高，∠C=70°
∴∠DAC=90°﹣∠C=20°
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；
（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=∠BAC﹣（90°﹣∠C）①
把∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C代入①，整理得
∠EAD=∠C﹣∠B，
∴2∠EAD=∠C﹣∠B．
3、【解析】（1）BD∥MF
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC
∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME
∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME
∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°
又∵∠AFM+∠AMF=90°
∴∠ABD=∠AFM
∴BD∥MF
（2）BD⊥MF
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC
∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°
∴∠ABC=∠AME
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME
∴∠ABD=∠AMF
∵∠ABD+∠ADB=90°
∴∠AMF+∠ADB=90°
∴BD⊥MF
（3）BD⊥MF
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC
∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°
∴∠ABC=∠AME
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME
∴∠ABD=∠AMF
∵∠AMF+∠F=90°
∴∠ABD+∠F=90°
∴BD⊥MF
考场直播
1、【解析】在△BFC中，∠BFC=116°
根据三角形的内角和得，∠FBC+∠FCB=180°﹣∠BFC=180°﹣116°=64°
∵BE，CD分别是∠ABC，∠ACB的角平分线
∴∠ABC=2∠FBC，∠ACB=2∠FCB
∴∠ABC+∠ACB=2（∠FBC+∠FCB）=2×64°=128°
在△ABC中，∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣128°=52°
2、【解析】如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1
∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3
∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°
∴∠1+∠2=150°﹣∠3
∵∠3=50°
∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°，故选：B．
自我挑战
1、【解析】14＜L＜22
2、【解析】40°
3、【解析】∵∠A=80°
∴∠ABC=∠C=50°
由题意可得：BD平分∠ABC
则∠ABD=∠CBD=25°
∴∠BDC的度数为：∠A+∠ABD=105°，故选：D
4、【解析】D
5、【解析】∵△ABC中∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣70°=110°，
∵O为△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°，
∴∠O=180°﹣55°=125°，
∵PB⊥BO，PC⊥CO，
∴∠OBP=∠OCP=90°，
∴∠P=360°﹣﹣∠OBP﹣∠OCP﹣∠O
=360°﹣90°﹣90°﹣125°
=55°
6、解：∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∵∠B=60°
∴∠BAD=30°
∵∠DAE=10°
∴∠BAE=40°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE=40°，∠BAC=80°
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAE=40°
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