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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第10讲 全等三角形（一）专题精讲（提高版）
温故知新
三角形的“三线”
（一）三角形的“三线”
（1）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。一个三角形有三条中线，并且交于一点，这点称为三角形的重心。
三角形的中线性质：①中线平分一条边；②无论三角形什么形状，它的重心都在三角形的内部；
③三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形。
（2）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角线的角平分线交于三角形内部一点。
（3）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的高线交于三角形内部一点，直角三角形的高线交于三角形直角顶点，钝角三角形的高线交于三角形外部一点。
智慧乐园
生活中你还遇见过这样的图形吗？请举例子
知识要点一
全等三角形
（一）全等图形的定义
（1）全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形。即形状和大小两者都要完全一样，
缺一不可。
（2）全等图形特征：全等图形的形状和大小都相同；全等图形的周长相等，面积相等。
（二）全等三角形的定义及性质
（1）全等三角形：能够完全重合的两个三角形是全等三角形。全等用符号“≌”来表示，
如图△ABC≌△DEF，其中互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，在记两个三角形全等时，对应顶点的字母一定要写在对应的位置上。
（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的基本类型：
①平移全等型 ②对称全等型
③旋转全等型
典例分析
例1、下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等
例2、如图，△ABC≌△CDA，并且AB=CD，那么下列结论错误的是（ ）
A．∠1=∠2 B．AC=CA C．∠D=∠B D．AC=BC
例3、如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=13cm，则AC=____cm
例4、若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为100，AB=30，EF=25，则AC=（ ）
A、55 B、45 C、30 D、25
例5、如图，△ABC≌△ADE，且∠EAB＝120°，∠B＝30°，∠CAD＝10°，∠CFD=______
举一反三
1、如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，∠EAC的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
2、如图，若△ABC≌△AEF，则对于结论：（1）AC=AF；（2）∠FAB=∠EAB；（3）EF=BC；（4）∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ）
A.15° B．20° C．25° D．30°
4、如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠BEA=135°，求∠C的度数
5、如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数和EC的长．
6、如图，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
知识要点二
三角形全等的判定条件（一）
（一）三角形全等的条件
（1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。
注意：①在运用“SSS”判定三角形全等，必须同时满足三边对应相等，只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。②“SSS”判定全等只适用于三角形，不能适用其他图形。
符号语言：已知△ABC与△DEF的三条边对应相等。
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
（2）三角形的稳定性：由“SSS”结论可知，三角形三条边的长度确定了，三角形的大小和形状也就确定了，这个性质叫做三角形的稳定性。
（3）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
注意：①用“ASA”判定两个三角形全等时，一定要说明两个角及夹边对应相等
②在书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一般把夹边相等写在中间的位置。
符号语言：已知∠D=∠E，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABD≌△ACE．
证明：在△ABD和△ACE中，
∠D=∠E
AD=AE
∠BAD＝∠CAE
∴△ABD≌△ACE（ASA）
典例分析
例1、如图所示，AB＝DC，AC＝DB，求证：∠1＝∠2
例2、已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求证：∠C＝∠A.
例3、如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF
例4、如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF
举一反三
1、如图，AB=AC，∠B=∠C，点D为BC的中点，∠BDE=∠CDF，DE、DF分别与CA、BA的延长线交于点E、F，求证：
（1）AE=AF；
（2）EF∥BC
2、在△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD与高BE的交点，求证：△ADC≌△BDF
3、如图，将△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，再过点O任意画一条与AC，BD都相交的直线MN，交点分别为M和N．试问：线段OM＝ON成立吗？若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由．
课堂闯关
初出茅庐
1、如图，△ABC≌△DEF，△ABC的周长为25cm，AB=6cm，CA=8cm，则DE= ，DF= ，EF= ．
2、如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是
3、如图，AB∥CD，OB＝OD，则由“ASA”可以直接判定△______≌△___________
4、如图，△ABC≌△DCB，AC与BD相交于点E，若∠A=∠D=80°，∠ABC=60°，
则∠BEC等于___________.
5、如图，线段AD，BC相交于点O，若OA=OB，为了用“ASA”判定△AOC≌△BOD，则应补充条件（ ）
A．∠A=∠B B．∠C=∠D C．AC=BD D．OC=OD
6、如图所示，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．求证：△ABC≌△DEF
优学学霸
1、如图，△ABC中，∠ABC=45゜，D为BC上一点，CD=2BD，∠ADC=60゜．AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．求证：△AFG≌△CFD
2、如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，请问△ABC与△DEC全等吗？如果全等请说明理由．
考场直播
1、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点O，且BO=CO，求证：
（1）∠ABE=∠ACD；
（2）DO=EO
2、如图，△ACB≌△A′C′B′，∠BCB′=40°，∠ACA′的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
自我挑战
1、如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（ ）
A.20° B．30° C．35° D．40°
2、如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
3、已知：如图，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是 （ ）
A．DB B．BC C．CD D．AD
二、填空题
4、如图，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°
5、如图所示，ΔABC≌ΔDCB．
（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____
（2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边__ ___
（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边 ，对应角
如图所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，
求∠ADB的度数．
7、已知，如图在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，且∠BED=∠C=64°，求证：△ABF≌△CBF．
学霸说：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等、面积相等。
学霸说：
（1）①在运用“SSS”判定三角形全等，必须同时满足三边对应相等，只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。②“SSS”判定全等只适用于三角形，不能适用其他图形。
（2）①用“ASA”判定两个三角形全等时，一定要说明两个角及夹边对应相等
②在书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一般把夹边相等写在中间的位置。
（3）平行线的定义可以作为判定两直线平行的依据
A
D
C
B
O
C
E
B
F
D
A
套路揭密：
（1）熟知全等的判定方法，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形
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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第10讲 全等三角形（一）专题精讲（解析版）
参考答案
典例分析
例1、【解析】C．
例2、【解析】D．
例3、【解析】10
例4、【解析】B
例5、【解析】95°
举一反三
1、【解析】C
2、【解析】C
3、【解析】D
4、【解析】 ∵△OAD≌△OBC
∴∠C=∠D，∠OBC=∠OAD
∵∠0=65°
∴∠OBC=180°-65°-∠C=115°-∠C
在四边形AOBE中，∠O+∠OBC+∠BEA+∠OAD=360°
∴65°+115°-∠C+135°+115°-∠C=360°
解得∠C=35°
5、【解析】∵∠A=30°，∠B=50°
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-50°=100°
∵△ABC≌△DEF
∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC
∴EF-CF=BC-CF，即EC=BF
∵BF=2
∴EC=2
∴∠DFE=100°，EC=2
6、【解析】(1)∵△ABC≌△DEF
∴∠F=∠ACB=180?-∠A-∠B
=180?-85?-60?=35?
DE=AB=8
∵EH=2
∴DH=DE-EH=6
(2)∵△ABC≌△DEF
∴∠ABC=∠EBF
∴AB∥DE
典例分析
例1、【解析】在△ABC与△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.
∴∠ABC－∠DBC＝∠DCB－∠ACB.
即∠1＝∠2
例2、【解析】连接BD，在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SSS）
∴∠C＝∠A
例3、【解析】解：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB （SSS），
∴∠ACB=∠DBE．
∵∠ACB+∠DBE+∠BFC=180°
∠AFB+∠BFC=180°
∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，
∠ACB=∠AFB，故选C
例4、【解析】证明：∵AB∥DF
∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE
∵∠E=∠CPD
∴∠E=∠B
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
举一反三
1、【解析】（1）∵∠BDE=∠CDF
∴∠BDF=∠CDE
在△BDF和△CDE中
∴△BDF≌△CDE（ASA）
∴CE=BF
∵AB=AC
∴AE=AF
（2）∵AE=AF
∴∠AEF=∠AFE
∵∠BAC=∠EAF
∴∠AEF=∠AFE=∠ABC=∠ACB
∴EF∥BC
2、【解析】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠FDB=∠ADC=90°
∵∠ABC=45°
∴∠BAD=45°=∠ABD
∴AD=BD
∵BE⊥AC
∴∠AEF=∠FDB=90°
∵∠AFE=∠BFD
∴由三角形内角和定理得：∠CAD=∠FBD
在△ADC和△BDE中
∴△ADC≌△BDE（ASA）
3、【解析】OM＝ON成立．理由是：
∵△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，
∴△BOD≌△AOC．
∴∠A＝∠B，AO＝BO．
又∵∠AOM＝∠BON，
∴△AOM≌△BON(ASA)．
∴OM＝ON
课堂闯关
初出茅庐
1、【解析】6cm；8cm；11cm．
2、【解析】 易证△AEB≌△AFD，可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16
3、【解析】△AOB≌△COD
4、【解析】100°
5、【解析】A
6、【解析】证明：∵AB∥DE
∴∠B＝∠DEF
∵BE＝CF
∴BC＝EF
在△ABC与△DEF中
∠B＝∠DEF，BC＝EF，∠ACB＝∠F
∴△ABC≌△DEF（ASA）
优学学霸
1、∵CF⊥AD
∴∠DFC=∠CFD=90°
∵∠ADC=60°
∴∠FCD=30°
∴CD=2DF
∵CD=2BD
∴BD=DF
∴∠DBF=∠DFB
∵∠ADC=∠DFB+∠FBD=60°
∴∠DFB=∠DBF=30°
∵∠ABC=45°
∴∠ABF=45°﹣30°=15°
∵∠ABF+∠BAF=∠BFD=30°
∴∠FAB=15°
即∠BAF=∠ABF
∴BF=AF
∵∠FBC=∠FCB=30°
∴BF=CF
∵AE⊥BC
∴∠AED=90°
∵∠ADC=60°
∴∠FAG=30°=∠DCF
在△AFG和△CFD中
∴△AFG≌△CFD（ASA）．
2、【解析】结论：△ABC≌△DEC．
证明：如图2中，∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°
∴∠3=∠5，∠B+∠6=180°
∵∠6+∠7=180°
∴∠B=∠7
在△ABC与△DEC中
∴△ABC≌△DEC
考场直播
1、【解析】（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC﹣∠OBC=∠ACB﹣∠OCB，
即∠ABE=∠ACD；
（2）在△DOB和△EOC中，
∴△DOB≌△EOC，
∴DO=EO
2、【解析】∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∵∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB，
∴∠ACA′=∠ACB﹣∠A′CB，
∴∠ACA′=∠BCB′=40°．故选D．
自我挑战
1、【解析】B
2、【解析】B
3、【解析】C
二、填空题
4、【解析】2 1.5 48 25
6、【解析】∵RT△EBC旋转得到RT△ABD,
∴∠ADB=∠ECB
∵∠E=35?
∴∠ADB=90?-35?=55?
7、【解析】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDE=90°，
∵∠BED=∠C=64°，
∴∠DAC=90°﹣64°=26°，∠DBE=90°﹣64°=26°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBE=52°，∠AB∠=∠CBF，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=180°﹣52°﹣64°=64°，
∴∠C=∠BAF，
在△ABF和△CBF中，
∴△ABF≌△CBF（ASA）
学霸说：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等、面积相等。
套路揭密：
（1）熟知全等的判定方法，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形
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