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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第11讲 全等三角形（二）专题精讲（提高版）
温故知新
（一）三角形全等的条件
（1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。
符号语言：已知△ABC与△DEF的三条边对应相等。
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
（2）三角形的稳定性：由“SSS”结论可知，三角形三条边的长度确定了，三角形的大小和形状也就确定了，这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或
“ASA”。
符号语言：如下图，已知∠D=∠E，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABD≌△ACE．
证明：在△ABD和△ACE中，
∠D=∠E
AD=AE
∠BAD＝∠CAE
∴△ABD≌△ACE（ASA）
智慧乐园
知识要点一
三角形全等的判定条件（二）
（一）三角形全等的条件
（1）三角形全等条件3： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。
符号语言：如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B．求证：△ACD≌△ABE
证明：在△ACD和△ABE中．
∠C=∠B
∠A=∠A
DC=EB
∴△ACD≌△ABE（AAS）．
注意：“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。
（2）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
符号语言：在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
注意：①应用“SAS”时，必须满足相等的角是对应相等两边的夹角，即“两边夹一角”。
（3）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
符号语言：在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
注意：①应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上“Rt”
②“HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一的方法，前面学过的判定方法在直角三角形中仍然适用。
典例分析
例1、如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是（ ）
A．∠A=∠D B．∠B=∠E C．∠C=∠F D．以上三个均可以
例2、如图，在△OBC中，延长BO到D，延长CO到A，要证明OD=OA，则应添加条件中错误的是（ ）
A．△ABC≌△DCB B．OB=OC，∠A=∠D
C．OB=OC，AB=DC D．∠A=∠D，∠ABC=∠DCB
例3、如图，在△ABC中，AB=AC，AE是经过点A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，AD=CE，则∠BAC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
例4、如图所示，C，F在BE上，∠A＝∠D，AC∥DF，BF＝EC．
求证：AB＝DE．
例5、如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB．求证：△ADF≌△CBE．
举一反三
1、如图，用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（ ）
A．AC=A′C′，BC=B′C′ B．∠A=∠A′，AB=A′B′
C．AC=A′C′，AB=A′B′ D．∠B=∠B′，BC=B′C′
2、如图，已知AB⊥CD，垂足为B，DE=AC，若直接应用“HL”判定
△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是_______________．
3、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，则∠ECA的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
4、已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
（1）求证：BD=CE
（2）求证：∠M=∠N
5、已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
知识要点二
全等三角形的应用、尺规作三角形
（一）全等三角形的应用
由于两个三角形全等，对应边相等，因此利用全等三角形可以测量不能到达或不能直接测量的两点之间的距离，其关键是构造两个全等三角形，其根据是全等三角形的对应边相等。
（二）尺规作三角形
（1）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体做法如下：
已知：线段a， c，
（2）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体做法如下：
已知： ，，线段c
求作：△ABC，使∠A= ，∠B= ，AB=c
典例分析
例1、如图所示，要测量河两岸上对岸两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再在BF的垂线DE上取点E，使A、C、E在同一条直线上，可以得到△ABC≌△EDC，得DE=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC的理由是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
例2、如图，将两根等长钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边
例3、在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案．
（1）画出测量图案；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．
例4、动手画一画．按下列所给条件画△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c．
举一反三
1、如图，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等，若∠ABC=32°，则∠DFE的度数为（ ）
A．32° B．28° C．58° D．45°
2、如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离：现在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度．
（1）求证：DE=AB；
（2）如果DE的长度是8m，则AB的长度是多少？
3、尺规作图：已知线段a，求作三角形ABC，使AB=BC=CA=a．（要求保留作图痕迹）菁优网版
课堂闯关
初出茅庐
1、如图，已知∠DAC=∠BAC，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．AB=AD B．∠BCA=∠DCA C．CB=CD D．∠ADC=∠ABC
2、如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（ ）
A．4 B．5 C．1 D．2
3、如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AD及AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF、CE．则下列结论中正确的有（ ）
①△BDF≌△CDE；②CE=BF；③ABD和△ACD的面积相等；④BF∥CE．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、如图，H是△ABC的高AD、BE的交点，且DH=DC．给出下列结论：
①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．①③
5、如图，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，D为AB边上一个动点，CE=CD，∠CDE=∠CED=45°．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求证：∠ABE是定值．
6、已知：在ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，且BH=AC，
证明：DH=DC．
优学学霸
1、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∠EPF=90°，给出四个结论：
①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S四边形AEPF=S△ABC．其中成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连CF，交AB于点G、交AD于点M，连DG．
（1）求证：AD⊥CF；
（2）求证：∠ADC=∠BDG
考场直播
1、如图，射线AM与△ABC的BC边交于点D，BE⊥AM，CF⊥AM，垂足分别为E，F，当点D在什么位置时，BE=CF？请说明理由
2、已知如图，BD=CD，∠ADB=∠ADC，DE、DF分别垂直于AB是AC交延长线于E、F．试问BE=CF吗？请说明理由．
自我挑战
1、如图所示，由∠D=∠C，∠BAD=∠ABC推得△ABD≌△BAC，所用的判定定理的简称是（ ）
A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS
2、如图，已知∠B=∠DEF，AB=DE，请添加一个条件使△ABC≌△DEF，则需添加的条件是 ．
3、如图，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CE、BD相交于O，则图中全等的直角三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4、如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，在△ADE≌△BDE≌△BDC，则∠A的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5、如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC=BF，∠DAC=35°，∠EBC=40°，求∠C的度数
6、（1）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
已知：如图1，BC∥EF，AB=DE，BC=EF，试说明∠C=∠F．
解：∵BC∥EF（已知）
∴∠ABC= （ ）
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ ）
∴∠C=∠F（ ）
A
B
C
F
E
D
学霸说：
（1）“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。
（2）应用“SAS”时，必须满足相等的角是对应相等两边的夹角，即“两边夹一角”
（3）“HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一的方法，前面学过的判定方法在直角三角形中仍然适用。
学霸说：
（1）利用全等三角形测距离，其关键是构造两个全等三角形，其根据是全等三角形的对应边相等。
（2）复杂的尺规作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作
（3）平行线的定义可以作为判定两直线平行的依据
套路揭密：
全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理“ASA”，“AAS”，“SSS”，“SAS”是解题的关键
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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第11讲 全等三角形（二）专题精讲（解析版）
参考答案
典例分析
例1、【解析】B
例2、【解析】C
例3、【解析】C
例4、【解析】先利用平行证明角相等，再用等量相减的思想证明BC＝EF，应用AAS可得△ABC≌△DEF，进而得出结论．
证明：∵AC∥DF，
∴∠ACE＝∠DFB.
又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∠DFB＋∠DFE＝180°，
∴∠ACB＝∠DFE.
又BF＝EC，∴BF－CF＝EC－CF，即BC＝EF.
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）
∴AB＝DE
例5、【解析】根据平行线的性质及全等三角形的判定定理“SAS”证得结论
证明：∵AE=CF，
∴AE﹣EF=CF﹣EF，即AF=CE．
又∵AD∥BC，
∴∠A=∠C．
∵在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）
举一反三
1、【解析】C
2、【解析】AB=DB或BE=BC
3、【解析】在BC上截取BF=AB，连DF
则有△ABD≌△FBD（SAS）
∴DF=DA=DE
又∵∠ACB=∠ABC=40°，∠DFC=180°﹣∠A=80°
∴∠FDC=60°
∵∠EDC=∠ADB=180°﹣∠ABD﹣∠A=180°﹣20°﹣100°=60°
∴△DCE≌△DCF（SAS）
故∠ECA=∠DCB=40°．故选：C
4、【解析】（1）证明：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，
由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，
在△ACM和△ABN中，
∴△ACM≌△ABN（ASA），
∴∠M=∠N
5、【解析】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，
∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG
又∵BF⊥CE
∴∠CBG+∠BCF=90°
又∵∠ACE+∠BCF=90°
∴∠ACE=∠CBG
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG
（2）解：BE=CM
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°
∴∠CMA=∠BEC
又∵∠ACM=∠CBE=45°
在△BCE和△CAM中，
∴△BCE≌△CAM（AAS）
∴BE=C
典例分析
例1、【解析】B
例2、【解析】B．
例3、
【解析】（1）见图：
（2）在湖岸上选一点O，连接BO并延长到C使BO=OC，连接AO并延长到点D使OD=AO，连接CD，则AB=CD．测量DC的长度即为AB的长度；
（3）设DC=m
∵BO=CO，∠AOB=∠COD，AO=DO
∴△AOB≌△COD （SAS）
∴AB=CD=m
例4、【解析】画一条线段AB等于c，分别以A，B为顶点利用作一个角等于已知角的方法作∠A=α，∠B=β即可．如图所示：
举一反三
1、【解析】C
2、【解析】（1）证明：在△CDE和△CAB中，
，
∴△CDE≌△CAB（SAS），
∴DE=AB；
（2）∵DE=AB，DE=8m，
∴AB=8m．
答：AB的长度是8m．
3、【分析】先作AB=a，再分别以点A、B为圆心，a为半径画弧，两弧相交于点C，然后连结AC、BC即可得到△ABC．
【解析】如图，△ABC为所作．
课堂闯关
初出茅庐
1、【解析】C
2、【解析】C
3、【解析】D
4、【解析】D
5、【解析】（1）∵∠CAB=∠CBA=45°，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE=90°﹣∠DCB，
在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）∵△ACD≌△BCE，∠A=45°，∴∠CBE=∠A=45°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，
即∠ABE是一个定值，是90°
6、【解析】证明：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴∠BDH=∠ADC=90°．
∠DBH+∠DHB=90°，∠DAC+∠AHE=90°，
∵∠BHD=∠AHE（对顶角相等），
∴∠DBH=DAC（等角的余角相等），
在△BHD和△ACD中，
，
∴△BHD≌△ACD（AAS）
∴DH=DC
优学学霸
1、【解析】D
2、【解析】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°
∴∠CAB=45°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF=∠ACB=90°，
∴∠ABF=∠CBA=45°，即BE平分∠DBF，而DE⊥AB，
∴AB垂直平分DF，
∴BD=BF，
∵D点为BC的中点，∴DC=DB，
∴CD=BF，
在△ACD和△CBF中，，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠2=∠1，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AD⊥CF；
（2）证明：在△BGD和△BFG中，，
∴△BDG≌△BFG（SAS）
∴∠BDG=∠BFG，
∵△ACD≌△CBF，
∴∠ADC=∠CFB，
∴∠ADC=∠BDG；
考场直播
1、【解析】当点D在BC的中点时，BE=CF，
理由如下：∵BE⊥AM，CF⊥AM，垂足分别为E，F，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
∵∠BDE=∠CFD，
∴在△BED和△CFD中
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BE=CF
2、【解析】在△ABD与△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠BAD=∠DAC，AB=AC，
∵AE⊥ED，AF⊥DF，
∠AED=∠AFD=90°，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∵AB=AC，
∴BE=CF．
自我挑战
1、【解析】A
2、【解析】BC=EF或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE
3、【解析】C
4、【解析】D
5、【解析】如图，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM．
在△BDM和△CDA中，
，
∴△BDM≌△CDA，
∴BM=AC=BF，∠M=∠CAD=35°，∠C=∠DBM，
∵BF=AC，
∴BF=BM，
∴∠M=∠BFM=35°，
∴∠MBF=180°﹣∠M﹣∠BFM=110°
∵∠EBC=40°
∴∠DBM=∠MBF﹣∠EBC=70°
∴∠C=∠DBM=70°
6、（1）【解析】∠E，两直线平行，同位角相等，SAS，全等三角形的对应角相等．
（2）【解析】△ABD≌△CBE，△EBG≌△DBF，△ABF≌△CBG，
理由是：∵△ABC和△DBE都是等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠CBA=∠DBE，
∴∠CBA+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
即∠ABD=∠CBE，
∵在△ABD和△CBE中
，
∴△ABD≌△CBE，
∴∠ADB=∠CEB，∠ECB=∠DAB，
∵∠CBA=∠DBE=60°，
∴∠CBD=180°﹣60°﹣60°=60°=∠DBE，
∵在△EBG和△DBF中
，
∴△EBG≌△DBF，
同理△ABF≌△CBG．
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