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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第12讲 生活中的轴对称专题精讲（提高版）
温故知新
三角形全等的条件（二）
（1）三角形全等条件3： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。
符号语言：如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B．求证：△ACD≌△ABE
证明：在△ACD和△ABE中 ∴△ACD≌△ABE（AAS）．
（2）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
符号语言：在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．
（3）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
符号语言：在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
智慧乐园
中国剪纸是一种用剪刀 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E5%89%AA%E5%88%80" \t "_blank?)或刻刀 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E5%88%BB%E5%88%80" \t "_blank?)在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术。观察下列剪纸，你觉得它们有什么特征？与同伴进行交流
轴对称
（一）轴对称的定义
（1）轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。
（2）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
（3）轴对称与轴对称图形的区别：①成轴对称是对于两个图形而言的，指的是两个图形形状和位置关系，而轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。
（二）轴对称的性质
（1）对应点、线段、角的概念：我们把对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角。
（2）轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
（3）画已知图形的轴对称图形：画轴对称图形，首先应该确定对称轴，然后找出对称点。连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形。
（4）轴对称-最短路线问题：
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
典例分析
例1、下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
例2、如图，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（ ）
A． B． C． D．
例3、如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入
球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
例4、把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，重叠部分为△EBD，下列说法错误的是（ ）
A．AB=CD B．∠BAE=∠DCE C．EB=ED D．∠ABE一定等于30°
例5、如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（ ）
A．145° B．152° C．158° D．160°
例6、已知直线l的同侧有A，B两点（图1），要在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．小明同学的做法如图2：①作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′P+PB=A′B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．请问小明同学的做法是否正确？说明理由．
举一反三
1、下列各图中，为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2、如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3、如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
4、如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DE的度数为 ．
5、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，
求证：BF=DF；
6、如图，直线l同侧有A、B两点，请利用直尺和圆规在直线l上求作一点P，使AP+BP值最小．（不写作法，保留作图痕迹）
知识要点二
简单的轴对称图形
（一）等腰三角形
定义：三角形中有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
特征：（1）等腰三角形是轴对称图形。
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（也称“等腰三角形的三线合一”），“三线”所在的直线就是等腰三角形的对称轴。
（3）等腰三角形的两腰相等、两底角相等。
判定方法：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形，这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边”
（二）等边三角形
定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。
特征：（1）等边三角形是轴对称图形。（2）等边三角形的三条边相等，三个内角都相等
且都为60°
判别方法：（1）三边都相等的三角形是等边三角形.
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
（三）线段的轴对称性
（1）线段是轴对称图形，垂直且平分线段的直线就是它的对称轴。
（2）线段的垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称中垂线。如上图，直线⊥AB，且AC=BC，则直线叫做线段AB的垂直平分线。
（3）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。如上图，则AP=BP.
（4）尺规作线段的垂直平分线：
（四）角的轴对称性
（1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
如图，OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA、PE⊥OB，则DP=EP.
尺规作已知角的角平分线：如右下图
典例分析
例1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
例2、如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
例3、等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
例4、如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
例5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
例6、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？说明理由．
举一反三
1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；
（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC=60°，∠ECD=40°，则∠ABE=（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
4、如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5、如图，已知BD平分∠ABC，AB=AD，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）①若DE=6cm，求点D到BC的距离；
②当∠ABD=35°，∠DAC=2∠ABD时，求∠BAC的度数．
课堂闯关
初出茅庐
1、如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=67°，则∠1=（ ）
A．23° B．46° C．67° D．78°
2、∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
3、如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
4、如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．
优学学霸
1、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为
2、如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE=BD；
（2）求证：MN∥AB．
考场直播
1、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点O，且BO=CO，求证：（1）∠ABE=∠ACD；（2）DO=EO．
2、（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE=DC，且BE⊥DC．
请补充完整证明“BE=DC，且BE⊥DC”的推理过程；
证明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形（已知）
∴AB=AD，AE=AC（等腰直角三角形定义）
又∵∠BAD=∠CAE=90°（已知）
∴∠BAD+∠BAC= （等式性质）
即：
∴△ABE≌△ADC（ ）
∴BE=DC（全等三角形的对应边相等）
∠ABE=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
又∵∠BFO=∠DFA（ ）
∠ADF+∠DFA=90°（直角三角形的两个锐角互余）
∴∠ABE+∠BFO=90°（等量代换）
∴ 即BE⊥DC
（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？
自我挑战
1、如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= ．
2、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 ．
3、如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数为（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
4、△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5、如图所示，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作BC的平行线交AC于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
求证：（1）△DCF是直角三角形；（2）DE=EF
6、如图，在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．
（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
学霸说：
（1）对称轴是一条直线，不是线段，也不是射线；
（2）轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条。
学霸说：
（1）利用中垂线的性质带来线段的相等，结合等腰三角形的性质，进行等量代换，解决线段相等问题
（2）要善于利用已知条件，得到等腰三角形或等边三角形，从而进一步利用它们的性质解题。
（3）平行线的定义可以作为判定两直线平行的依据
套路揭密：
（1）等腰三角形或等边三角形可以给我们带来角、线段的相等，这些条件是判定全等三角形重要的条件，综合利用这些性质，可以给我们带来丰富的解题思路。
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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第12讲 生活中的轴对称专题精讲（解析版）
参考答案
典例分析
例1、【解析】C
例2、【解析】C
例3、【解析】B
例4、【解析】D
例5、【解析】B
例6、【解析】小明的做法正确，根据两点之间线段最短分析即可．
答：小明的做法正确，理由如下：
∵点A和点A′关于直线l对称，且点P在l上，
∴PA=PA′，
又∴A′B交l与P，且两条直线相交只有一个交点，
∴PA′+PB最短，即PA+PB的值最小．
举一反三
1、【解析】C
2、【解析】连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．故选C．
3、【解析】B
4、【解析】65°
5、【解析】由折叠的性质知，CD=ED，BE=BC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，∠BAD=90°，
∴AB=DE，BE=AD，
在△ABD与△EDB中，，
∴△ABD≌△EDB（SSS），
∴∠EBD=∠ADB，
∴BF=DF
6、【解析】作A点关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P点为所求．
典例分析
例1、【解析】A
例2、【解析】D
例3、【解析】C
例4、【解析】A
例5、【解析】B
例6、【解析】连接BD，延长BF交DE于点G．
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=22.5°，
∴∠ABC=67.5°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC=DC．
在△ECD和△FCB中，，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE=BF，∠CED=∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF=90°，
∴∠CED+∠CBF=90°，
∴∠EGB=90°，即DE⊥BF．
举一反三
1、【解析】C
2、【解析】C
3、【解析】B
4、【解析】C
5、【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC
又∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∴∠D=∠DBC，
∴AD∥BC；
（2）解：①作DF⊥BC于F．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE=6（cm），
②∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=70°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣70°﹣70°=40°．
课堂闯关
初出茅庐
1、【解析】B
2、【解析】B
3、【解析】D
4、【解析】（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM=180°，
∴∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，即M为BC的中点．
优学学霸
1、【解析】过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=AC，
∵AC=1，∴DE=．
2、【解析】（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，
∵∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB
在△ACE与△DCB中，
∴△ACE≌△DCB
∴AE=BD
（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线
∴∠DCN=60°
在△ACM与△DCN中，
∴△ACM≌△DCN（ASA）
∴MC=NC
∵∠MCN=60°
∴△MCN为等边三角形
∴∠NMC=∠DCN=60°
∴∠NMC=∠DCA
∴MN∥AB
考场直播
1、【解析】（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC﹣∠OBC=∠ACB﹣∠OCB，
即∠ABE=∠ACD
（2）在△DOB和△EOC中，
∴△DOB≌△EOC，
∴DO=EO．
2、【解析】（1）∠CAE+∠BAC，∠DAC=∠BAE，SAS，对顶角相等，∠BOF=∠DAF=90°；
（2）证明：如图2，∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，
∴AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE，∠BEA=∠ACD，
∴∠BOC=∠ECO+∠OEC
=∠DCA+∠ACE+∠OEC
=∠BEA+∠ACE+∠OEC
=∠ACE+∠AEC=60°+60°=120°．
∴∠BOC=60°
自我挑战
1、【解析】4：5：6
2、【解析】∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴BE=CE．
∵△EDC的周长为24，
∴ED+DC+EC=24，①
∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，
∴（AB+AC+BC）﹣（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）﹣（AE+DC+AC）
﹣DE=12，
∴BE+BD﹣DE=12，②
∵BE=CE，BD=DC，
∴①﹣②得，DE=6．
3、【解析】D
4、【解析】D
5、【解析】（1）∵DC平分∠ACB，CF平分∠ACM
∴∠ACD=∠ACB，∠ACF=∠ACM
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=（∠ACB+∠ACM）=90°
∴△DCF是直角三角形；
（2）∵DF∥BC
∴∠EDC=∠BCD，∠F=∠FCM
∵DC平分∠ACB，CF平分∠ACM
∴∠ACD=∠BCD，∠ACF=∠FCM
∴∠EDC=∠ACD，∠F=∠ACF
∴ED=EC，EC=EF
∴DE=EF
6、解：（1）∵等边△ABC，
∴BC=AB=9cm，
∵点P的速度为2cm/s，时间为ts，
∴CP=2t，
则PB=BC﹣CP=（9﹣2t）cm；
∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts，
∴BQ=5t；
（2）若△PBQ为等边三角形，则有BQ=BP，即9﹣2t=5t，解得t=，
所以当t=s时，△PBQ为等边三角形；
（3）设ts时，Q与P第一次相遇，
根据题意得：5t﹣2t=18，解得t=6，
则6s时，两点第一次相遇．
当t=6s时，P走过得路程为2×6=12cm，
而9＜12＜18，即此时P在AB边上，
则两点在AB上第一次相遇．
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