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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第1讲 同底数幂的乘法与除法专题精讲（培优版）
授课主题 第01讲---同底数幂的乘法与除法
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 同底数幂乘除法的运算法则；零指数幂与负整数指数幂的意义及相关计算; 熟练掌握科学计数法表示小于1的正数
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架二、知识概念 （一）同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为（m,n都是正整数，底数不仅可以表示具体的数，也可以表示单项式与多项式） 2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用： ①都是正整数） ②都是正整数） ③都是正整数）（二）同底数幂的除法 1、同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用公式表示为 （都是正整数） 2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用： ①都是正整数） ②都是正整数） ③都是正整数），0的非零次幂都为03、零指数幂与负整数幂① ②是正整数），此式也可以逆用，即为正整数） 4、用科学计数法表示小于1的正数 一般地，一个小于1的正数可以表示为的形式，其中1≤a＜10，n是负整数，且n的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的零）。 考点一：同底数幂的乘法例1、已知x+y﹣3=0，则2y?2x的值是（ ）A．6 B．﹣6 C． D．8 例2、下列四个算式：① a6?a6=a6；② m3+m2=m5；③ x2?x?x8=x10；④ y2+y2=y4．其中计算正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例3、计算 ①﹣x5?x2?x10 ②（2）9（2）8?（2）3 ③ a6?a2+a5?a3﹣2a?a7 ④ （a﹣1）3?（a﹣1）2?（a﹣1） 例4、若x=3an，y=﹣，当a=2，n=3时，求anx﹣ay的值． 例5、阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1 即S=22014﹣1 即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+210 （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数） 考点二：同底数幂的除法例1、已知（2amb4）÷（4abn）=，则m、n的值分别为（ ） A．m=1，n=4 B．m=2，n=3 C．m=3，n=4 D．m=4，n=5例2、已知x4n+3÷xn + 1=xn+ 3?xn+5，求n的值 例3、（1）若33?9m+4÷272m﹣1的值为729，试求m的值； （2）已知3m=4，3m﹣4n=，求2008n的值 例4、阅读材料：① 1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④ 任何不等于零的数的零次幂都等于1 试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2015=1成立的x的值 例5、若有意义，则x的取值范围是（ ） A．x≠2011 B．x≠2011且x≠2012 C．x≠2011且x≠2012且x≠0 D．x≠2011且x≠0 例6、（1） （2） （3）[﹣2﹣3﹣8﹣1×（﹣1）﹣2]××90 （4）2 考点三：科学计数法表示小于1的正数例1、在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米。数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为（ ） A、9.63×10﹣5 B、96.3×10﹣6 C、0.963×10﹣5 D、963×10﹣4例2、一种细菌的半径是0.000045米，该数字用科学记数法表示正确的是（ ） A、4.5×105 B、45×106 C、4.5×10﹣5 D、4.5×10﹣4例3、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5×10﹣3毫米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，把2.5×10﹣3用小数形式表示正确的是（ ） A、0.000025 B、0.00025 C、0.0025 D、0.025例4、1微米=0.000001米，1微米用科学记数法可表示为（ ）米． A．1×106 B．1×105 C．1×10﹣5 D．1×10﹣6
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、已知xa﹣3=2，xb+4=5，xc+1=10（X不等于1和-1），试探究a，b，c之间的关系，并说明理由． 2、请阅读材料： ①一般地，n个相同的因数a相乘：记为an，如23=8，此时，指数3叫做以2为底8的对数，记为log=3（即=3）． ②一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则指数n叫做以a为底b的对数，记为（即=n），如34=81，则指数4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）． （1）计算下列各对数的值： log24= ； log216= ； log264= ． （2）观察（1）题中的三数4、16、64之间存在的关系式是 ，那么log24、log216、log264存在的关系式是 ． （3）由（2）题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ logaM+logaN= （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0） （4）请你运用幂的运算法则am?an=am+n以及上述中对数的定义证明（3）中你所归纳的结论． 3、能运用同底数幂的乘法法则进行运算是最基本的要求，而逆用同底数幂的乘法法则am+n=an?am，就能更灵活地解决问题，已知2a+4﹣2a+1=112，求a的值． 4、已知9m÷32m+2=，求n的值 5、计算： （1）（）5÷（）3?（）2 （2）﹣30﹣（1）2×+13÷ （3）（﹣）0+（﹣）2+（﹣）﹣2 （4） 6、我们约定：a?b=10a÷10b，如4?3=104÷103=10 （1）试求：12?3和10?4的值； （2）试求：21?5×102和19?3?4； （3）想一想，（a?b）?c和a?（b?c）是否相等，验证你的结论 7、如果（x﹣1）x+4=1成立，那么满足它的所有整数x的值是 8、生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（ ） A．0.432×10﹣5 B．4.32×10﹣6 C．4.32×10﹣7 D．43.2×10﹣7 9、将5.62×10﹣4用小数表示为（ ） A．0.000562 B．0.0000562 C．0.00562 D．0.00000562课后反击1、下列计算中，正确的个数是（ ） ① 102×103=106；② 5×54=54；③ a2?a2=2a2；④ b?b3=b4；⑤ c+c2=c3；⑥ b5+b5=2b5；⑦ 22?2+23=24 A．1 B．2 C．3 D．4 2、在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设： S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69① 然后在①式的两边都乘以6，得： 6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610② ②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想： 如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（ ） A． B． C． D．a2014﹣13、（1）（﹣）2×（﹣）3 （2）103?104?105 （3）a10?a2?a 4、（1） （2）3﹣2+（）﹣1+（﹣2）3+（892﹣890）0 （3） （4） 5、小丽在学习了“除零以外的任何数的零次幂的值为1”后，遇到这样一道题：“如果（x﹣2）x+3=1，求x的值”，她解答出来的结果为x=﹣3．老师说她考虑的问题不够全面，你能帮助小丽解答这个问题吗？ 6、如果等式（2a﹣1）a+2=1成立，则a的值可能有（ ） A．4个 B．1个 C．2个 D．3个 7、将5.62×10﹣8用小数表示为（ ） A．0.000 000 005 62 B．0.000 000 056 2 C．0.000 000 562 D．0.000 000 000 5628、英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯目前是世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 34米，将这个数用科学记数法表示为（ ） A．0.34×10﹣9 B．3.4×10﹣9 C．3.4×10﹣10 D．3.4×10﹣11 1、下列说法错误的是（） A、 B、 C、 D、2、下列计算正确的是（ ） A．2a2﹣4a2=﹣2 B．3a+a=3a2 C．3a?a=3a2 D．4a6÷2a3=2a2 3、计算a3?a2的结果是（ ） A．a5 B．a6 C．a3+a2 D．3a2
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为（m,n都是正整数，底数不仅可以表示具体的数，也可以表示单项式与多项式） 2、同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用公式表示为 （都是正整数） 1、零指数幂与负整数幂① ②是正整数），此式也可以逆用，即为正整数） 2、用科学计数法表示小于1的正数 一般地，一个小于1的正数可以表示为的形式，其中1≤a＜10，n是负整数，且n的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的零）。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第1讲 同底数幂的乘法与除法专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第01讲---同底数幂的乘法与除法
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 同底数幂乘除法的运算法则；零指数幂与负整数指数幂的意义及相关计算; 熟练掌握科学计数法表示小于1的正数
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一、知识框架二、知识概念 （一）同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为（m,n都是正整数，底数不仅可以表示具体的数，也可以表示单项式与多项式） 2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用： ①都是正整数） ②都是正整数） ③都是正整数）（二）同底数幂的除法 1、同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用公式表示为 （都是正整数）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用： ①都是正整数） ②都是正整数） ③都是正整数），0的非零次幂都为03、零指数幂与负整数幂① ②是正整数），此式也可以逆用，即为正整数） 4、用科学计数法表示小于1的正数 一般地，一个小于1的正数可以表示为的形式，其中1≤a＜10，n是负整数，且n的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的零）。 考点一：同底数幂的乘法例1、已知x+y﹣3=0，则2y?2x的值是（ ）A．6 B．﹣6 C． D．8【解析】D例2、下列四个算式：① a6?a6=a6；② m3+m2=m5；③ x2?x?x8=x10；④ y2+y2=y4．其中计算正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】A3、计算 ①﹣x5?x2?x10 ②（2）9（2）8?（2）3 ③ a6?a2+a5?a3﹣2a?a7 ④ （a﹣1）3?（a﹣1）2?（a﹣1） 【解析】① ﹣x17 ② 220 ③ 0 ④（a﹣1）6 例4、若x=3an，y=﹣，当a=2，n=3时，求anx﹣ay的值．【解析】解：anx﹣ay =an×3an﹣a×（﹣） =3a2n+a2n ∵a=2，n=3， ∴3a2n+a2n=3×26+×26=224例5、阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1 即S=22014﹣1 即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+210 （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）． 【解析】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210， 将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+210+211， 将下式减去上式得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1， 则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1； （2）设S=1+3+32+33+34+…+3n①， 两边同时乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1② ②﹣①得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=（3n+1﹣1） 则1+3+32+33+34+…+3n=（3n+1﹣1）考点二：同底数幂的除法例1、已知（2amb4）÷（4abn）=，则m、n的值分别为（ ） A．m=1，n=4 B．m=2，n=3 C．m=3，n=4 D．m=4，n=5【解析】解：由题意可知， m﹣1=1，解得m=2； 4﹣n=1，解得n=3．故选B例2、已知x4n+3÷xn + 1=xn+ 3?xn+5，求n的值【解析】解：∵x4n+3÷xn+1=x（4n+3）﹣（n+1）=x3n+2，xn+3?xn+5=x（n+3）+（n+5）=x2n+8， ∴3n+2=2n+8， 解得：n=6例3、（1）若33?9m+4÷272m﹣1的值为729，试求m的值； （2）已知3m=4，3m﹣4n=，求2008n的值【解析】解：（1）∵33?9m+4÷272m﹣1=33?32（m+4）÷33（2m﹣1）=33+2（m+4）﹣3（2m﹣1）=729=36 ∴3+2（m+4）﹣3（2m﹣1）=6 解得：m=2 （2）∵3m=4 ∴3m﹣4n=3m÷34n=4÷34n= ∴34n=81=34 ∴4n=4 解得：n=1 ∴2008n=2008例4、阅读材料：① 1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④ 任何不等于零的数的零次幂都等于1 试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2015=1成立的x的值【解析】解：① 当2x+3=1时，x=﹣1； ② 当2x+3=﹣1时，x=﹣2，但是指数x+2015=2013为奇数，所以舍去； ③ 当x+2015=0时，x=﹣2015，且2×（﹣2015）+3≠0，所以符合题意； 综上所述：x的值为﹣1或﹣2015 例5、若有意义，则x的取值范围是（ ） A．x≠2011 B．x≠2011且x≠2012 C．x≠2011且x≠2012且x≠0 D．x≠2011且x≠0【解析】解：原式可化为：（x﹣2011）0+（）2， 根据分式有意义的条件和0指数幂的意义可知： x≠2011，x≠0， 根据原式可知，x﹣2012≠0，x≠2012 故选C例6、（1） （2）（3）[﹣2﹣3﹣8﹣1×（﹣1）﹣2]××90 （4）2【解析】解：（1）原式= （2）原式=9 （3）原式=﹣1 （4）原式=﹣考点三：科学计数法表示小于1的正数例1、在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米。数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为（ ） A、9.63×10﹣5 B、96.3×10﹣6 C、0.963×10﹣5 D、963×10﹣4【解析】A例2、一种细菌的半径是0.000045米，该数字用科学记数法表示正确的是（ ） A、4.5×105 B、45×106 C、4.5×10﹣5 D、4.5×10﹣4【解析】C例3、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5×10﹣3毫米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，把2.5×10﹣3用小数形式表示正确的是（ ） A、0.000025 B、0.00025 C、0.0025 D、0.025【解析】C例4、1微米=0.000001米，1微米用科学记数法可表示为（ ）米． A．1×106 B．1×105 C．1×10﹣5 D．1×10﹣6【解析】D
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、已知xa﹣3=2，xb+4=5，xc+1=10（X≠1和-1），试探究a，b，c之间的关系，并说明理由．【解析】解：∵2×5=10 ∴xa﹣3×xb+4=xc+1 ∴xa+b+1=xc+1 ∴a+b=c 2、请阅读材料： ①一般地，n个相同的因数a相乘：记为an，如23=8，此时，指数3叫做以2为底8的对数，记为log=3（即=3）． ②一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则指数n叫做以a为底b的对数，记为（即=n），如34=81，则指数4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）． （1）计算下列各对数的值： log24= 2 ； log216= 4 ； log264= 6 ． （2）观察（1）题中的三数4、16、64之间存在的关系式是 4×16=64 ，那么log24、log216、log264存在的关系式是 log24+log216=log264 ． （3）由（2）题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ logaM+logaN= logaMN （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0） （4）请你运用幂的运算法则am?an=am+n以及上述中对数的定义证明（3）中你所归纳的结论． 【解析】解：（1）∵22=4，∴log24=2， ∵24=16，∴log216=4， ∵26=64，∴log264=6； （2）4×16=64，log24+log216=log264； （3）logaM+logaN=loga（MN）； （4）证明：设logaM=x，logaN=y， 则ax=M，ay=N， ∴MN=ax?ay=ax+y， ∴x+y=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN） 故答案为：2，4，63、能运用同底数幂的乘法法则进行运算是最基本的要求，而逆用同底数幂的乘法法则am+n=an?am，就能更灵活地解决问题，已知2a+4﹣2a+1=112，求a的值．【解析】解：由2a+4﹣2a+1=16?2a﹣2?2a=14?2a=112， 得到2a=8， 则a=34、已知9m÷32m+2=，求n的值【解析】解：∵32m+2=（32）m+1=9m+1， ∴9m÷3m+2=9m÷9m+1=9﹣1==（）2 ∴n=25、计算： （1）（）5÷（）3?（）2 （2）﹣30﹣（1）2×+13÷ （3）（﹣）0+（﹣）2+（﹣）﹣2 （4）【解析】（1）原式= （2）原式= 3 （3）原式=5 （4）原式=66、我们约定：a?b=10a÷10b，如4?3=104÷103=10 （1）试求：12?3和10?4的值； （2）试求：21?5×102和19?3?4； （3）想一想，（a?b）?c和a?（b?c）是否相等，验证你的结论．【解析】（1）根据题中的新定义得：12?3=1012÷103=109；10?4=1010÷104=106 （2）21?5×102=1021÷105×102=1016×102=1018；19?3?4=（1019÷103）?4=1016÷104=1012 （3）（a?b）?c和a?（b?c）不相等，理由如下： （a?b）?c=（10a÷10b）?c=10a﹣b÷10c=10a﹣b﹣c a?（b?c）=a?（10b÷10c）=10a÷10b﹣c=10a﹣b+c （a?b）?c和a?（b?c）不相等 7、如果（x﹣1）x+4=1成立，那么满足它的所有整数x的值是 ．【解析】解：如果（x﹣1）x+4=1成立，则x+4=0或x﹣1=1 即x=﹣4或x=2 当x=0时，（﹣1）4=1 故本题答案为：﹣4、2或0 8、生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（ ） A．0.432×10﹣5 B．4.32×10﹣6 C．4.32×10﹣7 D．43.2×10﹣7【解析】B 9、将5.62×10﹣4用小数表示为（ ） A．0.000562 B．0.0000562 C．0.00562 D．0.00000562【解析】A课后反击1、下列计算中，正确的个数是（ ） ① 102×103=106；② 5×54=54；③ a2?a2=2a2；④ b?b3=b4；⑤ c+c2=c3；⑥ b5+b5=2b5；⑦ 22?2+23=24 A．1 B．2 C．3 D．4【解析】C2、在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设： S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69① 然后在①式的两边都乘以6，得： 6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610② ②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想： 如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（ ） A． B． C． D．a2014﹣1【解析】解：设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，① 则aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015，②， ②﹣① 得：（a﹣1）S=a2015﹣1， ∴S=， 即1+a+a2+a3+a4+…+a2014=，故选：B． 3、（1）（﹣）2×（﹣）3 （2）103?104?105 （3）a10?a2?a【解析】（1）原式= （2）原式=1012 （3）原式= a13 4、（1） （2）3﹣2+（）﹣1+（﹣2）3+（892﹣890）0 （3） （4）【解析】（1）原式= （2）原式= （3）原式= - 6 （4）原式=14 5、小丽在学习了“除零以外的任何数的零次幂的值为1”后，遇到这样一道题：“如果（x﹣2）x+3=1，求x的值”，她解答出来的结果为x=﹣3．老师说她考虑的问题不够全面，你能帮助小丽解答这个问题吗？【解析】该题要注意：底数不为0的0指数幂为1；底数为1的幂等于1，和﹣1的偶次幂为1． 解：一种情况：当x﹣2=1时，x=3 当x﹣2=﹣1时，x=1而x+3=4满足题意． 另一种情况：当x=﹣3，而x﹣2=﹣5≠0满足题意 ∴x=3，﹣3，1时（x﹣2）x+3=1． 6、如果等式（2a﹣1）a+2=1成立，则a的值可能有（ ） A．4个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】解：∵等式（2a﹣1）a+2=1成立，∴或2a﹣1=1或2a﹣1=﹣1（此时a+2是偶数）， （1）由，解得a=﹣2． （2）由2a﹣1=1，解得a=1． （3）由2a﹣1=﹣1，解得a=0， 此时a+2=2，（﹣1）2=1． 综上，可得a的值可能有3个：﹣2、1、0．故选：D 7、将5.62×10﹣8用小数表示为（ ） A．0.000 000 005 62 B．0.000 000 056 2 C．0.000 000 562 D．0.000 000 000 562【解析】B8、英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯目前是世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 34米，将这个数用科学记数法表示为（ ） A．0.34×10﹣9 B．3.4×10﹣9 C．3.4×10﹣10 D．3.4×10﹣11【解析】C 1、下列说法错误的是（） A、 B、 C、 D、【解析】C2、下列计算正确的是（ ） A．2a2﹣4a2=﹣2 B．3a+a=3a2 C．3a?a=3a2 D．4a6÷2a3=2a2【解析】C 3、计算a3?a2的结果是（ ） A．a5 B．a6 C．a3+a2 D．3a2【解析】A
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为（m,n都是正整数，底数不仅可以表示具体的数，也可以表示单项式与多项式） 2、同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用公式表示为 （都是正整数） 1、零指数幂与负整数幂① ②是正整数），此式也可以逆用，即为正整数） 2、用科学计数法表示小于1的正数 一般地，一个小于1的正数可以表示为的形式，其中1≤a＜10，n是负整数，且n的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的零）。 本节课我学到了 我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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