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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第2讲 幂的乘方与积的乘方专题精讲（培优版）
授课主题 第02讲---幂的乘方与积的乘方
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 进一步体会幂运算的意义及类比、归纳方法； 了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架 二、知识概念 （一）幂的乘方 1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如是3个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方。 2、幂的乘方的运算性质：都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数） 3、幂的乘方的运算性质的逆用：都是正整数）（二）积的乘方1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如等 2、积的乘方的运算性质：是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数） 3、积的乘方的运算性质的逆用：是正整数） 考点一：幂的乘方运算例1、下列运算正确的是（ ） A．a2?a3=a6 B．（﹣a3）2 =﹣a6 C．（ab）2=ab2 D．2a3÷a=2a2例2、下列等式错误的是（ ） A．（2mn）2=4m2n2 B．（﹣2mn）2=4m2n2 C．（2m2n2）3=8m6n6 D．（﹣2m2n2）3=﹣8m5n5例3、（1）已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值； （2）已知10α=5，10β=6，求102α+2β的值 （3）已知32m+1+32m=324，求m的值 例4、已知a2n=3，求（a3n）2?（a2）的值 例5、计算 （1） （2）﹣a6×a5×a+5（a3）4﹣3（a3）3×a2×a （3）（0.125）2014×26042 （4）[（﹣）502]4×（2）2009 考点二：比较幂的大小例1、比较3555，4444，5333的大小 例2、已知a、b、c都是正整数，且a2=2，b4=3，c6=5，试比较a、b、c的大小． 例3、已知p=，q=，试比较p，q的大小 例4、你能比较两个数20102011和20112010的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n≥1且n为整数）：然后从分析n=1，n=2，n=3…这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳、总结，最后猜想出结论． （1）通过计算，比较下列各组数的大小（在横线处填上“＞”、“=”或“＜”）： ①12 21；②23 32；③34 43；④45 54； ⑤56 65；⑥67 76；⑦78 87… （2）由第（1）小题的结果归纳、猜想nn+1与（n+1）n的大小关系． （3）根据第（2）小题得到的一般结论，可以得到20102011 20112010（填“＞”、“=”或“＜”）考点三：积的乘方例1、若A为一数，且A=25×76×114，则下列选项中所表示的数，何者是A的因子？（ ） A．24×5 B．77×113 C．24×74×114 D．26×76×116例2、已知3x+2?5x+2=153x﹣4，求（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4的值 例3、计算： （1） （2） （3）﹣82015×（﹣0.125）2016+（0.25）3×26 （4）（﹣7）2010×（）2011×（﹣1）2009 例4、运用积的乘方法则进行计算： （1） （2）（﹣2x4）4+2x10?（﹣2x2）3﹣2x4?（﹣x4）3 （3）（a﹣b）n?[（b﹣a）n]2 （4） [（﹣a2bn）3?（an﹣1?b2）3]5 例5、设x为正整数，且满足3x+1?2x﹣3x?2x+1=216，求（xx﹣1）2的值 例6、已知n为正整数，且（xn）2 =9，求﹣3（x2）2n的值
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、计算（﹣x3y）2的结果是（ ） A．﹣x5y B．x6y C．﹣x3y2 D．x6y2 2、计算（）3×（）4×（）5之值与下列何者相同？（ ） A． B． C． D． 3、已知x=240，y=332，z=424，试比较x，y，z的大小 4、已知5b=2a=10，求与的和 5、计算： （1） （2）（n是正整数） （3） （4）（8）100×（﹣）99× 6、（1）若x3n=2，求2x2n?x4n+x4n?x5n的值 （2）若x2a=3，y3b=2，求x4a+y6b的值 7、比较：2255，3344，5533，6622的大小 8、计算： （1）（2014）n××（n位正整数） （2）（）90×（）90×（）90 9、52?32n+1?2n﹣3n?6n+2能被13整除吗？ 10、已知5m=a，25n=b，求：53m+6n的值 （用a，b表示）． 课后反击1、在一次数学兴趣小组活动中，同学们做了一个找朋友的游戏：A、B、C、D、E五位同学分别持五张纸牌，纸牌上分别写有五个算式：66，63+63，（63）3，（2×62）×（3×63），（23×32）3，如图．游戏规定：所持算式的值相等的两个人是朋友．同学A的朋友可以是谁呢？说说你的看法． 2、若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n，利用上面结论解决问题； ① 若2×82×16x=222，求x的值 ② 若（27x）2=36，求x的值 3、已知2a?27b?37c=1998，其中a，b，c为整数，求（a﹣b﹣c）1998的值． 4、计算： （1）（）2004×（﹣2）2005 （2）（××…×××1）99?（1×2×3×…×98×99×100）99 （3） （4） 5、若169m=a，437n=，且规定20=1，求（36m+74n﹣1）2014的值． 6、阅读下列材料： 若a3=2，b5=3，则a，b的大小关系是a b（填“＜”或“＞”）． 解：因为a15=（a3）5=25=32，b15=（b5）3=33=27，32＞27，所以a15＞b15，所以a＞b． 解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质 A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 （2）已知x7=2，y9=3，试比较x与y的大小 7、已知x5m=10，求代数式（﹣2x5m）5﹣（x4）5m+10的值 8、计算： （1）（﹣3）2006×（﹣）2007 （2） 1、计算a?a5﹣（2a3）2的结果为（ ） A．a6﹣2a5 B．﹣a6 C．a6﹣4a5 D．﹣3a62、下列运算正确的是（ ） A．（a2）5=a7 B．a2?a4=a6 C．3a2b﹣3ab2=0 D．（）2= 3、【2013?广州】计算：（m3n）2的结果是（ ） A．m6n B．m6n2 C．m5n2 D．m3n2
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如是3个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方。 2、幂的乘方的运算性质：都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数） 3、幂的乘方的运算性质的逆用：都是正整数） 1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如等 2、积的乘方的运算性质：是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数） 3、积的乘方的运算性质的逆用：是正整数） 本节课我学到了 我需要努力的地方是
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第2讲 幂的乘方与积的乘方专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第02讲---幂的乘方与积的乘方
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 进一步体会幂运算的意义及类比、归纳方法； 了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
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T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架 二、知识概念 （一）幂的乘方 1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如是3个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方。 2、幂的乘方的运算性质：都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数） 3、幂的乘方的运算性质的逆用：都是正整数）（二）积的乘方1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如等 2、积的乘方的运算性质：是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数） 3、积的乘方的运算性质的逆用：是正整数） 考点一：幂的乘方运算例1、下列运算正确的是（ ） A．a2?a3=a6 B．（﹣a3）2 =﹣a6 C．（ab）2=ab2 D．2a3÷a=2a2 【解析】D例2、下列等式错误的是（ ） A．（2mn）2=4m2n2 B．（﹣2mn）2=4m2n2 C．（2m2n2）3=8m6n6 D．（﹣2m2n2）3=﹣8m5n5 【解析】D 例3、（1）已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值； （2）已知10α=5，10β=6，求102α+2β的值 （3）已知32m+1+32m=324，求m的值．【解析】解：（1）∵ax+y=ax?ay=25，ax=5 ∴ay=5， ∴ax+ay=5+5=10 （2）102α+2β=（10α）2?（10β）2=52×62=900 （3）解：∵32m+1+32m=324 ∴32m×（3+1）=324 ∴32m=81 ∴2m=4，即m=2例4、已知a2n=3，求（a3n）2?（a2）的值【解析】原式=（a2n）3?（a2n）2=33×32=27×9=243例5、计算 （1） （2）﹣a6×a5×a+5（a3）4﹣3（a3）3×a2×a （3）（0.125）2014×26042 （4）[（﹣）502]4×（2）2009 【解析】（1）原式=1 （2）原式= （3）原式= a12 （4）原式== 考点二：比较幂的大小例1、比较3555，4444，5333的大小【解析】比较幂的大小，一般思路是转化为指数或底数相同的数进行比较。 解：∵3555=35×111=（35）111=243111 4444=44×111=（44）111=256111 5333=53×111=（53）111=125111 又∵256＞243＞125 ∴256111＞243111＞125111 即4444＞3555＞5333例2、已知a、b、c都是正整数，且a2=2，b4=3，c6=5，试比较a、b、c的大小．【解析】解：∵a2=2 ∴a4=4 ∵b4=3 ∴a＞b ∵b12=（b4）3=27，c12=（c6）2=25 ∴b＞c ∴a＞b＞c 例3、已知p=，q=，试比较p，q的大小【解析】解：∵p=，q= ∴p÷q=÷=×=1 ∴p=1例4、你能比较两个数20102011和20112010的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n≥1且n为整数）：然后从分析n=1，n=2，n=3…这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳、总结，最后猜想出结论． （1）通过计算，比较下列各组数的大小（在横线处填上“＞”、“=”或“＜”）： ①12 ＜ 21；②23 ＜ 32；③34 ＞ 43；④45 ＞ 54； ⑤56 ＞ 65；⑥67 ＞ 76；⑦78 ＞ 87… （2）由第（1）小题的结果归纳、猜想nn+1与（n+1）n的大小关系． （3）根据第（2）小题得到的一般结论，可以得到20102011 ＞ 20112010（填“＞”、“=”或“＜”）．【解析】（1）①12＜21；②23＜32；③34＞43；④45＞54；⑤56＞6 5⑥67＞76；⑦78＞87； 故答案为：＜，＜，＞，＞，＞，＞，＞； （2）由（1）可知，当n=1、2时，nn+1＜（n+1）n；当n≥3时，nn+1＞（n+1）n； （3）∵2010＞3，2011＞3 ∴20102011＞20112010考点三：积的乘方例1、若A为一数，且A=25×76×114，则下列选项中所表示的数，何者是A的因子？（ ） A．24×5 B．77×113 C．24×74×114 D．26×76×116【解析】C例2、已知3x+2?5x+2=153x﹣4，求（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4的值【解析】解：∵3x+2?5x+2=（15）x+2=153x﹣4 ∴x+2=3x﹣4， 解得：x=3，代入（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4 得原式=﹣9例3、计算： （1） （2）（3）﹣82015×（﹣0.125）2016+（0.25）3×26 （4）（﹣7）2010×（）2011×（﹣1）2009【解析】（1）原式= （2）原式=﹣25 （3）原式==0.875 （4）原式=﹣例4、运用积的乘方法则进行计算： （1） （2）（﹣2x4）4+2x10?（﹣2x2）3﹣2x4?（﹣x4）3 （3）（a﹣b）n?[（b﹣a）n]2 （4） [（﹣a2bn）3?（an﹣1?b2）3]5 【解析】（1）原式= （2）原式=2x16 （3）原式=（a﹣b）3n （4）原式=﹣a15n+15b15n+30例5、设x为正整数，且满足3x+1?2x﹣3x?2x+1=216，求（xx﹣1）2的值【解析】解：∵3x+1?2x﹣3x?2x+1=216， ∴3?6x﹣2?6x=216， ∴6x=216， 解得x=3， ∴（xx﹣1）2=（33﹣1）2=92=81 答：（xx﹣1）2的值是81例6、已知n为正整数，且（xn）2 =9，求﹣3（x2）2n的值【解析】所求的式子可以化成（x2n）3﹣3（x2n）2，然后把已知的式子代入求值即可 解：∵（xn）2 =9 ∴x2n=9 ∴原式=（x2n）3﹣3（x2n）2=×93﹣3×92=﹣162
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、计算（﹣x3y）2的结果是（ ） A．﹣x5y B．x6y C．﹣x3y2 D．x6y2【解析】D 2、计算（）3×（）4×（）5之值与下列何者相同？（ ） A． B． C． D．【解析】B 3、已知x=240，y=332，z=424，试比较x，y，z的大小【解析】解：x=240=（25）8=328，y=332=（34）8=818，z=424=（43）8=648 ∵81＞64＞32 ∴818＞648＞328 ∴y＞z＞x 4、已知5b=2a=10，求与的和【解析】解：∵2a=10， ∴（2a）b=10b，2ab=10b ①； ∵5b=10， ∴（5b）a=10a，5ab=10a ②， ①×②，得2ab×5ab=（2×5）ab=10ab 2ab×5ab=10a×10b=10a+b ab=a+b 两边都除以ab，得=1即+==15、计算： （1） （2）（n是正整数） （3） （4）（8）100×（﹣）99×【解析】（1）原式= （2）原式=0 （3）原式= （4）原式=﹣ 6、（1）若x3n=2，求2x2n?x4n+x4n?x5n的值 （2）若x2a=3，y3b=2，求x4a+y6b的值【解析】（1）∵x3n=2 ∴2x2n?x4n+x4n?x5n =2x6n+x9n =2（x3n）2+（x3n）3 =2×22+23=16 （2）∵x2a=3，y3b=2 ∴x4a+y6b=（x2a）2+（y3b）2=32+22=137、比较：2255，3344，5533，6622的大小【解析】解：∵2255=（225）11，3344=（334）11，5533=（553）11，6622=（662）11 225＞334＞553＞662 ∴2255＞3344＞5533＞6622 8、计算： （1）（2014）n××（n位正整数） （2）（）90×（）90×（）90【解析】（1）原式=（2014××）n××= （2）原式=1 9、52?32n+1?2n﹣3n?6n+2能被13整除吗？【解析】解：52?32n+1?2n﹣3n?6n+2能被13整除．理由如下： ∵52?32n+1?2n﹣3n?6n+2 =52?（32n?3）?2n﹣3n?（6n?62） =75?32n?2n﹣36?3n?6n =75?18n﹣36?18n =39?18n =13×3?18n， 又∵3?18n是整数，∴52?32n+1?2n﹣3n?6n+2能被13整除 10、已知5m=a，25n=b，求：53m+6n的值 （用a，b表示）．【解析】由题意可知：25n=（52）n ∴52n=b ∴原式=53m×56n=（5m）3×（52n）3=a3b3 课后反击1、在一次数学兴趣小组活动中，同学们做了一个找朋友的游戏：A、B、C、D、E五位同学分别持五张纸牌，纸牌上分别写有五个算式：66，63+63，（63）3，（2×62）×（3×63），（23×32）3，如图．游戏规定：所持算式的值相等的两个人是朋友．同学A的朋友可以是谁呢？说说你的看法．【解析】解：∵A：66 B：63+63=2×63 C：（63）3=69 D：（2×62）×（3×63）=6×65=66 E：（23×32）3=29×36=23×66 ∴同学A的朋友可以是D 2、若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n，利用上面结论解决问题； ① 若2×82×16x=222，求x的值 ② 若（27x）2=36，求x的值．【解析】解：（1）∵2×8x×16x=2×23x×24x=27x+1 ∴7x+1=22 解得x=3 （2）∵（27x）2=（33x）2=36x ∴6x=6 解得x=13、已知2a?27b?37c=1998，其中a，b，c为整数，求（a﹣b﹣c）1998的值．【解析】解：∵2a?33b?37c=2×33×37 ∴a=1，b=1，c=1 ∴原式=（1﹣1﹣1）1998=1 4、计算： （1）（）2004×（﹣2）2005 （2）（××…×××1）99?（1×2×3×…×98×99×100）99 （3） （4）【解析】（1）原式==﹣2 （2）原式=10099 （3）原式= -2 （4）原式=45、若169m=a，437n=，且规定20=1，求（36m+74n﹣1）2014的值． 【解析】解：∵169m=a，437n=， ∴169m×437n=418m×437m=236m×274n=236m+74n=a?=1 ∴36m+74n=0， ∴原式=（﹣1）2014=1 6、阅读下列材料： 若a3=2，b5=3，则a，b的大小关系是a b（填“＜”或“＞”）． 解：因为a15=（a3）5=25=32，b15=（b5）3=33=27，32＞27，所以a15＞b15，所以a＞b． 解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质 A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 （2）已知x7=2，y9=3，试比较x与y的大小【解析】解：∵a15=（a3）5=25=32，b15=（b5）3=33=27，32＞27，所以a15＞b15 所以a＞b，故答案为：＞ （1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方，故选C （2） ∵x63=（x7）9=29=512，y63=（y9）7=37=2187，2187＞512 ∴x63＜y63，∴x＜y 7、已知x5m=10，求代数式（﹣2x5m）5﹣（x4）5m+10的值【解析】解：∵x5m=10 ∴（﹣2x5m）5﹣（x4）5m+10 =（﹣2×10）5﹣（x5m）4+10 =﹣3.2×106﹣×104+10 =﹣3.2×106﹣10+10 =﹣3.2×1068、计算： （1）（﹣3）2006×（﹣）2007 （2）【解析】（1）（﹣3）2006×（﹣）2007=（﹣3）2006×）×（﹣）2006×（﹣） =[（﹣3）×（﹣）]2006×（﹣）=﹣ （2）设1+++…+=m，1+++…+=n，则 原式=（m﹣1）n﹣m（n﹣1）=m﹣n= 1、计算a?a5﹣（2a3）2的结果为（ ） A．a6﹣2a5 B．﹣a6 C．a6﹣4a5 D．﹣3a6【解析】D2、下列运算正确的是（ ） A．（a2）5=a7 B．a2?a4=a6 C．3a2b﹣3ab2=0 D．（）2=【解析】B 3、计算：（m3n）2的结果是（ ） A．m6n B．m6n2 C．m5n2 D．m3n2 【解析】B
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如是3个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方。 2、幂的乘方的运算性质：都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数） 3、幂的乘方的运算性质的逆用：都是正整数） 1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如等 2、积的乘方的运算性质：是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数） 3、积的乘方的运算性质的逆用：是正整数） 本节课我学到了 我需要努力的地方是
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