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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第4讲 完全平方公式与整式的除法专题精讲（培优版）
授课主题 第04讲---完全平方公式与整式的除法
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，会灵活运用完全平方公式进行计算。掌握整式的除法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架二、知识概念 （一）完全平方公式1、完全平方公式： 即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的特点：（1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；（3）公式中的a,b可以是数，也可以是单项式或多项式。（4）完全平方公式的变形公式：① ②③ ④ ⑤ 2、完全平方公式的几何意义①如右图2中，一方面大正方形面积为 ，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有②如右图1中，左下角正方形面积为 ，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有 3、完全平方公式的应用。完全平方式：形如或者的叫做完全平方式。完全平方公式一般运用在化简求值，找规律简便计算中等。会涉及完全平方公式的变形公式。（二）整式的除法 1、单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。 考点一：完全平方公式例1、下列计算正确的是（ ）A．（a+2b）（a﹣2b）=a2﹣2b2 B．（2x+3）2=4x2+9C．（a﹣4b）2=a2﹣8ab+4b2 D．（﹣y﹣5）2=y2+10y+25 例2、（1）已知a+b=﹣5，ab=﹣6，求（a﹣b）2的值（2）已知a（a﹣1）﹣（a2﹣b）=﹣5，求（a2+b2）﹣ab的值（3）（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求a2+b2和a2﹣ab+b2的值例3、计算：（1）2（x﹣y）2﹣（2x+y）（﹣y+2x） ﹙x2+4﹚2﹣16x2 （3）（x+y）2﹣（x﹣y）2 （4）（4x2﹣y2）[（2x+y）2+（2x﹣y）2] （5）（x﹣y）2（x+y）2（x2+y2）2 （6）（2x+y﹣1）2例4、阅读下列解答过程：已知：x≠0，且满足x2﹣3x=1．求：的值解：∵x2﹣3x=1，∴x2﹣3x﹣1=0 ∴，即 ∴==32+2=11请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2=14a﹣7求：（1）的值（2）的值例5、若4x2﹣（a﹣1）xy+9y2是完全平方式，则a= ．权所有例6、阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+9三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．考点二：完全平方公式的几何意义例1、如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（ ） A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2例2、如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）A．2 cm2 B．2a cm2 C．4a cm2 D．（a2﹣1）cm2例3、先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明．① 根据图2写出一个等式： ；② 已知等式：（x+p）（x+q）=x2+（p+q） x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明． 考点三：整式的除法例1、计算：（12x3﹣8x2+16x）÷（﹣4x）的结果是（ ）A．﹣3x2+2x﹣4 B．﹣3x2﹣2x+4 C．﹣3x2+2x+4 D．3x2﹣2x+4例2、若3x3+kx2+4被3x﹣1除后余3，则k的值为 例3、计算：（1）（8a2b﹣4ab2）÷（﹣4ab） （2）[（3a+b）2﹣b2]÷a （3）（6x3y2﹣9x2y3）÷（﹣xy） （4）（2a﹣b）2﹣（8a3b﹣4a2b2）÷2ab （5）（3a2b3c4）2÷（﹣a2b4） 例4、（1）已知（ambn）3÷（ab2）2=a4b5（a、b均不等于1和 -1），求m、n的值（2）小白在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成乘以，结果得到（3x2﹣5xy），则第一个多项式是多少？正确的结果又该是多少？例5、已知多项式6a2+mab﹣ab﹣10b2除以3a﹣2b，得商为2a+5b，求m的值
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列计算正确的是（ ）A．（﹣x﹣y）2=﹣x2﹣2xy﹣y2 B．（4x+1）2=16x2+8x+1C．（2x﹣3）2=4x2+12x﹣9 D．（a+2b）2=a2+2ab+4b22、已知x2﹣8x+1=0，求x2+﹣2的值3、已知（2004﹣a）（2002﹣a）=2003，求（2004﹣a）2+（2002﹣a）2的值4、已知（x+y）2=4，（x﹣y）2=10，求x2+y2和xy的值5、计算：（1）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2 （2）（x+3）（x+4）﹣（x﹣1）2 （3）（2x+3y）2﹣（4x﹣9y）（4x+9y）+（2x﹣3y）2 （4）（3x﹣2y）2﹣（4y﹣3x）（3x+4y）； 6、计算：（1）（﹣12）2×10﹣6÷（2×105） （2）（3）（﹣9a3b2）3×（﹣4a2b3）2÷（﹣6a4b4） （4）（5）（6）（﹣a4÷a2）2+（﹣2a）3a2+（﹣a2）4÷a37、若x（y﹣1）﹣y（x﹣1）=4，求的值．8、如图所示，用1个边长为c的小正方形和直角边长分别为a，b的4个直角三角形，恰好能拼成一个新的大正方形，其中a，b，c满足等式c2=a2+b2，由此可验证的乘法公式是（ ）A．a2+2ab+b2=（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．a2+b2=（a+b）29、求a=，b=﹣3时，代数式（﹣a2b3）2÷（﹣ab）÷（ab3）的值10、小明在做一个多项式除以的题时，由于粗心误以为是乘以，结果是8a4b﹣4a3+2a2，你能知道正确的结果是多少吗？11、把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？课后反击1、下列计算中，正确的是（ ）A．（x﹣1）2=x2﹣2x﹣1 B．（2a+b）2=2a2+4ab+b2C．（3x+2）2=9x2+6x+4 D．（m﹣n）2=m2﹣mn+n22、下列四个算式：① ；② 16a6b4c÷8a3b2=2a2b2c；③ 9x8y2÷3x3y=3x5y；④（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）=﹣6m2﹣4m+2．其中正确的有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3、计算： （1）（x+3）（x﹣3）（x2﹣9） （2）（2x﹣3y）2﹣（4y﹣3x）（4y+3x）（3）（2a+3b）2﹣（2a﹣b）（2a+b） （4）（a﹣2b+3c）2（5）（a8﹣b8）÷（a4+b4）÷（a2+b2） （6）（﹣xm+1+xm+xm﹣1）÷（xm﹣1）4、某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题：（21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）=+5xy﹣y．被除式的第二项被钢笔水弄污了，商的第一项也被钢笔水弄污了，你能算出两处被污染的内容是什么吗？5、x2+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值6、化简求值（1）（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y），其中（2）（3a﹣b）2﹣3（2a+b）（2a﹣b）+3a2，其中a=﹣1，b=27、我们可以用几何图形来解释一些代数恒等式，如上图可以用来解释（a+b）2=a2+2ab+b2请构图解释：（1）（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（2）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 1、运用乘法公式计算（x+3）2的结果是（ ）A．x2+9 B．x2﹣6x+9 C．x2+6x+9 D．x2+3x+92、图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b23、长、宽分别为a，b的矩形硬纸片拼成的一个“带孔”正方形如图所示．利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式
S(Summary-Embedded)——归纳总结
（一）完全平方公式1、完全平方公式： 即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的特点：（1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；（3）公式中的a,b可以是数，也可以是单项式或多项式。（4）完全平方公式的变形公式：① ②③ ④ ⑤ 1、完全平方公式的几何意义①如右图2中，一方面大正方形面积为 ，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有②如右图1中，左下角正方形面积为 ，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有 2、完全平方公式的应用。完全平方式：形如或者的叫做完全平方式。 本节课我学到了我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
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【专题讲义】北师大版七年级数学下册
第4讲 完全平方公式与整式的除法专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第04讲---完全平方公式与整式的除法
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，会灵活运用完全平方公式进行计算。掌握整式的除法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架二、知识概念 （一）完全平方公式1、完全平方公式： 即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；（3）公式中的a,b可以是数，也可以是单项式或多项式。（4）完全平方公式的变形公式：① ②③ ④ ⑤ 2、完全平方公式的几何意义①如右图2中，一方面大正方形面积为 ，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有②如右图1中，左下角正方形面积为 ，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有 3、完全平方公式的应用。完全平方式：形如或者的叫做完全平方式。完全平方公式一般运用在化简求值，找规律简便计算中等。会涉及完全平方公式的变形公式。（二）整式的除法 1、单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。 考点一：完全平方公式例1、下列计算正确的是（ ）A．（a+2b）（a﹣2b）=a2﹣2b2 B．（2x+3）2=4x2+9C．（a﹣4b）2=a2﹣8ab+4b2 D．（﹣y﹣5）2=y2+10y+25 【解析】D例2、（1）已知a+b=﹣5，ab=﹣6，求（a﹣b）2的值（2）已知a（a﹣1）﹣（a2﹣b）=﹣5，求（a2+b2）﹣ab的值（3）（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求a2+b2和a2﹣ab+b2的值【解析】（1）解：∵a+b=﹣5，ab=﹣6∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=（﹣5）2﹣4×（﹣6）=49（2）解：∵a（a﹣1）﹣（a2﹣b）=﹣5∴a2﹣a﹣a2+b=b﹣a=﹣5∴（a2+b2）﹣ab=（a2+b2﹣2ab）=（b﹣a）2=×（﹣5）2=（3）解：a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×（﹣2）=13a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3×（﹣2）=15例3、计算：（1）2（x﹣y）2﹣（2x+y）（﹣y+2x） （2）﹙x2+4﹚2﹣16x（3）（x+y）2﹣（x﹣y）2 （4）（4x2﹣y2）[（2x+y）2+（2x﹣y）2] （5）（x﹣y）2（x+y）2（x2+y2）2 （6）（2x+y﹣1）2【解析】（1）原式=﹣2x2﹣4xy+3y2 （2）原式= （x+2）2（x﹣2）2（3）原式=4xy （4）原式= 32x4﹣2y4（5）原式= x8﹣2x4y4+y8 （6）原式=4x2+4xy﹣4x+y2﹣2y+1例4、阅读下列解答过程：已知：x≠0，且满足x2﹣3x=1．求：的值解：∵x2﹣3x=1，∴x2﹣3x﹣1=0 ∴，即 ∴==32+2=11请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2=14a﹣7求：（1）的值（2）的值【解析】解：（1）（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2=14a﹣71﹣4a2﹣（9﹣12a+4a2）+9a2﹣14a+7=0，整理得：a2﹣2a﹣1=0∴ ∴（2）解：的倒数为 ∵ ∴例5、若4x2﹣（a﹣1）xy+9y2是完全平方式，则a= ．权所有【解析】解：∵4x2+（a﹣1）xy+9y2=（2x）2+（a﹣1）xy+（3y）2∴（a﹣1）xy=±2×2x×3y解得a﹣1=±12∴a=13，a=﹣11例6、阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+9三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【解析】解：（1）x2﹣4x+9的三种配方分别为： （2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣aba2+ab+b2=（a+b）2+b2（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），=（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=4．考点二：完全平方公式的几何意义例1、如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（ ） A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2【解析】由题意可得，正方形的边长为（a+b） 故正方形的面积为（a+b）2 ∵原矩形的面积为4ab ∴中间空的部分的面积=（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2 故选C例2、如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）A．2 cm2 B．2a cm2 C．4a cm2 D．（a2﹣1）cm2【解析】矩形的面积就是边长是（a+1）cm的正方形与边长是（a﹣1）cm的正方形的面积的差，列代数式进行化简即可．解：矩形的面积是：（a+1）2﹣（a﹣1）2=4a（cm2），故选：C例3、先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明．① 根据图2写出一个等式： ；② 已知等式：（x+p）（x+q）=x2+（p+q） x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．【解析】解： ①（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2；② 画出的图形如下： （答案不唯一，只要画图正确即得分） 考点三：整式的除法例1、计算：（12x3﹣8x2+16x）÷（﹣4x）的结果是（ ）A．﹣3x2+2x﹣4 B．﹣3x2﹣2x+4 C．﹣3x2+2x+4 D．3x2﹣2x+4【解析】故选A例2、若3x3+kx2+4被3x﹣1除后余3，则k的值为 【解析】∵3x3+kx2+4被3x﹣1除后余3∴3x3+kx2+4﹣3=3x3+kx2+1可被3x﹣1整除∴3x﹣1为3x3+kx2+1的一个因式∴当3x﹣1=0，即x=时，3x3+kx2+1=0即3×+k×+1=0解得k=﹣10例3、计算：（1）（8a2b﹣4ab2）÷（﹣4ab）（2）[（3a+b）2﹣b2]÷a（3）（6x3y2﹣9x2y3）÷（﹣xy） （4）（2a﹣b）2﹣（8a3b﹣4a2b2）÷2ab （5）（3a2b3c4）2÷（﹣a2b4） 【解析】（1）原式=﹣2a+b （2）原式=9a+6b （3）原式= ﹣18x2y+27xy2 （4）原式= b2﹣2ab （5）原式= ﹣27a2b2c8 例4、（1）已知（ambn）3÷（ab2）2=a4b5（a、b均不等于1和 -1），求m、n的值（2）小白在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成乘以，结果得到（3x2﹣5xy），则第一个多项式是多少？正确的结果又该是多少？【解析】（1）解：（ambn）3÷（ab2）2=a3mb3n÷a2b4=a3m﹣2b3n﹣4=a4b5∴3m﹣2=4，3n﹣4=5∴m=2，n=3（2）解：根据题意得：（3x2﹣5xy）÷=6x﹣10y，即第一个多项式是6x﹣10y，则算式应为（6x﹣10y） =3x2+3xy﹣5xy﹣5y2=3x2﹣2xy﹣5y2例5、已知多项式6a2+mab﹣ab﹣10b2除以3a﹣2b，得商为2a+5b，求m的值【解析】解：∵（3a﹣2b）（2a+5b）=6a2+11ab﹣10b2∴mab﹣ab=11ab∴m﹣1=11解得m=12故m的值为12
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列计算正确的是（ ）A．（﹣x﹣y）2=﹣x2﹣2xy﹣y2 B．（4x+1）2=16x2+8x+1C．（2x﹣3）2=4x2+12x﹣9 D．（a+2b）2=a2+2ab+4b2【解析】B2、已知x2﹣8x+1=0，求x2+﹣2的值【解析】已知等式变形求出x+的值，两边平方求出x2+的值，代入原式计算即可解：由x2﹣8x+1=0，得到x+=8两边平方得：（x+）2=x2++2=64，即x2+=62则原式=62﹣2=603、已知（2004﹣a）（2002﹣a）=2003，求（2004﹣a）2+（2002﹣a）2的值【解析】因为（2004﹣a）（2002﹣a）=（2003﹣a+1）（2003﹣a﹣1）=（2003﹣a）2﹣1=2003即可得：（2003﹣a）2=2004所以（2004﹣a）2+（2002﹣a）2=（2003﹣a+1）2+（2003﹣a﹣1）2=（2003﹣a）2+2（2003﹣a）+1+（2003﹣a）2﹣2（2003﹣a）+1=2（2003﹣a）2+2=2×2004+2=40104、已知（x+y）2=4，（x﹣y）2=10，求x2+y2和xy的值【解析】直接利用完全平方公式计算，进而将x2+y2和xy看作整体求出即可 ∵（x+y）2=4，（x﹣y）2=10 ∴x2+y2+2xy=4，x2+y2﹣2xy=10 故2（x2+y2）=14 x2+y2=7，故7+2xy=4， 解得：xy=﹣5、计算：（1）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2 （2）（x+3）（x+4）﹣（x﹣1）2 （3）（2x+3y）2﹣（4x﹣9y）（4x+9y）+（2x﹣3y）2 （4）（3x﹣2y）2﹣（4y﹣3x）（3x+4y）； 【解析】（1）原式=﹣5y2﹣2xy+2yz （2）原式=9x+11（3）原式= ﹣8x2+18y2 （4）原式=18x2﹣12xy﹣12y26、计算：（1）（﹣12）2×10﹣6÷（2×105） （2）（3）（﹣9a3b2）3×（﹣4a2b3）2÷（﹣6a4b4） （4）（5）（6）（﹣a4÷a2）2+（﹣2a）3a2+（﹣a2）4÷a3【解析】（1）原式=7.2×10﹣10 （2）原式=xn+2yn （3）原式=1944a9b8 （4）原式=﹣an+1b2n﹣2 （5）原式= （6）原式=a4﹣7a57、若x（y﹣1）﹣y（x﹣1）=4，求的值．【解析】解：∵x（y﹣1）﹣y（x﹣1）=4 ∴xy﹣x﹣xy+y=4 ∴y﹣x=4 ∴x﹣y=﹣4 ∴= = =88、如图所示，用1个边长为c的小正方形和直角边长分别为a，b的4个直角三角形，恰好能拼成一个新的大正方形，其中a，b，c满足等式c2=a2+b2，由此可验证的乘法公式是（ ）A．a2+2ab+b2=（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．a2+b2=（a+b）2【解析】根据4个直角三角形的面积+小正方形的面积=新的大正方形的面积，即可解答．4个直角三角形的面积为：=2ab小正方形的面积为：c2∵c2=a2+b2∴小正方形的面积为：a2+b2新的大正方形的面积为：（a+b）2∴a2+2ab+b2=（a+b）2，故选：A9、求a=，b=﹣3时，代数式（﹣a2b3）2÷（﹣ab）÷（ab3）的值【解析】解：∵a=，b=﹣3原式=（﹣a2b3）2÷（﹣ab）÷（ab3）=a4b6÷（﹣ab）÷（ab3）=﹣a3b5÷（ab3）=﹣a2b2=﹣××9=﹣10、小明在做一个多项式除以的题时，由于粗心误以为是乘以，结果是8a4b﹣4a3+2a2，你能知道正确的结果是多少吗？【解析】解：根据题意得：原多项式=（8a4b﹣4a3+2a2）÷=16a3b﹣8a2+4a，则正确的结果是（16a3b﹣8a2+4a）a=32a2b﹣16a+811、把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？【解析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求解（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）∵a+b=10，ab=20，∴S阴影=a2+b2﹣（a+b） b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×20=50课后反击1、下列计算中，正确的是（ ）A．（x﹣1）2=x2﹣2x﹣1 B．（2a+b）2=2a2+4ab+b2C．（3x+2）2=9x2+6x+4 D．（m﹣n）2=m2﹣mn+n2【解析】D2、下列四个算式：① ；② 16a6b4c÷8a3b2=2a2b2c；③ 9x8y2÷3x3y=3x5y；④（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）=﹣6m2﹣4m+2．其中正确的有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解析】① 应为4x2y4÷xy=16xy3，故本选项错误 ② 应为16a6b4c÷8a3b2=2a3b2c，故本选项错误③ 9x8y2÷3x3y=3x5y，正确 ④（12m3+8m2﹣4m）÷（﹣2m）=﹣6m2﹣4m+2，正确所以③ ④ 两个正确，故选C3、计算： （1）（x+3）（x﹣3）（x2﹣9） （2）（2x﹣3y）2﹣（4y﹣3x）（4y+3x）（3）（2a+3b）2﹣（2a﹣b）（2a+b） （4）（a﹣2b+3c）2（5）（a8﹣b8）÷（a4+b4）÷（a2+b2） （6）（﹣xm+1+xm+xm﹣1）÷（xm﹣1）【解析】（1）原式= x4﹣18x2+81 （2）原式=13x2﹣12xy﹣7y2（3）原式=12ab+10b2 （4）原式= a2﹣4ab+4b2+6ac﹣12bc+9c2 （5）原式=（a﹣b）（a+b） （6）原式=﹣18x2+10x+24、某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题：（21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）=+5xy﹣y．被除式的第二项被钢笔水弄污了，商的第一项也被钢笔水弄污了，你能算出两处被污染的内容是什么吗？【解析】解：商的第一项=21x4y3÷（﹣7x2y）=﹣3x2y2被除式的第二项=﹣（﹣7x2y）×5xy=35x3y25、x2+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值【解析】解：∵x2+2（a+4）x+25是完全平方式∴2（a+4）=±2×5解得a=1或a=﹣9故a的值是1或﹣96、化简求值（1）（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y），其中（2）（3a﹣b）2﹣3（2a+b）（2a﹣b）+3a2，其中a=﹣1，b=2【解析】（1）解：（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y）=x2+4xy+4y2﹣x2+y2=4xy+5y2当时原式=4×（﹣2）×+5×（﹣）2=﹣2（2）解：原式=9a2﹣6ab+b2﹣3（4a2﹣b2）+3a2=9a2﹣6ab+b2﹣12a2+3b2+3a2=﹣6ab+4b2当a=﹣1，b=2时，原式=﹣6×（﹣1）×2+4×22=287、我们可以用几何图形来解释一些代数恒等式，如上图可以用来解释（a+b）2=a2+2ab+b2请构图解释：（1）（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（2）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac【解析】解：（1）边长为（a﹣b）的正方形的面积可以直接由正方形面积公式表示为（a﹣b）2，又可以用边长为a的正方形的面积，减去2个长为a，宽为b的长方形面积，加上边长为b的正方形的面积，结果用含a，b的式子表示为a2﹣2ab+b2；（2）已知大正方形的边长为a+b+c，利用图形的面积关系可得：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 1、运用乘法公式计算（x+3）2的结果是（ ）A．x2+9 B．x2﹣6x+9 C．x2+6x+9 D．x2+3x+9【解析】C2、图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2【解析】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b=a﹣b，则面积是（a﹣b）2，故选C3、长、宽分别为a，b的矩形硬纸片拼成的一个“带孔”正方形如图所示．利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式 【解析】解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab
S(Summary-Embedded)——归纳总结
（一）完全平方公式1、完全平方公式： 即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的特点：（1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；（3）公式中的a,b可以是数，也可以是单项式或多项式。（4）完全平方公式的变形公式：① ②③ ④ ⑤ 1、完全平方公式的几何意义①如右图2中，一方面大正方形面积为 ，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有②如右图1中，左下角正方形面积为 ，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有 2、完全平方公式的应用。完全平方式：形如或者的叫做完全平方式。 本节课我学到了我需要努力的地方是
体系搭建
典例分析
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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